例談高中數(shù)學(xué)開放性問題的設(shè)計思路

陳波

[摘 要] 開放性問題在學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展中有著重要作用，但是實際教學(xué)中開放性的問題相對較少，這需要教師深度研究教學(xué)，設(shè)計出適應(yīng)學(xué)生發(fā)展需要的開放性問題. 本文認(rèn)為充分利用現(xiàn)有習(xí)題資源，從“變結(jié)構(gòu)”“變視角”“變情景”等三個方面著手，可以將封閉性問題設(shè)計為開放性問題.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；開放性問題；設(shè)計思路

開放性問題能有效地發(fā)展學(xué)生的能力，其作用一般體現(xiàn)在對問題的理解和認(rèn)識層面上，即不追求統(tǒng)一化的分析，不設(shè)置統(tǒng)一化的結(jié)論，教師也不能輕易地否定學(xué)生的答案，這樣的問題為學(xué)生提供了可以自由探索、放開想象的空間，學(xué)生可以在這樣的情境中運用觀察、分析、想象、綜合、類比、歸納、演繹等手段，從多個角度來剖析問題，探求問題的解決. 然而在實際教學(xué)中，哪兒有那么多開放性的問題呢？這就需要廣大數(shù)學(xué)教師積極地發(fā)掘資源，設(shè)計開放性問題.

筆者認(rèn)為，現(xiàn)有的習(xí)題資源可以有效地利用起來，教師對其適當(dāng)?shù)卣{(diào)整，即可將其改編為開放性的問題. 那些封閉式的問題都是命題教師將開放性的思維過程進行了過濾處理，而我們進行改編的過程就是要對其進行分解，研究問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，探求命題過程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，進而將其改造成開放性問題，相關(guān)操作模式如圖1所示. 下面筆者結(jié)合實例談?wù)劸唧w的操作.

[?] 怎樣來“變結(jié)構(gòu)”

所謂“變結(jié)構(gòu)”就是對原有的命題進行推廣和類比，或是對命題的條件進行特殊化處理以得到新的形式，或者是將原命題改編成逆命題或否命題而得到的新形式.

例如，學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線時，有以下兩個比較典型的封閉性問題.

原題1：現(xiàn)有△ABC兩個頂點的坐標(biāo)分別為點A（-6，0）和點B（6，0），且AC和BC兩條邊所在直線的斜率乘積等于-，求解頂點C的軌跡.

原題2：現(xiàn)有△ABC兩個頂點的坐標(biāo)分別為點C（0，-6）和點B（0，6），且AC和AB兩條邊所在直線的斜率乘積等于，求解頂點A的軌跡.

問題分解：上述問題所涉及的對象都是兩個定點以及一個動點，其特征屬性在于定點與動點連線的斜率比較特殊，而最終的問題又都集中于動點的軌跡.

下面我們通過對上述問題的結(jié)構(gòu)進行調(diào)整，進而將問題推廣為：設(shè)點A（-a，0），B（a，0），且a>0，現(xiàn)有動點P滿足讓直線PA和PB的斜率乘積等于m（m≠0），求解動點P的軌跡.

我們還可以對上述推廣問題進行逆向思考，由此形成問題：若曲線-=1（m≠0，a>0）上有某點P（x，y）（y≠0），現(xiàn)有兩個定點A（-a，0）和B（a，0），且a>0，證明直線PA和PB的斜率乘積等于m.

對上述逆向思考所構(gòu)成的問題，我們還可以進行推廣，形成以下問題：若AB是經(jīng)過-=1（m≠0，a>0）中心的任意一根弦，而某點P（x，y）位于該曲線上，且與A，B兩點不重合，證明直線PA和PB的斜率乘積等于m.

通過對原有問題進行逆向推廣研究，設(shè)計出新的問題，從而促進學(xué)生對圓、橢圓和雙曲線的概念、方程以及圖像形成較為統(tǒng)一的認(rèn)識，并能在歸納和類比的基礎(chǔ)上體會對立統(tǒng)一的思想，進而幫助學(xué)生在類似問題的處理過程中形成結(jié)論和解決方法的猜想，并設(shè)法對猜想進行證明或否定，由此實現(xiàn)問題的最終解決，這也將成為學(xué)生探索數(shù)學(xué)認(rèn)知的常用方法.

[?] 怎樣來“變視角”

所謂“變視角”就是將原命題中的定量研究轉(zhuǎn)換為定性研究，并由此形成新的解釋；當(dāng)然也可以是將原命題中的抽象性研究轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗蠡哪Ｐ筒⒂纱诵纬尚碌慕忉專贿€可以從新方法或新概念出發(fā)，從新的視角更為全面地對已有認(rèn)知產(chǎn)生全新的理解，等等.

在學(xué)生已經(jīng)掌握了正弦定理和余弦定理之后，我們引導(dǎo)學(xué)生綜合運用這些關(guān)系來處理斜三角形的問題，而一些問題就可以通過“變視角”處理來增強問題的開放性.

問題分解：研究上述恒等式a2sin2B+b2sin2A=2absinC，我們可以發(fā)現(xiàn)等式的右半邊不就是原三角形面積的四倍嗎？如果在恒等式兩側(cè)同時除以4且運用二倍角公式，我們可以得到：bsinA·bcosA+asinB·acosB=absinC. 在△ABC中畫出AB邊的高CD，點D為垂足，若點D在AB邊的中間區(qū)域，則bsinA·bcosA，asinB·acosB分別對應(yīng)△ACD和△BCD的面積，二者之和正好就是整個原三角形的面積.

對原有問題，我們可以改變研究的視角，從而設(shè)計出問題1：在△ABC中，以AB邊為底邊構(gòu)建高CD，點D為垂足，若點D恰好在AB邊的端點上或位于AB邊的延長線上，你是否還能解釋a2sin2B+b2sin2A=2absinC的幾何意義？

當(dāng)然還可以將上述問題進一步進行調(diào)整，由此形成問題2：在△ABC中，以AB邊為底邊構(gòu)建高CD，點D為垂足，請結(jié)合△ACD和△BCD的面積關(guān)系，寫出一個有關(guān)于△ABC中六個基本元素的恒等關(guān)系式.

對于問題2，其開放性在于沒有規(guī)定兩個三角形面積之間具體的關(guān)系，可以是面積之比，也可以是面積之差. 但是問題實際研究的過程中，學(xué)生都可以從三角形底邊高的不同形式，具體一點就是垂足點D的具體位置來分類探討面積之間的等量關(guān)系，進而得出恒等式的證明. 當(dāng)然，相關(guān)問題的解決思路也不唯一，學(xué)生也可以運用正弦定理和余弦定理通過“邊角互化”的方法來進行證明.

通過上述問題的分析，我們還可以發(fā)現(xiàn)采用數(shù)形結(jié)合的思想實現(xiàn)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，這將有助于復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而讓學(xué)生用形象思維來推動抽象思維的發(fā)展，這也有助于學(xué)生進一步把握數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)，它也是數(shù)學(xué)研究靈活性與規(guī)律性的統(tǒng)一. 通過上述開放性問題的設(shè)計，教師引導(dǎo)學(xué)生用嶄新的視角來重新審視他們所熟悉的問題，這對指導(dǎo)學(xué)生獲得更加新穎的發(fā)現(xiàn)有著顯著的指導(dǎo)意義.

[?] 怎樣來“變情景”

情景就是為數(shù)學(xué)問題發(fā)生的背景，聯(lián)系到當(dāng)前數(shù)學(xué)教育所倡導(dǎo)的實踐性和創(chuàng)新性，我們可以將其理解為讓學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識運用到真實的實踐活動之中，開展不同主題的研究性學(xué)習(xí)，而該項學(xué)習(xí)任務(wù)的真實性、實踐性也正是開放性問題教學(xué)所要實現(xiàn)的終極目的.

當(dāng)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過“平面向量的坐標(biāo)表示”之后，筆者要求學(xué)生圍繞有關(guān)向量知識的學(xué)習(xí)，自主選擇和利用相應(yīng)的學(xué)習(xí)資源，積極開展搜集、觀察、體驗、實驗、操作等實踐活動，并從中探索完整且具體的數(shù)學(xué)知識，形成相應(yīng)的各項技能，并促成相關(guān)能力的發(fā)展. 而學(xué)生通過自主實踐活動充分訓(xùn)練了他們的探究能力和建構(gòu)知識的能力，他們的創(chuàng)新意識也得到了充分的發(fā)展. 現(xiàn)將幾個小組的活動內(nèi)容簡介如下：

A小組的學(xué)生將平面向量的二維坐標(biāo)表示方法拓展為多維向量的形式，他們不但對n維向量的運算法則進行了研究，還嘗試著運用n維向量的相關(guān)原理來表示某次體操比賽中6個裁判對運動員多次表演給出的平均分. 他們還以在超市購買商品為模型，運用n維向量的數(shù)量積對購買商品按照不同單價以及數(shù)量的總價進行表示. 在教師的引導(dǎo)下，他們還對矩陣以及運算法則進行自學(xué)，從而對自己原先的數(shù)學(xué)表達(dá)形式進行優(yōu)化，對數(shù)學(xué)的簡潔美有了自己的感悟和體會.

B小組通過資料的查閱深度研究了向量積及其應(yīng)用，他們從概念、運算法則等角度對向量積和數(shù)量積進行了對比和分析，并將向量積與物理學(xué)中的轉(zhuǎn)動模型聯(lián)系起來，從數(shù)學(xué)的角度來研究角動量定理和角動量守恒定律.

C小組直接將向量和物理學(xué)中的矢量放在一起研究，較為全面地分析了向量的概念以及運算法則在物理學(xué)中的運用，他們還寫了一篇小論文“向量與高中物理學(xué)習(xí)”.

還有幾個小組將向量與信息技術(shù)聯(lián)系起來，比如探討向量在GPS導(dǎo)航系統(tǒng)中的運用. 由于實踐活動本身就具有開放性，因此很多方法完全超出了教師的預(yù)設(shè)，也取得了讓人意想不到的成果.

教師在設(shè)計開發(fā)性問題時，必須要始終明確問題設(shè)計的初衷，即為了鼓勵學(xué)生積極切換研究的視角，調(diào)整研究的層次，從而更加全面地分析和探索問題，并借此尋找不同的答案. 開放性的問題應(yīng)該讓不同層次的學(xué)生都能按照自己擅長的角度來審視問題，并由此感悟再生知識的方法以及建構(gòu)知識的技巧，讓每一個學(xué)生都將因此獲得機會來展示自己、感受成功.endprint