數形結合思想在高中函數教學中的應用

張芳華

[摘 要]數形結合思想是重要的數學思想之一.通過數形結合能夠將數與形相互轉換，使數學問題得到簡化，能幫助學生厘清解題思路，找到解題方法.

[關鍵詞]數形結合思想；高中數學；函數教學

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2018）02002502

在高中數學函數教學中，以函數知識與函數問題作為出發點，應用數形結合通過數與形之間的關系，使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，以此來提高學生的學習效率，幫助學生更好地解決問題.

一、數形結合的含義

1.數字轉為圖形

相比于數字而言，圖像具有較強的直觀性，數形結合的教學方式正是基于這一點，將復雜的數字內容轉化為更為直觀的圖像，以此讓學生直觀地了解問題，從而厘清解題思路.

2.圖形轉為數字

雖然圖形具有直觀性，但是圖形因其自身特點，特別是面對較難的數學問題時缺乏推理的邏輯性與計算的精準性，使得單純利用圖形來解題，很容易出現錯誤.而數形結合的方法，不僅能夠將數字轉化為圖形，使解題思路更加清晰，同時還能夠將圖形轉化為數字，減少解題中的錯誤.

數形結合思想主要是指通過合理的方法，將數學題目在數與形之間進行轉化，從而達到簡化數學問題，厘清解題思路的目的.在運用數形結合思想進行解題時，要著重注意以下幾點：（1）需要幫助學生了解數學題目中的數學概念與運算方法，同時還需要掌握數學曲線中的代數特征；（2）需要科學設置參數、合理利用參數，并建立兩組參數之間的關系，將數與形進行合理轉換；（3）需要正確掌握參數中的取值范圍.

二、數形結合思想在高中數學函數教學中的應用

1.在求方程的根類問題中的應用

在進行方程解題時，可以將方程轉化為曲線的交點問題，以此來將數與形進行有機結合.

【例1】 方程式中x2-4x+3=m有4個根，求m值的取值范圍.

分析：在這一道題目中，其問題主要是求得m值范圍.而對于求根的問題，則能夠將m的取值范圍轉化為圖像形式，通過觀察圖形中的范圍來進行解題.

解：可以將這個問題看作是求y=x2-4x+3和y=m兩個函數圖像的交點數目.可以將函數變為圖像的拋物線，將x軸下方的圖

像沿x軸翻折上去，通過這樣的方法能夠得到y=x2-4x+3的圖像，再作直線y=m，如圖1所示.在圖像中能夠清晰地看到，當0

【點評】由上述例題可以看出，我們在做題的過程中，有時會遇到運算到某一步后，無法再以統一式子進行求解.而通過數形結合的方式，能夠將函數清楚地轉化為圖像，根據圖像中x與y軸的范圍，便能夠清楚地得到結果.通過這種方式，能夠有效幫助學生厘清解題思路，降低學生解題的難度，增加學生的解題信心.

2.在函數單調性類問題中的應用

函數的單調性是函數最為重要的內容之一.在高中數學中也有著大量關于函數單調性的題目.而在解決這些問題時，首先應當了解函數的單調性與單調區間，隨后采用數形結合的方法.

根據題目中的函數畫出草圖，根據圖像可以看出，該函數的單調遞增區間為（-∞，0]，[1，+∞），其單調遞減區間為[0，1].

【點評】通過數形結合的方式，能夠直觀看出函數值的變量關系，使抽象的問題變得具體，使學生對函數單調性的認識由局部轉化為整體，由感性轉化為理性，能夠幫助學生快速解題.

3.在比較數值大小類問題中的應用

【例3】 已知定義在R上的函數y=f（x）滿足以下三種條件：①對任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）；②對任意的0≤x1

解：由①得T=4；由②知f（x）在[0，2]上是增函數；由③知f（-x-2）=f（x+2），所以f（x）的圖像關于直線x=2對稱.因此，在畫出與函數相關的示意圖后，便能夠直接通過圖像看出其中數值的大小關系.

【點評】通過數形結合的方式，能夠將數值的大小通過函數的形式，清晰地展現在圖像中，使數值的大小能夠更直觀地展現，能提高學生解題的準確度.

4.在三角函數類問題中的應用

三角函數的一些題目，通過合理利用數形結合也能夠有效解決.

【例4】 函數f（x）=sinx+2sinx，x∈[0，2π]的圖像與直線y=k的圖像有兩個不同的交點，根據圖像中的交點，確定k的取值范圍.

分析：通過對于題中函數的了解，在坐標系中畫出函數圖像，再通過觀察圖像，便能夠很清楚地看出k的取值范圍.

【點評】通過數形結合，不但能夠直觀地發現解題途徑，同時還能夠避免復雜的計算與推理.

5.在解析幾何問題中的應用

【例5】 求y=（cosθ-cosα+3）2+（sinθ-sinα-2）2的最大值與最小值.

分析：這道題目主要內容便是需要將函數轉為圖像中的兩個點，即P（cosθ，sinθ）與Q（cosα-3，sinα+2）兩點之間最大距離與最小距離的問題.

【點評】運用數形結合思想解答與距離有關的問題時，通過將公式轉變為圖像能夠讓學生清晰地看出圖像中所表示的距離長度.

綜上所述，數形結合思想是高中數學的重要組成部分，其不但在數學的解題中有著強大的功能，同時也在數學的教學中發揮了巨大的作用.在數學函數的教學中，通過數形結合的方式，能夠使“形”的直觀與“數”的精確相輔相成，從而優化解題方法，化解知識難點，讓學生更加容易接受與理解.

（責任編輯 黃桂堅）