淺析高中解析幾何的學(xué)習(xí)障礙與解題方法

曾辰宇

摘 要：解析幾何是高中數(shù)學(xué)中重點(diǎn)知識，在高考中占有很大的比重。學(xué)習(xí)解析幾何能夠培養(yǎng)高中生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)，又因?yàn)榻馕鰩缀尉哂休^強(qiáng)的邏輯性，所以清除解析幾何的學(xué)習(xí)障礙在很大程度上能夠提升我們的思維能力。基于此，本文先闡述了一些關(guān)于解析幾何的學(xué)習(xí)障礙，之后提出了學(xué)習(xí)圓錐曲線的一些解題方法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解析幾何;學(xué)習(xí)障礙

數(shù)學(xué)是高中階段一門復(fù)雜的系統(tǒng)性學(xué)科，在高中數(shù)學(xué)整體知識體系中，解析幾何占有很大比重，像是線性規(guī)劃、直線方程、曲線方程等，但是現(xiàn)階段在解析幾何學(xué)習(xí)中，因?yàn)橐恍┰颍沟脤W(xué)生在解析幾何學(xué)習(xí)中存在著一定的學(xué)習(xí)障礙。因此只有將障礙清除，并掌握一定的解題方法才能夠?qū)W好此部分知識。

一、高中解析幾何的學(xué)習(xí)障礙

（一）數(shù)形轉(zhuǎn)化障礙

解析幾何不僅是算式、解析式，還能夠?qū)⒑瘮?shù)圖像抽象化，只有將函數(shù)圖像和解析式進(jìn)行有效結(jié)合才可以學(xué)好解析幾何。但是在實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，一些學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化思想較弱，不能夠?qū)⒍哌M(jìn)行有效的結(jié)合，從而形成了學(xué)習(xí)障礙。另外平面向量既含有幾何，又含有代數(shù)，可以說是數(shù)形交匯，利用向量可以把函數(shù)圖像變換為代數(shù)問題，以此簡化計(jì)算步驟，解題更加快捷。但在實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，一些學(xué)生不會將幾何圖形和代數(shù)之間進(jìn)行互化，所以此種障礙阻礙了學(xué)生對于解析幾何知識的學(xué)習(xí)。

（二）知識理解障礙

在有些同學(xué)剛接觸解析幾何時(shí)，不能夠牢固的掌握解析幾何相關(guān)基礎(chǔ)知識，概念掌握不清。又因?yàn)榻馕鰩缀蔚母拍钕噍^于其他數(shù)學(xué)知識點(diǎn)來說更難，學(xué)生若不能將其理解透徹，就會對多個(gè)相似概念混淆。特別是雙曲線與橢圓這種聯(lián)系與區(qū)別并存的知識點(diǎn)，若是不理解透徹，就會使得學(xué)生對解析幾何的學(xué)習(xí)產(chǎn)生抵觸，降低對此部分知識的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而產(chǎn)生消極心理，形成知識理解障礙。

（三）運(yùn)算操作障礙

解析幾何的最大特點(diǎn)就是運(yùn)算量較大，一些解析幾何問題雖然解題思路簡單，但是運(yùn)算量大，并且較為繁瑣，這就使得一些學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)計(jì)算失誤。運(yùn)算操作能力可以說是學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的一種阻礙，對于一些運(yùn)算操作能力較弱的學(xué)生來說，其運(yùn)算速度較慢、準(zhǔn)確性不高，并且還帶有一定的盲目性等問題。此外，解析幾何問題綜合性較強(qiáng)，因此需要掌握好運(yùn)算技巧，準(zhǔn)確找到題目中的有效信息，才能學(xué)好解析幾何。但是在實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生很難找到有效信息并將其簡化。

二、高中解析幾何的解題方法

（一）圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)問題

在橢圓與雙曲線中，二者的定義是將曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)之間的距離進(jìn)行聯(lián)系，可以將距離問題與三角形知識進(jìn)行有效結(jié)合，求出曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)之間的距離。而拋物線的定義是將曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的具體轉(zhuǎn)為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用數(shù)形結(jié)合思想來解決最值問題。另外，在求與圓錐曲線有關(guān)的幾何性質(zhì)問題時(shí)，要建立起方程與多個(gè)系數(shù)之間的關(guān)系，或是求出方程的系數(shù)，按照其幾何性質(zhì)，利用代數(shù)法求出結(jié)果。

比如：在解答“已知橢圓■+■=1的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2且傾角為45°的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，對以下結(jié)論：①△ABF2的周長為8;②原點(diǎn)到的距離為1;③|AB|=83;其中正確的結(jié)論為（）”

首先，根據(jù)橢圓定義可知|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=4，且|AF1|+|BF1|=|AB|，因此可以求出S△ABF2=|AB|+|AF2|+|BF2|=8，因此①正確。其次，由題可知F1（-■，0）直線方程為y=x+■，可求出原點(diǎn)到的距離為d=■=1，因此②正確。然后，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因y=x+2■+■=1，可得3x2+4■=0，x1=0;x2=-■，進(jìn)而可知|AB|=■，因此③正確。所以此題①②③全部正確。

（二）圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題

此種問題一般會涉及到曲線過定點(diǎn)或與線上動點(diǎn)有關(guān)的定值問題，與圓錐曲線相關(guān)的面積、坐標(biāo)、弦長等多個(gè)定值問題。在解決此題時(shí)，首先要根據(jù)其具體特殊問題找到目標(biāo)關(guān)系，找出所要求出的定點(diǎn)或定值;然后探究其一般情況與相應(yīng)的目標(biāo)關(guān)系，最后綜合特殊與一般情形下定論。

比如：在解決“已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的離心率為■，左焦點(diǎn)F為（-2，0）。（1）求橢圓C的方程（2）若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2+y2=1上，求m的值。”

解：（1）由題可知，橢圓的離心率為e=■=■，且c為2，所以a為，a2=8，進(jìn)而求出b=2，所以橢圓方程C=■+■=1

（2）將直線方程與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，通過化簡可得3x2+4mx+2m2-8=0，根據(jù)韋達(dá)定理可得x1+x2=-■，同理可知y1+y2=■，所以點(diǎn)m為（■，■），帶入公式為（-■，■），在將其帶入x2+y2=1中，可以求出，m=■。

（三）圓錐曲線中的最值、范圍問題

針對此種問題，主要有四種解題方法：一是利用圓錐曲線的定義進(jìn)行解題;二是判別式法，建立直線與圓錐曲線之間的聯(lián)系，聯(lián)立方程組，構(gòu)建二次方程，利用判別式△≥0求取范圍再進(jìn)行計(jì)算。三是函數(shù)值域求解，將所求參數(shù)當(dāng)作函數(shù)或找取合適的參數(shù)作為自變量來表示函數(shù)，通過求得函數(shù)值域來求數(shù)值變化范圍;四是利用不等式解決。

以判別式法舉例，解決“已知斜率為■的直線l與拋物線y2=2px（p>0）交于位于x軸上方的不同兩點(diǎn)A，B，記直線OA，OB的斜率分別為K1，K2，則K1+K2的取值范圍是多少”

首先，設(shè)直線方程為y=■x+b（b>0），可知x=2y-2b，將其帶入拋物線方程可求出y2-4py+4pd=0，△=16p2-16pb>0，因此p>b，然后設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=4p，y1y2=4pd，因此K1+K2=■>2，所以取值范圍為（2，+∞）。

綜上所述，解析幾何是高中數(shù)學(xué)課程中重要的知識點(diǎn)，我們一定要將此部分的學(xué)習(xí)障礙掃清，并學(xué)會一定的解題技巧，才能夠掌握好此部分知識點(diǎn)，在高考中奪得高分。

參考文獻(xiàn)：

[1]韓新生，姚璐，徐振華.換個(gè)思路解決解析幾何問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（11）：45-46.

[2]蔡海濤.例析解析幾何簡化運(yùn)算的常用策略[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（19）：4-7.