APOS理論在導數概念教學中的應用

劉洪霞 周紹偉 郭花

【摘要】本文將APOS理論應用到導數概念的教學中，整節課通過活動、過程、對象、圖式等階段的逐層構建，使學生在原有知識的基礎上建構新的數學知識，并通過問題驅動的教學方式，引導學生獨立思考、合作探究，提高學生學習數學的積極性和主動性。

【關鍵詞】APOS理論 問題驅動 導數的概念 教學設計

【中圖分類號】G645 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）19-0005-02

一、引言

美國數學教育家杜賓斯基提出的APOS理論是對皮亞杰的“自反抽象”理論的拓展。APOS 理論認為數學概念的認知包含活動、過程、對象和圖式四個階段。該理論強調在學習數學概念時，要以實際生活中的問題為背景，老師精心設計教學活動，引導學生根據已有的知識經驗，經過探究與歸納，建構新的知識。在教學中根據APOS理論進行教學設計，不僅有利于學生對數學概念的理解和掌握，還可以促使學生更加積極主動地學習。

杜賓斯基指出，活動、過程和對象是學生進行數學概念建構的三種狀態，而圖式就是將這三種狀態與新概念有關的所有知識構成的認知結構或認知框架[1]。

我們經過多年的教學發現，學生普遍認為數學概念抽象難懂，學生對數學概念的掌握僅停留在被動記憶層面。而APOS理論可以有效地幫助學生了解數學概念產生的來龍去脈，從加深對數學概念的理解和掌握，基于APOS理論的概念學習框架圖為：

二、基于APOS 理論的導數概念教學設計

導數的概念是高等數學中一元函數微分學的重要概念，也是整個高等數學中的重點內容。在學習導數概念前，學生已經學習了極限和連續的概念及簡單的計算，初步具備一定的抽象思維能力。

1.活動階段——設計問題情境，讓學生形成直觀的感性認識

在學習新概念時，教師通過實際問題引導學生逐步思考，在課堂教學中我們主要采用問題驅動的方式，學生通過分組協助積極參與到課堂教學中。

問題：在奧運比賽中，高臺跳水是我國運動員的強項。請同學們思考：從數學的角度，我們該如何全面、準確地描述運動員的這樣一個運動？

教師提示：運動員在空中的動作是非常復雜的，我們不考慮其動作，將運動員看作為一個質點，與這個質點的運動有關的是質點的位置、速度和時間，請同學們考慮如何找到位置、速度和時間的關系。

同學們分組討論后，教師講解：以跳臺垂直向下與水面的交點為坐標原點，豎直向上的方向為y軸正方向，建立如圖所示的直角坐標系。假設在比賽過程中，運動員相對水面的高度記為h（單位：米），起跳時初始速度為v0，起跳后的時刻記為t（單位：秒），我們將運動員看作一質點，描繪出其運動軌跡如圖所示：

我們仔細觀察運動員的運動過程，發現在不同的時刻t，運動員相對水面的高度h是在變化的，那h和t之間存在怎樣的關系呢？

根據中學所學的物理知識，得出：

學生經過計算發現這段時間的平均速度為零，但是通過視頻顯示運動員一直在運動著，為什么計算結果是零呢？通過數值結果與現實矛盾的產生，我們意識到平均速度只能粗略地描述物體在某段時間的運動狀態，無法刻畫運動的細節，因為運動員的速度是時時刻刻改變的，平均速度不足以描述這個運動。

2.過程階段 ——將活動階段內化并抽象出概念

這就是瞬時速度這個概念的數學表示。其中△t是時間增量，而△t→0表示了這個增量逐步縮小的過程。

教師還可以用類似的思想引導學生解決股指“跳水”，房價“暴漲”，氣溫“陡增”，GDP“猛增”等變化率問題。

上述例子，雖然問題不同，但數學本質相同，都是函數值的變化和自變量變化的比值，即屬于變化率問題。和學生一起總結出：

3.對象階段 —— 通過探究和反思，形成導數的概念和幾何意義

綜合前面的思考過程，引導學生拋開問題的實際意義，抽象出導數的概念。那么如何判斷函數在某一點是否可導呢？通過具體的例題讓學生掌握導數概念的本質。進一步給出函數在某點不可導例題，從而引導學生給出導函數和單側導數的概念。

通過問題探究引導學生思考導數的幾何意義。

問題：中學學過圓的切線的定義，即與圓只有唯一交點的直線叫圓的切線，那么“與曲線有唯一交點的直線是該曲線的切線”這樣定義曲線的切線合理嗎？不合理的話如何給出曲線的切線的定義？此處，借助多媒體手段，形象地觀察如何借助極限這個工具定義曲線的切線。

4.圖式階段 —— 整合活動、過程與對象階段，形成清晰的圖式結構

學生經過前面三個階段的學習后，頭腦中基本形成了概念的結構圖，經過的長期、反復地學習，并與原有的圖式進行整合，可以建立起綜合的圖式，從而能建立起知識點之間的前驅后繼關系，對高等數學的知識體系有更深刻的理解。

我們仍采用問題驅動的教學方式。請同學們思考導數的概念可以解釋生活中的哪些現象？設計這個問題的主要目的是讓學生應用導數的概念解決實際問題，加深對所學知識的理解。最后請同學們思考導數與連續有什么區別與聯系？可導是不是一定連續？連續是不是一定可導呢？

同學們討論后總結出結論： 如果函數y=f（x）在點x0處可導，則它在點x0處一定連續。

那么定理的逆命題成立嗎？即y=f（x）在點x0處連續，則它在點x0處可導嗎？你能舉出連續但不可導的函數嗎？

通過上述問題的解答，讓學生腦子里進一步形成導數概念的清晰的圖示結構。

三、結束語

本節課我們首先通過跳臺運員的速度等現象發現平均變化率對描述這些現象很有幫助，但是我們通過跳臺運動員這樣一個運動發現平均變化率只能描述事物變化的結果，但是不能描述事物變化的過程，因此我們看到引進瞬時變化率即導數的必要性。那是不是所有的函數都有導數呢？答案是否定的。不過有些函數雖然不可導，但從左側或右側看卻是可導的，為此我們給出了單側導數的概念。對照前面學習的連續，我們自然會思考連續和可導的關系。通過運用本節課的學習，我們體會到數學在日常生活中的應用，很多看似與數學無關的現象我們可以用數學方法來解釋。請同學們以后多用數學的眼光看我們所處世界，你會發現數學因為應用而美麗。

參考文獻：

[1]陳元祝，基于APOS 理論對概率概念教學方式的探究[D].西安：陜西師范大學，2015.

[2]王彩芬，曹榮榮，田磊等.基于APOS 理論的無窮級數概念認知分析[J].高等理科教育，2016，4：86-90.

[3]曾玉祥，APOS理論在高等數學概念探究式教學中的應用[J].教育探索，2013，5：42-43.

[4]錢麗娜，APOS 理論下的平均數概念教學研究[J].數學大世界，2017，25：47-48.

[5]李衛平，對信息化教學設計的探討[J].高中數學教與學，2016，12：25-28.

[6]楊偉成，導數的概念教學設計[J].高中數學教與學，2012，7：32-34.

作者簡介：

劉洪霞（1979-），山東科技大學講師，女，碩士，主要從事數學教學與研究。