經歷過程 探尋規律 滲透模型思想

劉婷

摘 要：《課程標準（2011年版）》闡述了模型思想的重要意義，引導教師注重學生的數學模型思想建立，不但要重視結果，更要關注學生自主建立數學模型的過程，讓學生親身經歷將具體問題“數學化”的探究過程，從復雜的現實素材中找出最本質的數學模型的過程，并在建模過程中培養學生的數學應用意識，引導學生自覺地用數學的方法去分析、解決生活中的問題。

關鍵詞：模型思想；小學數學；滲透

引言

在小學階段，從《課標》的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明確了模型思想的重要意義。如何建立數學模型呢？《課標》也給出了答案：以“問題情境——建立模型——解釋、應用于擴展”作為小學數學課程的一種教學模式。

一、激趣創設，發現、提出問題，初步感知

教學情境的創設，要從學生已有的知識經驗和生活經驗出發，利用多種形式盡可能地創設生動有趣、目標明確、富有挑戰性的問題情境，來激發學生的好奇心和求知欲，引發學生的探究欲望。在探索解決問題的過程中，感受新知識產生的背景，理解新知識引入的必要性及作用，激發學生主動參與數學活動的積極性，使學生的數學學習更為生動有效。例如，《鴿巢問題》教學這一節課中，可以通過學生熟知的紙牌魔術展示，有目的的激發學生在課堂上的積極性；在“魔術揭秘”的猜測中引發學生探究的興趣和探索的欲望，從而促進學生將生活問題抽象成數學問題，感知數學與生活的聯系，培養學生以數學的眼光發現問題、提出問題、解決問題。

二、自主探究，經歷過程，探尋規律，初步建立模型

學習素材是學生建立數學模型的基礎，因此教師首先要給學生提供豐富的學習素材，多側面、多維度、全方位感知某類事物的特征或數量間的相依關系。例如：《鴿巢問題》教學這一節課中的探究環節。

師：回想一下，以往我們學習數學廣角時都是把復雜的問題簡單化，也就是運用化繁為簡的方法來研究的，今天我們繼續運用化繁為簡的方法，先來研究一個數據小、容易理解的例子。請看——

1.出示：先出示三個筆筒，再出示四支筆。

2.問題：把這四支筆放到筆筒里，都可以怎么放？會有幾種情況？

出示：不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支筆。

3.你們同意嗎？這句話你怎么理解？

4.活動要求：到底是不是這樣呢？這樣吧，利用你手中的學具或者畫圖表示，來擺一擺、畫一畫，寫一寫，把你的想法記錄下來。

5.學生活動。暴露資源，組織研討。

6.研討匯報：誰來展示一下你們的擺放情況？

（1）用“枚舉法”證明

①畫圖（圖） ②數的分解（圖2）

（2）用“假設法”證明

教師實物演示：每個筆筒里先放1支筆，還剩下1支，不管怎么放都能夠保證每個筆筒里至少有2支筆。

總結：剛才咱們用不同的方法證明，得出了什么結論？

7.在不斷變化中提升認識：請同學們思考，如果把5支筆放進4個筆筒里，總有一個筆筒至少有幾支筆？6支筆放進5個筆筒里呢？……100支筆放進99個筆筒呢？

8.要求：先獨立思考，可以在本上畫一畫，寫一寫，然后把你的想法和同學交流一下。

9.你還是通過枚舉法把所有情況都找出來嗎？

生：不是。

師：的確，當數值比較大時，枚舉法就比較煩瑣，但也不能否認枚舉說明法的價值，正所謂尺有所長，寸有所短，具體情況具體分析。

10.你怎么知道總有一個筆筒至少放了兩個支筆的？

預設：假設每個筆筒都放一支筆，那么還多一支筆，放任意一個筆筒里，所以至少有兩支筆放到了一個筆筒里。

11.觀察一下板書上的數據，你能發現什么？

筆數 筆筒數 至少數

4 3 2

5 4 2

6 5 2

100 99 2

總結：只要分的筆數比筆筒數多1，總有一個筆筒里至少有2支筆。

12.課件出示：7只鴿子飛回5個鴿籠，至少有（ ）只鴿子要飛進同一個鴿籠里。

請同學們先自己思考，可以利用咱們剛才的研究方法，自己寫一寫、畫一畫，想一想，然后在小組內討論。

13.交流、說理活動，提煉算式。

師：能用算式來表示嗎？

生：7÷5=1……2

14.揭示原理：師：像上面這樣的現象蘊含著一個數學道理，最先是由19世紀的德國數學家狄利克雷提出來的，所以該原理又稱“狄里克雷原理”。這一原理有兩個經典案例，一個是把10個蘋果放進9個抽屜里，總有一個抽屜里至少放了2個蘋果，所以這個原理又稱為“鴿巢問題”；另一個是6只鴿子飛進5個鴿巣，總有一個鴿巣至少飛進2只鴿子，所以也稱為“鴿巢原理”。

15.師：剛才往筆筒里放筆的問題里誰是書，誰是抽屜？誰是鴿子，誰是巢？

生：筆是書，是鴿子；筆筒是抽屜，是巢。

考慮到“鴿巢問題”是一類較為抽象和艱澀的數學問題，對全體學生而言都具有一定的挑戰性。為此，設計了以學生熟悉的、可操作的筆和筆筒為課堂研究素材，采用小組學習、集體討論等以學生自主實踐活動為主體的教學模式。以鴿子、巢，書、抽屜為多樣的提升素材，學生熟悉，感興趣，學習的主動性、積極性會有所提高；通過把3個素材進行對比、關聯、分析，利用有余數除法解決了這3個具體問題后，引導學生總結歸納解決這一類“鴿巢問題”的一般方法。學生可以得出“抽屜里至少有‘商+1個物體”的 “公式”，也可以“a÷n=b……c，總有一個抽屜至少可以放（b+1）個物體”的抽象形式來刻畫。

經歷這樣的探索過程，才能使學生更加明確了抽屜和物體、鴿子和巢之間的密切聯系，加深了對 “鴿巢問題”模型的認識，數學的思想、方法得到沉積、凝聚。

三、提升思維，靈活應用，深化模型思想

從具體的問題經歷抽象提煉的過程，以學生熟悉的材料作為學習素材，初步構建起相應的數學模型，進而不斷讓學生用所建立的初步數學模型思想來解釋生活實際中的問題。在《鴿巢問題》一課，當把鴿巢問題這一模型抽象出來之后，緊接著讓學生解釋了開課的魔術，這一環節的設計就是對模型思想的進一步深化，用探尋出的規律解釋其中的奧秘，真正理解和應用“數學模型”。

模型思想應用的設計形式設計多樣，不僅大大提升學生學習與探索、研究、應用的趣味性和積極性，也能有效地發展學生的數學思維能力，引導學生的思維步步深入。

四、結語

綜上，數學建模思想的形成過程是一個綜合性的過程，小學數學建模思想的形成過程大致分三個步驟：

一，感知數學模型階段，這一階段需要創設情境，發現和提出問題；

二，構建數學模型階段，這一階段就是自主探究，經歷問題解決、發現規律的過程；

三，深化數學模型階段，這一階段就是進一步提升對數學模型的認識，解釋與應用模型，體驗數學模型價值的過程。

數學模型思想的建立，不能僅僅是看重結果，更要關注的是建模的過程，把它滲透到課程中的每一個環節，滲透到知識形成的過程中，滲透到課堂活動中，滲透到知識應用中，從而滲透到學生思維過程中。使學生在實際操作中親身經歷、感受、理解、掌握和領悟數學模型思想，真正地讓數學模型思想在與知識能力形成的過程中共同生成。通過模型思想的構建，逐步培養學生形成良好的思維習慣和應用數學的能力，培養學生應用數學的意識和自主、合作、探索、創新的精神，為學生的終身學習、可持續發展奠定基礎。

參考文獻：

[1]劉勛達.小學數學模型思想及培養策略研究[D].武漢：華中師范大學，2013.endprint