數形結合走出數學的迷宮

摘 要：數形結合思想是數學思想方法中應用最為廣泛，地位最為重要的方法之一。“數”與“形”是貫穿高中數學教材的兩條主線，數形結合思想在高中數學教學實踐中發揮出了不可替代的作用。

關鍵詞：高中數學；數形結合；教學實踐

數學是一門研究空間形式和數量關系的科學，是一種體現自然規律和社會規律的科學語言和有效工具。解決實際問題是我們學習數學的目的，也是數學應用的實際歸屬所在，而思想指導行動，數學的思維和方法就是我們數學教學和學習的靈魂所在，是我們教師應該在教學實踐中研究和探討的重點。

一、 數形結合思想概述

我國著名的數學家華羅庚先生曾經說過：“數缺形時少直覺，形少數時難入微”。數形結合的數學思維和方法十分普遍和廣泛地應用在數學解題中，某些抽象的數學問題可以通過數形結合思想的轉化而變得更加形象化、生動化、直觀化，能夠把數學問題中的抽象思維轉變為形象思維，從而幫助我們準確地找到并掌握數學問題的本質。數形結合思想使“形”和“數”聯系起來，以數助形，以形助數，即數是形的抽象概括，形是數的直觀表現，從不同角度呈現了數學知識，同時又靈活地解決了高中數學中的諸多問題，因而在高中數學教學實踐中得到了廣泛運用和有效體現。

二、 數形結合思想的具體應用

（一） 以數助形

在揭示圖形的某些屬性時，我們可以借助于數的規范性、精確性、嚴密性來幫助我們形象直觀地發現圖形屬性的目的，就是把圖形作為解決問題的目的，把數量當作問題解決的手段。把數學中的圖形問題有效地轉化為數量問題的重要條件是對圖形問題進行量化，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。

由此可見，圖形不可脫離數量關系而單獨存在，兩者是相互依存、互為前提、相互結合、共同促進數學題目解決的。在以數助形的問題中幾種常見的方式如下所列：一是把數量關系的運算結果跟幾何定理相結合，數形結合解決幾何問題。二是把幾何問題中的軌跡運動時所遵循的數量關系與具體的圖形運動軌跡相結合。在我們解決高考數學以及其他常用的數學問題時，特別是在解選擇題、填空題時，數形結合的數學思想都發揮出了獨特的作用，幫助我們快速理解和有效解決這些數學問題，是數學問題中一種常見的解題方法。數形結合思想在解決數學問題中的重要地位和作用，要求我們在平時的數學教學和學習中，加強對于學生在數形結合這方面的數學思想和思維方法的訓練，這樣就可以有效提高學生的解題能力和速度。同時，如果我們在數學解題中能夠很好的根據問題的特點和需要來選擇合適的解題方法，就可以使復雜的數學問題簡單化，抽象的數學思維具體化，從而達到優化解題途徑和有效解決數學問題的目的。

（二） 以形助數

以形助數也是數形結合思想在解決數學問題中的一種應用和體現，在闡明數量之間的關系時可以借助于圖形的直觀性、形象性和生動性來體現，即以圖形作為解題手段，把數量作為解題目的。比如在教學實踐中，我們可以運用函數的圖像來直觀地說明函數的性質。

除了二次函數以外，數形結合思想在數學教學的其他部分也體現出了重要的作用，包括數形結合方法在三角函數、三角公式、直線與圓錐曲線、向量、解方程（不等式）、求函數值域等教學中的應用。數形結合思想中的“以形助數”常常在以下幾種問題中得到具體運用：（1）在函數問題中，結合函數圖像來構建函數模型，來解決量與量之間的大小關系問題、求出方程根的范圍、參數的取值范圍、解決函數的最值問題和證明不等式。（2）在立體幾何問題中，結合數量關系與立體幾何模型的構建來研究圖形的性質、形狀、位置關系等，以及解決代數問題；（3）在解析幾何問題中，研究最值問題時可通過構建解析幾何中的截距、距離、斜率等數學模型；（4）在方程問題中，求根的個數時可以借助于構建方程模型來解決；另外，因為將數量問題圖形化是把數量關系轉化為圖形問題的重要條件，所以我們在研究把數量關系圖形化的問題時，熟練掌握數形結合思想和方法，對提高數學解題能力是相當有必要的。

三、 總結反思

以數助形，以形助數，熟練掌握數形結合思想，并在恰當的時候靈活運用，適時轉化，使數與形相結合，具體與抽象相結合，就能幫助學生在解題時開闊思路，找對方法，快速解題，加強理解。當前我國的高中數學教育實踐仍處于一個改革和探索的階段，由于大多數教育學者過于關注數學的理論和方法，從而導致理論與實踐之間存在著一定的隔閡。數形結合思想雖然并不一定是最完美、最簡便、最快捷、最有效的解題方法，但是它在幫助學生轉換數學思維方式、培養數學思維能力、養成數學思維習慣等方面起到不容忽視的作用。它為高中數學的知識講解提供了一個新的思路和新的方向，我們需要在今后的教育教學工作中不斷進行科學探索，不斷提升自我的素養和能力，以科學的思維和方法正確的指引學生，以數形結合思想的智慧光芒帶領學生走出高中數學的思維迷宮。

參考文獻：

[1]張宗雄.高考數學復習策略研究[J].新課程（下），2017（06）：31.

[2]張先龍，鄧軍民.高考全國卷背景下的數學復習策略芻議[J].課程教學研究，2016（03）：45-47.

作者簡介：

朱倫，山東省日照市，五蓮縣第一中學。