基于APOS理論的函數概念“八步”教學設計

李雪梅++趙思林

【摘要】APOS理論是由美國數學家杜賓斯基提出的一種關于數學概念學習的新理論.通過對APOS理論的解讀、對函數概念教學的解讀，設計了基于APOS理論的函數概念“八步”教學設計，即“憶”—“讀”—“思”—“辨”—“定”—“懂”—“用”—“悟”.目的是在函數概念的學習過程中展示知識獲得的4個階段，并在實踐的基礎上針對教學設計提出了相關建議，突破教學難點.

【關鍵詞】APOS理論；函數概念；“八步”教學設計

目前對函數概念的教學設計很多，但基于某種學習理論的函數概念教學設計卻很少.基于這個現狀，在APOS理論的指導下對函數概念進行“八步”教學設計，旨在為APOS理論的具體應用以及概念教學方法提供參考.

1APOS理論的概述

APOS理論是由美國數學家杜賓斯基（Dubinsky）在20世紀80年代提出的一種關于數學概念學習的新理論，是一種具有數學學科特色的建構主義學習理論，被譽為近年來數學教育界最大的理論成果之一，它包含活動（Action）、程序（Process）、對象（Object）和圖式（Schema）4個階段[1].

活動階段：數學教學是數學活動的教學，操作運算行為是數學認知的基礎性行為.學生要親自參與，通過實際經驗來獲得知識.

過程階段：不斷重復這種操作，學生從中不斷反思，于是就會在大腦中進行一種內部的心理建構，即形成一種過程模式.這種過程模式使得操作呈現出自動化的表現形式，而不再借助于外部的不斷刺激.

對象階段：當學生意識到可以把這個過程看做一個整體，并意識到可以對這個整體進行轉換和操作的時候，其實已經把這個過程作為一個一般的數學對象，形成一個“實體”.這時不但可以具體地去指明它所具有的各種性質，也可以此為對象具體地去實施各種特定的數學演算.

圖式階段：個體對操作、過程、對象以及他自己頭腦中的原有的相關方面的問題圖式進行相應的整合、精選就會產生出新的問題圖式，這種圖式的作用和特點就是可以決定某些問題或某類問題是否屬于這個圖式，從而就會做出不同的反應.顯然，個體的思維和認識狀況在這種持續建構中已經上升到更高的層次，即對有關概念進行了更高層次的加工和心理表征.

2基于APOS理論的函數概念“八步”教學設計

2.1函數概念的“八步”教學設計與簡要說明

下面給出函數概念的“八步”教學設計（或稱“八環節”）的流程圖，如圖1，并對“八步”教學設計的含義作初步說明.圖1函數概念“八步”教學設計函數概念教學設計中的“八步”是指：“憶”—“讀”—“思”—“辨”—“定”—“懂”—“用”—“悟”.下面對這“八步”的含義作初步說明.

“憶”是指回憶初中函數的概念及其相關知識點，幫助學生提取已有的知識，為新課的學習做好知識儲備，讓學生產生認知沖突，激發學生的學習興趣.

“讀”是指對給出的例子的品讀，找出每個實例中所隱含的核心內容，為進一步抽象概括得到函數概念提供支持.通過“讀”的形式，培養了學生閱讀理解的能力.

“思”是指通過對所給3個實例的分析，引導學生用集合與對應的語言來刻畫實例，為用對應描述變量之間的依賴關系奠定基礎，同時培養學生分析問題和提取信息的能力.

“辨”是指通過對3個實例的歸納總結，概括出3個例子中所蘊含的相同點和不同點，進而抽象出函數概念的“粗”定義，通過學生的觀察、分析、比較、歸納和概括，培養了學生的思維能力和概括抽象能力.

“定”（即定義）是指函數概念的形式化定義，即“精”定義.對函數概念進行準確的定義，充分體現了數學化、符號化、精確化等過程.

“懂”是指對定義的理解，理解是記憶的基礎，理解是應用知識的前提，只有通過對概念的深刻理解，才能使所學知識意義化、系統化、條理化[2].這一步通過一系列問題：即在函數概念中，你認為有哪些是關鍵詞？函數的構成要素有哪些？ 怎樣理解函數的概念呢？ 怎樣理解函數定義中符號f（x）和y=f（x）的意義呢？達到突破難點的目的，使學生真正“懂”得函數概念.

“用”是指應用，用數學知識解決新的數學問題時應當考慮怎樣用、何時用等問題.函數概念的應用十分廣泛，實際運用時一般不是簡單的直接用定義，而是著眼于間接性的用，變用及創造性地用等.

“悟”是指感悟數學思想.數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，掌握數學思想就是掌握數學的精髓.函數概念蘊涵豐富的數學思想，如數形結合思想，分類討論思想，類比思想等.

2.2基于APOS理論的函數概念“八步”教學設計與設計意圖分析

第一階段觀察與操作（活動階段）——表現為主的感性認識

函數概念是中學數學的一個核心概念，它的學習橫跨初高中兩個階段.為了讓學生在一步步的操作中獲得對函數概念的初步認識，選取了三個生活中學生熟知的實例——炮彈發射問題、臭氧層空洞問題、恩格爾系數問題，讓學生可通過具體實例更為直觀地感知函數的概念.這是APOS理論的活動階段.

依據函數概念的“八步”教學設計，提出了如下教學建議，并對每一步都說明設計意圖.

第一步“憶”

函數概念是高中學習的難點，通過讓學生回憶初中函數的概念，把握函數的核心思想，為進一步學習高中函數概念打下基礎.

問題1同學們在初中已經學習過“函數”，大家能說出初中函數的概念嗎？能否舉幾個函數的具體例子.

設計意圖讓學生回顧初中學習過的函數概念，把握其內涵，為新知識的學習做準備.

問題2 同學們，y=1（x∈R）是函數嗎？

（用初中函數的概念不能回答這個問題，要解決這個問題就要引入更加確切的語言來表達函數的概念，從而引入新課）

設計意圖幫助學生提取已有的知識，為新課的學習做好知識儲備.通過設置問題“y=1 x∈R是函數嗎”，讓學生產生認知沖突，使其處于“憤”的狀態，激發學生的學習興趣，使學生以最佳狀態進入新課的學習.endprint

第二步“讀”

通過閱讀現實生活中的實例，讓學生初步感知數集之間的一種對應關系.

例1一枚炮彈發射后，經過26s落到地面擊中目標，炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時間t（單位：s）變化的規律是h=130t-5t2.

問題3如果用t表示時間，h表示炮彈距地面的高度，兩個量t，h能構成函數嗎？t和h的變化范圍分別是什么？

例2近幾十年來，大氣層中的臭氧層迅速減少，因而出現了臭氧層空洞問題，下圖中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979—2001年的變化情況.

問題4 如果用t表示時間，s表示臭氧層空洞面積，這里的變量t，s之間是否是函數關系，它們各自的變化范圍是什么？試用集合A，B表示.

用集合A，B表示變量t，s的變化范圍為：

A={t1979≤t≤2001}，

B={s0≤s≤26}.

例3國際上常用恩格爾系數反映一個國家人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高，下表中恩格爾系數隨時間變化的情況表明，“八五”計劃以來，我國城鎮居民的生活質量發生了顯著的變化.“八五”計劃以來，我國城鎮居民恩格爾系數變化情況

時間（年）19911992199319941995199619971998199920002001城鎮居民恩格爾系數%538529501494499486464445419392379問題5如果用t表示時間，s表示恩格爾系數，兩個量t，s能構成函數嗎？t和s的變化范圍用集合A，B表示分別是什么？

用集合A，B表示變量t，s的變化范圍為：

A={t1991≤t≤2001}，

B={s37.9≤s≤53.8}.

設計意圖從實例中體會到函數可以用解析式、圖像、圖表來刻畫，培養學生發現問題、分析問題，靈活應變的能力.

第二階段綜合分析（過程階段）——思維活動為主的理性思考

通過對3個實例是否構成函數，及其變量的變化范圍的討論，引導學生進一步思考兩個變量之間是否存在某種一一對應的關系，引導學生用集合與對應的語言來刻畫實例.學生對函數概念的理解由感性上升到理性.這是過程階段.

第三步“思”

問題6在例1中，如果把t的取值范圍看成集合A，h的取值范圍看成集合B，對集合A中每一個元素t與集合B中的元素有什么關系呢？

于是，有：

①t的變化范圍是數集A=t0≤t≤26；

②h的變化范圍是數集B=h0≤h≤845；

③對于A中的任意一個時間t，按照對應關系h=130t-5t2都有唯一的高度h和它對應，從而構建了從A到B的一個對應f：A→B.

設計意圖從實例中找出函數可以用解析式來刻畫，培養學生發現問題，分析問題的能力，靈活應變的能力.

問題7在例2和例3中，對集合A中每一個元素x與集合B中的元素有什么關系？

對于A中的任意一個時間t，按照某一對應關系都有唯一的s和它對應，從而構建了從A到B的一個對應f：A→B.

設計意圖引導學生用集合與對應的語言來刻畫實例.通過語言之間的轉化，變一種說法，牽出對應這一說法，為用對應描述變量之間的依賴關系奠定基礎，同時培養學生分析問題和提取信息的能力.

第四步“辨”

問題8 以上3個實例有什么相同點？不同點？

相同點：通過歸納概括，可以得到： 在集合A中每取一個數，按照一定的對應關系，在集合B中都有唯一的一個數與之對應，構建了從A到B的一個對應f：A→B.

即：（1）都有兩個非空數集A，B；

（2）兩個數集間都有一種確定的對應關系；

對于數集A中的任意一個數，數集B中都有唯一確定的數和它對應.

不同點：（1）實例1是用解析式刻畫變量之間的對應關系；

（2）實例2是用圖象刻畫變量之間的對應關系；

（3）實例3是用表格刻畫變量之間的對應關系.

設計意圖由前面3個實例，抽象概括出函數概念的本質，借助3個集合單值對應關系圖，這樣處理有利于形成知識的正遷移.通過學生的觀察、分析、比較、歸納、概括，培養學生抽象思維的能力，同時也培養了學生的創新意識.

第三階段建構理論（對象階段）——數學的表示與應用

在教師的引導下，由學生抽象、總結、概括函數的概念，即得到函數概念的準確定義，并在此基礎上對函數概念中的關鍵詞、構成要素、符號進行解讀，逐個擊破難點，使學生更加深刻地理解函數概念.這是對象階段.

第五步“定”（即定義）

問題9你能用集合的觀點給函數重新下個定義嗎？（得出函數的概念）

函數概念：設A，B是非空數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對應集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為集合A到集合B的一個函數，記作y=f（x），x∈A.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f（x）x∈A}叫做函數的值域.

設計意圖本環節是實現從“描述性定義”到嚴格的符號化定義的關鍵環節.

第六步“懂”

問題10在這個定義中，你認為有哪些是關鍵詞？函數的構成要素有哪些？ 怎樣理解函數的概念呢？

概念中的關鍵點：

① A，B是非空數集；

②對應關系f可以通過解析式、圖象、列表等來表示；

③任意、存在、唯一；endprint

④符號“y=f（x）”的含義；

⑤函數三要素：定義域、值域、對應關系.

問題11怎樣理解函數定義中符號f（x）和y=f（x）的意義呢？

對符號f（x）的理解：符號f（x）不能理解為f與x相乘，因為f本身不是數，可將抽象符號f（x）與學生“加工”的經驗聯系起來，幫助學生理解符號f（x）.如果把函數f比喻為“加工機器”，輸入原料x，通過“加工機器”f，輸出唯一確定的產品f（x）.也可以把函數f（x）看成是“計算機器”f對x實施的“一系列運算”.例如，f（x）=x2-2x+3可以看成f對x實施了“平方，減2倍，再加3”這一系列運算.這對學生理解函數f和函數值的計算都是非常有實效的.

對符號y=f（x）的理解：因為y表示x的函數，且f（x）表示x的函數，所以y=f（x）.

設計意圖通過對函數概念及函數構成要素的分析，深入理解函數概念中的難點知識.

通過逐步解析，理解“關鍵詞”、“函數構成要素”、“符號f（x）和y=f（x）的意義”等難點.對難度逐個擊破，使學生深刻理解函數的概念.

第四階段形成圖式（圖式階段）——辨析與反思

最后設計不同層次例題和練習，學生從不同背景下理解函數概念，通過對函數概念的多角度思考，完善函數概念認知圖式.

第七步“用”

例題是為了使學生更好地理解函數定義而設置的，既考慮了數學思維的嚴謹性，也體現了數學知識的應用性.

典例解析

例4已知函數f（x）=x+3+1x+2.

（1）求函數f（x）的定義域； （2）求f-3，f23的值；

（3）當a>0時，求fa，fa-1的值.

思考怎樣求函數的定義域？f（x）與fa有何區別與聯系？

點撥fa表示當自變量x=a時函數f（x）的值，是一個常量，而f（x）是自變量x的函數，它是一個變量，fa是f（x）的一個 特殊值.

設計意圖通過例4使學生學會求簡單函數的定義域，以此更好地突出重點.例4表明當對應法則確定后，對應定義域內的一個數，只要將它代入解析式，就可求出它所對應的函數值，進一步體會函數符號的含義.

練習請大家根據所學的函數定義分析初中學習過的幾個具體函數？

設計意圖引導學生對函數的描述性定義上升到集合與對應刻畫的定義，加深對函數概念的理解，鞏固所學知識.

第八步“悟”

“悟”是數學思想的感悟和提煉.教師可引導學生分析函數概念教學中主要有以下幾種思想：類比思想，分類討論思想，數形結合思想等.

類比思想：類比初中函數的概念，為高中函數概念的學習做準備.

分類討論思想：通過對3個實例的解讀，分別探討了函數不同的表達形式（解析式、圖像、圖表等），并在此基礎上概括抽象了3個實例間的共性和特性，從而進一步抽象得到函數的概念.

數形結合思想：函數概念的學習中，多處運用到數形結合的思想.

設計意圖依據《普通高中數學課程標準（實驗）》提出的：“概念教學應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質.通過典型例子……使學生體會蘊含在其中的思想方法[3]……”.教師在進行教學的過程中，引導學生歸納總結，體會數學知識中所蘊含的思想方法，幫助學生鞏固本節課的主要內容，加深印象.

布置作業

1.復習本節課所學內容；

2.必做題：教材第19頁練習第1、2題，第24頁習題12第4題.

3.選做題：老師在黑板上書寫.

設計意圖及時復習所學，使其融匯貫通；必要練習，加深對概念本質的理解；通過分層作業體現了學生課外探究具有選擇性、多樣性，從而滿足各個層次學生的需求，使不同的學生在數學上獲得不同的發展，體現了新課標中“以學生發展為本”的理念.

3教學設計反思

整個教學設計重視學生的親身體驗，借助學生的生活經歷，將新知識與學生已有知識和經驗聯系起來.并且注重挖掘數學知識的現實背景，再現數學知識的抽象過程，問題情境的設置形成逐層深入，環環相扣的問題鏈，以問題解決為線索，引導學生主動討論、積極探索，引導學生從實際背景、圖象等多方面理解函數的本質.并在教學過程中通過具體函數來理解函數的一般概念，強調對函數本質的理解.

通過本節課的學習，學生經歷了“特殊——一般——特殊”的過程，豐富了其數學思維，對比了初高中函數概念，上升了對函數的認知.在這個過程中，倡導自主學習、合作學習、探究學習的學習方式，強調在實踐中完成學生自身知識的建構.

APOS理論對函數概念教學具有十分重要的指導意義，關于在教學中如何利用好APOS理論，提出了以下建議：（1）教師要合理運用和開發教材，根據學生的思維活動設計教學活動；（2）教師要通過各種反饋信息，了解學情，反思教學；（3）教師在教學中要注意滲透數學思想，要增強學生應用數學知識解決實際問題的能力，培養學生的創新意識.

參考文獻

[1]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]閆振榮，劉越英.高效復習數學知識策略[J].平原大學學報，2006（1）：105-108.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2003.

作者簡介李雪梅（1993—），女，碩士研究生，主要從事數學教學研究.

趙思林（1962—），男，四川省巴中市人，教授，碩士生導師，主要從事高考數學、數學教育等研究工作.endprint