高中數(shù)學(xué)解題中整體思想的應(yīng)用

徐澤宇

摘 要：本文將在簡單論述高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用整體思想的重要作用下，結(jié)合具體題目，對高中數(shù)學(xué)解題中整體思想的應(yīng)用進(jìn)行簡要分析研究。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)解題；整體思想

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2017）05-295-01

一、在高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用整體思想的重要作用

所謂的整體思想，簡單來說就是通過將問題視作一個(gè)完整的整體，從全局高度上把握和分析問題，實(shí)現(xiàn)問題的化繁為簡、化整為零。由于高中數(shù)學(xué)題目類型多種多樣且具有一定的復(fù)雜性，因此使用傳統(tǒng)的解題方法與思路，雖然基本能夠完成數(shù)學(xué)題的求解，但需要對每一個(gè)元素進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算量巨大，解題步驟十分繁瑣[1]。

二、高中數(shù)學(xué)解題中整體思想的具體應(yīng)用

1、數(shù)列解題

作為高中數(shù)學(xué)的一大常見題型，在解決數(shù)列題的過程中，通過運(yùn)用整體思想，在化整為零的原則指導(dǎo)下，我們無需對每一個(gè)變量進(jìn)行求解計(jì)算，而是通過用完整的代數(shù)式表示出各個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系，并直接求解代數(shù)式的值即可完成數(shù)列題的求解。譬如說在等差數(shù)列 當(dāng)中，當(dāng)n等于16時(shí)，數(shù)列的值為16，則當(dāng)n等于31時(shí)，S的值為多少這一題目當(dāng)中，想要求解 ，首先需要明確首項(xiàng)和公差的值，即 的值和d的值。雖然題目當(dāng)中已經(jīng)給出了 這一條件，但僅憑這一條件我們并不能直接計(jì)算出數(shù)列首項(xiàng)與公差的具體值。因此通過運(yùn)用整體思想，通過用 這一計(jì)算式整體代換 ，也就是說 可以轉(zhuǎn)換成 ，通過進(jìn)一步推導(dǎo)可以得知：

= = =434

在解決這一數(shù)列問題的過程中，正是通過運(yùn)用整體思想，在分析數(shù)列整體趨勢下，著眼于特殊項(xiàng)進(jìn)而有效完成解題。

在等差數(shù)列 當(dāng)中，用Sn表示其前n項(xiàng)和，并且已知當(dāng)n的值為7時(shí)，S7便是等差數(shù)列 前n項(xiàng)和的最大值， 的值大于 ，則當(dāng)?shù)炔顢?shù)列 前n項(xiàng)和在大于0的情況下，試求n的最大值。對該數(shù)列題進(jìn)行求解的過程中，我們根據(jù)已知條件可以推算出 的值大于等于0，而 ，且S8等于S7+a8，因此可以得知 為負(fù)數(shù)。也就是說 與 的和為負(fù)數(shù)，通過采用整體思想，可以求得 = = ，且值為負(fù)數(shù)，則 = = ，因此 =13 ，且值大于等于0。故而在 的值為0的情況下，如果等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和的值大于0，則n的最大值為12，如果 的值為正數(shù)，則在等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和的值大于0的條件下，n的最大值為13。

2、函數(shù)解題

一般在解決三角函數(shù)題的過程中，靈活套用固定的公式即可，但由于題目類型變化多端，因此采用單純的套用固定公式的解題方法，往往會(huì)增加三角函數(shù)解題的繁瑣度和計(jì)算量，同時(shí)也有可能增加解題的錯(cuò)誤率[2]。而通過運(yùn)用整體思想則可以有效解決這一問題。譬如說在解決如下三角函數(shù)問題時(shí)：

可以運(yùn)用整體換元的思想，通過用A直接等效代替原式，并結(jié)合三角函數(shù)的具體性質(zhì)，將 用B進(jìn)行等效代換，此時(shí)原式和 相加可以直接用A+B表示，即：

+ =A+B=3

而此時(shí)通過令B-A，即可得到 ，通過對其進(jìn)行進(jìn)一步轉(zhuǎn)換，可知 ，也就是說A與B的值完全相等，均等于 ，則原式 的值為 。

4、復(fù)數(shù)解題

通常我們在解決復(fù)數(shù)問題時(shí)習(xí)慣設(shè) 并令x和y的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，而此種方式將在無形中把完整的復(fù)數(shù)拆分成實(shí)部和虛部兩個(gè)部分，由此增加了解題的復(fù)雜性。此時(shí)通過運(yùn)用整體思想則可以化繁為簡，如在設(shè)a的值為正數(shù)，z的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，求解 的復(fù)數(shù)問題時(shí)，在對整體問題進(jìn)行分析之下可知z或?yàn)閷?shí)數(shù)或?yàn)榧兲摂?shù)。因此通過分別在z為實(shí)數(shù)和z為純虛數(shù)的條件下，求解 ，可知當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，z= ；當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，z= ，且a的取值范圍為[0，1]。

事實(shí)證明，通過在高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用整體思想，可以在對問題進(jìn)行整體把握的高度上實(shí)現(xiàn)化繁為簡，進(jìn)而有效幫助我們降低解題難度、提升解題的精確性和速度。因此在日后解決高中數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們還應(yīng)當(dāng)根據(jù)實(shí)際情況，靈活使用整體思想，通過化整為零的方式解決數(shù)學(xué)問題，并有效鍛煉自身的數(shù)學(xué)思維能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 廖靜怡. 高中數(shù)學(xué)解題中的整體思想[J]. 科技展望，2017，08（11）：23-24.

[2] 胡 靜. “整體思想”在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)踐和運(yùn)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2017，33（05）：27.endprint