淺談一題多解與一題多變

許國能

摘要：數(shù)學是一門必修學科，它具有整體性、邏輯性和復(fù)雜性的特點，會使學生在學習過程中覺得有點吃力。但是，高中數(shù)學是高考中的一個重要組成部分，其分值也比較大，對學生的升學產(chǎn)生直接的影響。所以，必須在高中數(shù)學教學中提升教學的有效性。高中數(shù)學教師要根據(jù)學生的實際情況，及時地改變數(shù)學的教學方法，不斷地探索新的、更加有效的教學模式，例如一題多解和一題多變的教學，這種教學方法不但可以鞏固學生的基礎(chǔ)知識，還能培養(yǎng)學生的思維和創(chuàng)新精神，提升學生的解題技能。本篇文章主要從現(xiàn)階段高中數(shù)學的教學情況開始分析，提出在高中數(shù)學學習中運用一題多解和一題多變的教學方法的建議和措施。

關(guān)鍵詞：一題多解；一題多變；高中數(shù)學；教學方法

一、 高中數(shù)學教學現(xiàn)狀

雖然新課改已經(jīng)實行了許多年，但是高中數(shù)學教學受到傳統(tǒng)教育理念和教學模式的影響還比較嚴重，使得學生在學習過程中依然要面對作業(yè)繁重的問題，需要承受高考所帶來的壓力。究其原因，一方面由于受應(yīng)試教育模式的影響，使得學生必須參加高考，使得教師在高中數(shù)學的教學過程中為了提高學生的學習成績，使其能在高考中取得高分，往往采用習題教學，讓學生通過做大量的習題來鞏固所學的知識，但是同樣存在著巨大的弊端。單調(diào)繁重的習題練習，會使得學生在這樣的學習中造成思維的固化，還會對數(shù)學學習產(chǎn)生疲勞感，使得對數(shù)學的學習停留在表面，缺少深入的鉆研。另一方面，由于社會競爭的越來越激烈，使得教師和家長在無形中將這種壓力傳給孩子，使得學生在學習中往往更加在意分數(shù)的高低和排名的前后，而不是在每次的學習和考試中總結(jié)自己的學習情況：解題思路是否更加簡答、快捷？知識的掌握是否全面和深入。這些原因使得高中數(shù)學的教學更加機械化和表面化，為了追求分數(shù)，而忽略了對數(shù)學知識的整體把握，也忽視了對學生數(shù)學思維和學習能力的培養(yǎng)。

二、 高中數(shù)學學習中運用一題多解與一題多變的必要性

（一） 激發(fā)學生的創(chuàng)新意識

如果一題多解、一題多變在高中數(shù)學學習中能夠得到靈活地運用，那么數(shù)學的教學就會更加地全面和深入。在這樣的一個學習過程中，引導高中生聯(lián)系自己已有的知識儲備進行一個積極全面的思考，學生在進行數(shù)學問題的分析和思考的過程中，開始改變單向的思維模式，轉(zhuǎn)而不斷開拓和發(fā)散自己的思維，學會從不同的方面探討問題，進而發(fā)現(xiàn)不同的思路和解決辦法。這樣不僅可以鞏固前面所學的知識，還能提高學生的創(chuàng)新意識，使得學生能夠?qū)⒔處熕鶄魇诘慕忸}思路與解題技巧進行內(nèi)化，從而提高學生做題的速度和準確率。

（二） 使得學生對知識的掌握更加全面

一題多解、一題多變的數(shù)學學習方式可以將相關(guān)的數(shù)學知識聯(lián)系和整合起來，然后再根據(jù)數(shù)學題目的不同，解題要求的不同，對知識采取不同的組合方式，進行解題。這樣的數(shù)學學習方式還能打破學生以往的思維慣性，學會靈活地運用所學的知識，進而能夠從一個整體上把握知識的全貌，善于總結(jié)和歸納這些知識之間的聯(lián)系和區(qū)別。大量的一題多解和一題多變的訓練后，學生漸漸學會舉一反三，使得數(shù)學知識的學習更加系統(tǒng)化和全面化。

（三） 提升學生解決問題的能力

數(shù)學教學的一個重要目標就是培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。一題多解與一題多變的數(shù)學教學方式能夠不斷鍛煉學生的思維能力，而且還能拓展學生的發(fā)散性思維。使得學生在遇到問題時，自覺地從不同的層次和不同的角度對這個問題進行一個全面的分析，從而發(fā)現(xiàn)不同的解決問題的方法，經(jīng)過對比分析，最終選擇一個最簡便的方法。這樣的教學方式，使得學生在學習新知識的同時，還能及時地回顧所學過的知識，做到溫故而知新，遇到類似的問題時會自然而然地聯(lián)想到與其他問題之間的關(guān)聯(lián)性，進而在最短的時間里選擇一種最簡單的方法進行解題，極大地提升解題的效率。

三、 一題多解與一題多變在高中數(shù)學學習中的運用措施

（一） 在習題練習中的應(yīng)用

為了使學生對數(shù)學知識掌握得更加牢固和深刻，教師經(jīng)常會給學生布置大量的練習，讓學生在大量的習題中加深對知識的記憶和理解。但是往往這些練習比較零散，也缺乏針對性，使得學生往往做完這道題，在碰到下一道類似的題目時卻不會做，使得練習很低效。因此，數(shù)學教師要將一題多解和一題多變運用于習題練習中去，提高學生的學習積極性，也真正實現(xiàn)習題的訓練效果。一題多解和一題多變這樣的變式訓練能夠?qū)⑺鶎W習的知識進行不同的組合和運用，進而幫助學生更加系統(tǒng)和全面地掌握所學的內(nèi)容。在高中數(shù)學教學中采用梯度的訓練方式，能夠激發(fā)學生進行思維的創(chuàng)新和思維的拓展，久而久之會形成自己獨特的數(shù)學知識體系。教師在布置習題練習時，以一組一組的形式展開，把相關(guān)的習題進行整合，變換不同的形式，以從不同的角度對學生進行考察，使得學生在練習的過程中能夠運用所學的全部知識，進行不同的組合，從而扎實自己的數(shù)學基礎(chǔ)。

例如，在對“等比數(shù)列”的知識進行復(fù)習時，為了使高中生對這一節(jié)知識的掌握更加牢固，數(shù)學教師可以把之前的練習再拿出來，進行一定地變化和拓展，使得高中生對新知識的理解更加深刻、運用更加熟練。學生之前做過這樣的一道題：已知在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求出{an}的通項公式。在學習了等比數(shù)列的通項公式后，教師可以將這道題進行改造，構(gòu)造一個新的等比數(shù)列{an+1}，要求求出它的通項公式后，再求出{an}的通項公式。通過這樣的一個變化，能使得學生對等比數(shù)列的知識有一個熟練的掌握，提高做題的效率。

（二） 在思維拓展中的應(yīng)用

通過高中數(shù)學的學習，要求學生在掌握基本的數(shù)學知識外，還要具備一定的數(shù)學思維。所以，高中數(shù)學教師在日常教學中通過采用一題多解、一題多變的數(shù)學方式，鼓勵和引導高中生進行積極的思考，從而漸漸培養(yǎng)高中生良好的數(shù)學思維。在傳統(tǒng)的高中數(shù)學教學中，習題的講解和試卷的評講會比較單調(diào)乏味，致使學生的積極性不高。導致這種情況的一個最重要的原因就是因為教師在習題講解的過程中就題論題，生搬硬套，缺乏新穎性，不僅無法激發(fā)學生的思維，在某種程度上還會固化學生的思維，使得學生在分析問題時不自覺地受到教師的影響，往往會限于一個思維的困境。因此，教師在數(shù)學教學中要注意引導學生自己去進行問題的探索，要能夠從最簡單的習題出發(fā)，進而進行不斷地變式，讓學生直觀地感受同樣的一道題可能會有許多種變化，一道題可能有許多不同的解題方法，促使學生自發(fā)地進行反思和總結(jié)。

例如，在復(fù)習“概率”的相關(guān)知識時，教師可以給出這樣的一道題：一個盒子里有2顆紅色的球和7顆白色的球，一個人隨機地從盒子里面拿球，拿出來的球不再放回盒子中去，計算第四次拿出的球是紅球的概率。這是一道很普通的概率問題，教師不要直接告訴學生怎么去計算，而是引導學生嘗試用兩種方法去計算。第一種計算方法是把盒子中所有的球都取出來，然后進行排列，把每一個排列的形式都當作一個基本的事件來看待，算出總事件，從而得出第四次拿到紅球的一個概率。第二種計算方法是把前四次取出來的球也進行一個排列，分別計算出基本的事件，最后計算出第四次拿到的球是紅球的概率。這樣的一個思考過程是對學生解題方法的提高，也是對學生數(shù)學綜合素質(zhì)的提升。

（三） 在知識講解中的應(yīng)用

在高中數(shù)學教學中運用一題多解與一題多變的教學方式，能夠使得知識的講解更加直觀，學生理解起來更加全面。高中數(shù)學的學習相對來說具有一定的難度，學生對相關(guān)的定義定理、規(guī)律公式往往理解起來比較困難，這個時候教師如果還是按照書本進行照本宣科，不僅不能讓學生了解相關(guān)的知識，還會挫傷學生的數(shù)學學習自信心。但是教師如果將一題多解和一題多變式的教學策略靈活地應(yīng)用于日常教學，從知識點的不同方面進行講解，直觀全面地傳授知識，這樣高中生理解起來更加簡單，這也是符合高中生的學習規(guī)律。

例如，在學“三視圖”的相關(guān)知識時，考慮到學生很少接觸這些知識，缺乏一定的空間思維能力和想象能力，教師可以轉(zhuǎn)換一下教學方式，幫助學生學習這一節(jié)知識。比如：教師可以充分利用身邊的物體進行教學，礦泉水瓶就是一個很好的教學工具，教師可以將礦泉水瓶正放在講臺上，讓學生畫出它的正視圖，等學生畫完后，教師在把礦泉水瓶放倒，瓶底對著學生，讓學生再畫出自己看到的礦泉水瓶形狀，以此類推，再畫側(cè)面。通過這樣的一個不斷的變化，能夠讓學生更加直觀形象地了解到三視圖的含義，真正理解三視圖就是指把一個物體放在一個固定的位置上，然后從三個不同的方向進行投影，也能夠幫學生了解如何通過觀察物體的三視圖來推斷物體的形狀。采用這樣一個不斷變化的教學方式，比教師直接告訴學生三視圖是什么、如何畫三視圖更加有效。在知識講解中運用一題多解和一題多變的教學思維，能夠極大地調(diào)動學生的學習積極性，也能充分發(fā)揮學生的創(chuàng)造力，從而切實提升高中數(shù)學的教學方式。

（四） 在知識復(fù)習中的應(yīng)用

任何學科知識之間都存在著一定的關(guān)聯(lián)，需要學生整體進行把握。高中數(shù)學的知識點，雖然表面上看并沒有什么交集，但是這些數(shù)學知識之間卻有著千絲萬縷的聯(lián)系。高中數(shù)學每個模塊的學習都是相互銜接的，因此教師在教學過程中要善于幫助學生總結(jié)、把握這些聯(lián)系，從而更好地從宏觀上認識數(shù)學的學習。教師要經(jīng)常帶領(lǐng)學生進行學習的小結(jié)，時間和內(nèi)容跨度根據(jù)學生的實際情況，時間可以是一個星期、一個月，內(nèi)容可以是一個大的章節(jié)，也可以是其中的一節(jié)。及時對所學的知識進行復(fù)習和總結(jié)，能夠及時發(fā)現(xiàn)自己在學習中存在的不足，進而查缺補漏，也能在復(fù)習的過程中發(fā)現(xiàn)不同知識之間的聯(lián)系。這一點是非常重要的，因為在高考數(shù)學考試中單獨地去考察一個知識點是非常少見的，大部分的考題都是涉及許多不同的知識點。但是按照傳統(tǒng)的復(fù)習方式，不僅不會達到預(yù)計的目標，還會使學生對數(shù)學學習產(chǎn)生厭倦。因此，可以將知識的復(fù)習與習題的練習結(jié)合起來，再結(jié)合一題多解、一題多變的形式，把不同章節(jié)的知識重新組合，使數(shù)學知識的學習更加靈活。在這樣的習題中，高中生能夠?qū)W會各種各樣的解題方式，實現(xiàn)從特殊到一般的轉(zhuǎn)化，進而發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學問題中的共性特征，使得對數(shù)學問題的分析更加全面。

例如，在復(fù)習“數(shù)列”這塊知識時，教師就可以將等差數(shù)列和等比數(shù)列類比起來，而不是僅僅做關(guān)于只涉及等差數(shù)列或者是等比數(shù)列的題目，因為對相關(guān)知識的考查都是交叉著進行的。因此教師要將這兩種數(shù)列融合進一個題目中，然后對題目進行不斷地組合，不斷地變化，使得學生對這一節(jié)知識的掌握更加牢固和熟練。比如“已知一個等差數(shù)列{an}的前10項和是310，前20項和是1220，由此可以確定其前 n 項和的公式嗎？”要求學生用兩種方式進行解答：

解法一：S10=310，S20=1220將它們代入公式Sn=na1+n（n-1）/2*d得到：

10a1+45d=310，20a1+190d=1220解這個關(guān)于a1與d的方程組，得到a1=4，d=6；

所以，Sn=4a1+n（n-1）/2*6=3n2+n。

解法二：因為{an}為等差數(shù)列，所以Sn=n（a1+an）/2，將條件帶入可得：10（a1+a10）/2=310①

20（a1+a20）/2=1220②

②—①×2得a20-a10=60，由d=（a20-a10）/（20-10）得d=6，

又由Sn=na1+n（n-1）/2*d得S10=10a1+45×6=310，

∴Sn=4a1+n（n-1）/2*6=3n2+n

通過引導學生用不同的方式解答問題，不僅可以鞏固學生的知識基礎(chǔ)，還能開拓學生的思維。

綜上所述，在高中數(shù)學教學中運用一題多解和一題多變的教學方式，需要教師不斷轉(zhuǎn)變教學理念和創(chuàng)新教學方式，改變以往照本宣科式的教學模式，改變傳統(tǒng)的漫無目的的題海戰(zhàn)術(shù)，充分調(diào)動學生的數(shù)學學習興趣，讓學生積極參與到數(shù)學教學中去。教師要將一題多解和一題多變應(yīng)用于高中數(shù)學教學的全過程，比如知識的講解、課堂的練習、知識的鞏固等，讓學生的數(shù)學學習更加地開放，處在一個動態(tài)的過程中，從而拓展學生的思維能力，提高學生的解題能力，使得學生對知識的掌握更加全面和扎實，切實提高學生的數(shù)學學習水平，促進學生綜合素質(zhì)的全面提升。

參考文獻：

[1] 闞志超.“一題多解”與“多題一解”在高中數(shù)學教學中的價值研究與實踐[J]. 中國校外教育，2015，（29）：23.