“趣”字當頭，構建生態數學課堂

陳熠林

[摘 要] 高中數學教學中，激發學生的興趣仍然是必要之舉. 從學生的認知特點出發，構建符合學生認知規律的教學過程，讓學生經由生態興趣走向生態智趣，再由生態智趣走向生態理趣，可以不斷地深化對數學知識的理解，可以有效地提升數學學科的核心素養.

[關鍵詞] 高中數學；生態興趣；生態智趣；生態理趣；生態課堂

在高中強大的應試背景之下談教學興趣，尤其是對于數學學科來談興趣，似乎有些不合時宜，因為高中數學本身具有非常強的理性特征，其不大可能跟義務教育階段的數學一樣，還能讓學生感受到直覺的興趣刺激. 但這并不意味著高中數學教學就真的與興趣絕緣，畢竟無論哪個年齡階段的人的學習，都是以興趣來支撐的，即使是大數學家的研究，也更多的是興趣驅動的結果. 因此，高中數學教學談“趣字當頭”又是有其必要性的. 只是在筆者看來，對這個“趣”的理解要更多元一些，要讓“趣”具有更多的意味. 而當筆者在教學中總結出從興趣到智趣，從智趣到理趣的時候，筆者找到了一條通往有效數學教學的道路. 因為只要真正做到了這三趣，那學生的數學學習過程就會變得更生態——所謂生態，就是指學生在一個符合自身認知習慣的課堂上構建數學知識，這個時候的課堂就如同一個陽光、雨露、大氣、土壤等所有因素俱全的自然環境，其自然能夠有效地促進身在其中的樹木的生長. 盡管這只是一個教育比喻——興趣、智趣、理趣，就是構成生態課堂的三個必要元素，但其中蘊含的道理卻是不謬的，現借此文對“‘趣字當頭，構建高中生態數學課堂”作一些思考.

[?] 生態興趣，激活學生的數學學習直觀感覺

不是所有的興趣都是真正的興趣，譬如課堂上教師為了活躍課堂氣氛而講一個笑話，其確實可以激活學生的學習動力，但笑話本身卻常常與學科無關，因此這樣的興趣有效但卻不能稱之為生態興趣. 所謂生態興趣，是指與學科密切相關，同時又能以有趣的形態出現在學生的面前，從而在刺激學生積極參與心理的情況下幫助學生有效地構建知識.

高中數學教學中，生態興趣是普遍存在的，只是其要借助于一定思路的教學設計來實現而已. 以“圓錐曲線的統一定義”（蘇教版高中數學必修五）的教學為例，這是一個對此前學習過后的圓錐曲線基本概念、橢圓、雙曲線、拋物線等知識綜合的過程，而本課的生態興趣也就隱藏在這個“綜合”里，因為綜合既是一種基本的思維方法（其一般是與分析同時存在的），同時也是一種基本的數學方法，更是高中階段學生所喜歡的一種方法——我們常常說高中的學生已經比較理性，往往所指的就是高中學生更喜歡通過符合一定邏輯關系的方法，來建構包括數學學科知識在內的知識. 于是筆者對此內容進行了這樣的設計：先讓借助于剛剛所學的拋物線的定義——平面內到一個定點F的距離和到一條定直線l（F不在l上）的距離的比等于1的動點P的軌跡是拋物線，讓學生利用發散性思維去思考：如果這個比值不等于1，那動點P的軌跡可能是什么曲線？

事實證明，這一問題確實可以激活學生的興趣，由于這個興趣直接指向圓錐曲線，因此其就具有了生態的意味. 在實際猜想的過程中筆者注意到學生的思考過程是這樣的：在進行了一會兒的自主思考之后，他們自發地在小組內進行交流，并熱火朝天地在草稿紙上畫出草圖. 由于有此前所學習過的拋物線作為基礎，又由于此時并不需要嚴格的邏輯驗證，因此他們更多的是借助于直覺思維進行大跨度的猜想——此時不宜讓學生運用嚴格的邏輯思維來推理，因為這會讓學生失去興趣. 而學生此時的猜想結果則通常是具有一定的偶然性的，因為他們對比值的任意取值往往是唯一的，要么是大于1，要么是小于1，但不管是哪種情形，學生都可以在直覺的作用下大致發現圖形可能是橢圓，也可能是雙曲線.

這是一個重要的發現，因為用學生的話說（在學生討論的過程中筆者深入到小組跟學生對話）：如果真的是橢圓的話，那就意味著拋物線的定義也是適用于橢圓的，那前面所學的橢圓就有了好幾種定義方式了. 這樣的情形在高中數學學習中并不多見，因此學生的興趣又進一步加強了. 這個興趣起什么作用？起讓學生此時產生的興趣向智趣發展的作用（下一點詳細敘述）.

回顧這一環節的教學，可以發現學生的興趣是在問題的激發下產生的，是在發散性思維作用下得到鞏固的，是在有了新的發現之后得到加強的. 這樣的過程，無疑是高中數學教學中難得的符合學生認知規律的過程，因為符合學生的認知規律，所以確認其是生態的.

[?] 生態智趣，引領學生感受數學自身的魅力

生態智趣是指在生態興趣的基礎上，通過與數學學科直接關聯，以使學生在進一步的數學探究中發現數學規律的過程. 這個過程中，與學生感覺、知覺直接相關的興趣可能會少一些，但與數學學科自身的規律發現則會多一些，其更多地體現出“智”的成分，因此筆者以之為生態智趣.

在上面的生態興趣出現之后，學生的思維出現了一個重大的變化，他們面對著一個看起來觸手可及，但卻一下子無法找到有效的證明的問題：如果到定點F與到定直線l的距離之比不等于1，更精確地說如果大于1或者小于1，那么這個軌跡是不是真的是橢圓或者是拋物線？這個過程中還包括少許學生的質疑：會不會這么巧？這個質疑在筆者看來也是極有價值的，因為學生所說的“巧”實際上就是指數學規律，也就是說學生懷疑會不會真的存在這樣的一個規律，而其后如果真的得到了證明的話，學生就會視之為規律，這實際上也是一個重要的思維基礎.

共后的智趣基本上是在嚴密的邏輯推理中獲得的：其一，教師可以通過數據處理軟件，輸入符合條件的不同的比值（此時可以告知學生以e表示），然后看軟件生成的圖形，那學生可以看到由于e值的不同，所生成的圖形也有所不同，但基本上可以斷定如果e值小于1，那生成的就是橢圓；而如果e值大于1，那得到的就是拋物線. 但這樣的證明過程其實嚴格來講并非是數學的，因為數學證明一定是基于已有的數學規律，并經過嚴格的邏輯推理得出結論的過程. 因此，教學還應該進一步深入：讓學生去證明！endprint

如何證明呢？起點在哪里？終點又在哪里？這是教學中遇到的另一個困難，很多學生到了這個時候都感覺無法下手. 這個時候可以發現學優生往往會率先有所突破，正如有學生說，如果要證明其為橢圓，那最終還是要得到橢圓的標準方程的，那我們現在要證明的就是：當e值小于1時，可以從某個地方出發得到這個橢圓的標準方程. 那么，從哪里出發呢？學生自然會想到當時橢圓標準方程的得出過程，于是教師跟學生一起回顧這個過程……這個過程通常數學教學中都有比較普遍的強調，這里就不贅述了. 這里需要說明的是，這個思路的得出過程本身是充滿了思維含量的，是需要一定的“智”作為支撐的，而一旦此處有了突破，那學生就會興奮起來，因為他們發現原來在推導橢圓標準方程的時候，就已經埋下了本課經由另一條路徑推導得出橢圓標準方程的方式. 這種新的發現可以拓寬學生對本知識更為深刻的認識，因而可以讓學生的內心產生一種學習的興趣，這個興趣實際上就是超越了生態興趣后的生態智趣.

從某種程度上講，生態智趣實際上對應著傳統數學教學中最核心的那個部分，即構建數學概念、形成數學理解、生成數學問題解決的能力，其也是與數學核心素養相關的一部分. 只是當我們從“趣”的角度強調時，可以發現數學規律發現過程輕松的一面，而這可能正是當下高中數學學習所稀缺的.

[?] 生態理趣，走向數學核心素養提升的境界

生態理趣是指向數學自身的特點的，數學發展至今，經歷的事件無數，其中很多事件都彰顯著數學自身的魅力，譬如今天所學之幾何是以歐幾里得幾何作為基礎的，而當從歐氏幾何拓展到非歐幾何，從直角坐標拓展到極坐標，每一次變化其實都是數學自身特性的彰顯. 如果在高中數學教學中能夠讓學生感受到這種數學發展的脈搏，那就可以讓學生發現數學的生態理趣. 也因此我們可以給生態理趣下一個定義：與數學學科相關，以讓學生在數學學習的過程中感受數學自身的發展規律，進而發現數學美的一種內在的興趣.

高中數學教學中追求生態理趣的有效途徑，在于構建數學知識的時候滲透進一定的數學史（這個當前有不少的研究，此處不贅述）；也在于為學生編制一些原始的數學問題，這類數學問題與生活相近，從而可以拉近數學與生活的距離，而學生在解決問題的過程中需要建立數學模型，需要進行數學抽象，而當學生完成了這些過程之后，其會生成一種將生活與數學聯系起來，并以數學眼光觀看生活事物的意識甚至是習慣. 一旦這樣的意識或能力形成，就意味著學生能夠感受到生態理趣.

在筆者看來，生態理趣就是高中數學教學的一種境界，其直指數學核心素養的提升，因為數學學科核心素養的基本要義就是學科與生活的聯系以及學科知識在生活中的運用！endprint