準變量思維：兒童代數思維的啟蒙

曹玉萍

摘 要：作為算術思維到代數思維的有效過渡，準變量思維是一種整體性思維、關系性思維、結構性思維。在教學中，教師要發掘教材的準變量因子，萌發兒童的準變量意識，引領兒童的準變量思維。

關鍵詞：小學數學 準變量思維 代數思維

準變量思維是算術思維向代數思維的過渡，是兒童代數思維的啟蒙。在兒童數學教學中，教師要培養兒童形成“代數的眼光”，發展兒童的代數思維。教師必須精心呵護兒童的準變量思維，讓兒童不僅擁有思維的程序模式，更能初步形成思維的關系模式。準變量思維彌合了算術思維和代數思維的人為割裂，架設了從算術思維到代數思維的橋梁。

一、準變量思維的內涵及其培養意義

小學階段的數學教學主要是算術的教學，即兒童主要是運行一種計算程序，將多個已知數量經由四則運算而得出未知數量的過程。例如中低年級段“一步計算的應用題”和“兩步計算的應用題”等，在設計意圖與解決方法上基本上都是遵循一種算術思維。運用算術思維解決數學問題主要運用數學的分析法和綜合法，即“執果索因”和“由因導果”，其間夾雜著轉化、倒推等解決問題的策略。直到教學“簡易方程”，兒童才開始接觸到一種全新的思維方式——代數思維，或者說是關系思維。和算術思維比較，代數思維是一種整體性的思維模式，所以在列方程時，學生對方程兩邊都含有未知數很不適應。在解方程時，學生對方程左右兩邊同時加或減去相同的數也很不適應，甚至有許多學生往往習慣性在方程前也加上“=”。因為在他們的心里，“=”號指示著一種運算程序、解題程序，他們對“=”號所指示的等價關系沒有清晰的認知。基于此，筆者認為，在小學尤其是低中年級學段，教師應當有意識地將數學的“準變量特性”，融入到兒童日常學習中去，進而有效防止兒童的算術思維與代數思維間的斷裂。

所謂準變量思維，是指兒童能夠運用數學中所隱含的代數結構或代數關系，對數學中的問題進行準變量式、準代數式的思考。例如計算“54-26-8”，當兒童亦步亦趨地按照計算順序進行數學計算時，兒童的思維方式是一種程序性的算術思維；而當兒童從整體的關系入手，減去一個數后再減去一個數，其實也就是減去了這兩個數的和，那么盡管兒童的思考對象仍然是算術，但兒童卻潛在地運用著一種關系思維，一種著眼整體、全局的準變量思維。由此不難發現，準變量既不是常量（靜止不變的量），也不是變量（運動變化的量），而是介于常量和變量之間的一種數字關系或結構解釋。而在這些數字關系或結構解釋中卻蘊含著鮮明的代數意義，其解決問題的過程體現著代數思維的色彩。可見，準變量思維標志著兒童代數思維的萌芽。

二、兒童準變量思維的培養路徑

如上所述，準變量思維是兒童從算術思維過渡到代數思維的“最近發展區”。因此，在教學中，教師應引導兒童對數學的潛在關系或結構進行識別、表達、轉換，讓兒童提煉出數學問題中的等量關系或等量結構，從而讓兒童展開準代數式的思考。

（一）基于教材，發掘準變量因子

小學數學中蘊含著豐富的準變量因子。在教學中，教師要善于發掘。準變量因子是萌發兒童準變量意識、培植兒童準變量思維的良好載體。為此，教師要向兒童提供準變量思考的豐富素材。例如一年級的“湊十法”“破十法”等就蘊含著準變量因子。

在教學蘇教版小學數學教材第1冊“8加幾”時，筆者首先出示一組“8加幾”的算式，讓孩子們運用“湊十法”解決問題。然后筆者著重引領兒童理解“無論是8加幾，都可以先給8加一個2，再從后一個數中減去一個2，讓加上來的2和減去的2相互抵消”。由此，兒童獲得一種基于相等關系的整體視角。同樣，教學“7加幾”“9加幾”等都可以向兒童有意識地滲透準變量意識。又如蘇教版小學數學教材第5冊“兩、三位數乘一位數”同樣也蘊含著準變量因子。筆者在教學“32×12”時，首先創設一個情境，賦予“32×12”以實際意義，結合實際意義讓兒童理解“32×12”的算理：10個32和2個32的和。然后筆者讓兒童舉例，在豐富的例子中形成兒童的準變量理解：只要12不變，不管前一個數是多少，都可以用前一個數乘10加上前一個數乘2。這里，一種左右兩邊相等的恒等變形意識被有效地植入教學之中。實踐證明，這樣的教學能夠有效提高兒童的心算能力。

（二）基于兒童，萌發準變量意識

培養兒童的準變量思維不是一蹴而就的，在教學時，教師要善于捕捉機會，引導兒童的準變量思維，萌發兒童的準變量意識。

例如教學蘇教版小學數學教材第9冊“解決問題的策略——列舉”時，筆者讓學生從日常生活中兩種常見的現象入手：打電話和寄賀卡。首先讓學生嘗試畫圖，尋求解決2個人、3個人、4個人通電話和寄賀卡的簡單情形。其次引導兒童展開準變量思考：2個人之間互通電話總次數是1，3個人之間互通電話總次數是3，2個人之間互寄賀卡張數是2，3個人之間互寄賀卡張數是6……再次是引領兒童展開準變量推理：8個人通電話、寄賀卡，10個人通電話、寄賀卡……50人通電話、寄賀卡。盡管筆者沒有引導兒童用抽象的數學符號表達關系，但是孩子們通過總次數與總人數之間的變化規律，能夠自主地進行合情推理，并能夠用具體的算式揭示出規律。再如教學蘇教版小學數學教材第5冊“找規律——間隔排列”時，當孩子們在解決具體問題，如“從1樓到6樓需要75秒，那么從1樓到10樓需要多少秒”時，筆者總是要求學生“退下來”，從1樓、2樓逐層進行探索。在孩子們自主建構，明晰了樓數、樓梯之間的關系后，他們自然能解決問題。筆者認為，其實這里就孕育著準變量思維。孩子們在解決這類問題的過程中，也就能萌生準變量意識。

（三）基于教學，引領準變量思維

在兒童數學教學中，教師不僅要敏銳地捕捉教材中的準變量因子，萌發兒童的準變量意識，而且更要清晰、明確地培養并引領兒童的準變量思維，以便讓小學數學教學與中學代數教學進行無縫對接。在遵循兒童思維規律、把脈兒童認知基礎和思維特質的基礎上，教師可以引領兒童拾級而上，基于兒童的算術思維，引領兒童的準變量思維，并積極導向兒童的代數思維。

例如在教學蘇教版小學數學教材第10冊“認識方程”時，筆者首先讓學生觀察天平，天平平衡的秘密就在于“天平兩邊是相等的”，以此誘發兒童的準變量意識。然后，筆者從三個角度展開教學：一是將天平上左邊有刻度的砝碼換成沒有刻度的勾碼，讓天平保持平衡；二是將天平右邊有刻度的砝碼換成沒有刻度的勾碼，讓天平保持平衡；三是將天平左右兩邊的部分有刻度的砝碼同時換成沒有刻度的勾碼，讓天平保持平衡。如此，孩子們發現，未知數不僅可以在方程的左邊，也可以在方程的右邊，還可以既在方程的左邊，同時也在方程的右邊。盡管天平左右兩邊的砝碼換成了勾碼，但只要天平平衡，方程兩邊就相等，方程的等式性質就不會發生變化。一旦孩子們對方程有了這樣的理性認識，在后續學習解方程時，他們對方程中未知數的位置，對于靈活運用、反復運用等式的性質解方程都會游刃有余。在這里，筆者充分利用天平建構了方程中等號的關系性質，發展了兒童關于等號的關系解釋，讓兒童識別了方程中等號的關系結構，讓兒童洞識了方程的數學本質，由此引領兒童的準變量思維，發展兒童的代數思維。

總之，在兒童數學教學中，算術思維是兒童的現實發展水平 ，而代數思維是兒童的可能發展水平。基于準變量思維的誘導，能夠將兒童由算術思維積極導向代數思維。因此，準變量思維完全可以看成是小學算術思維向初中代數思維的積極過渡，其操作核心是運用算術中所隱含的代數結構、關系，對算術問題展開簡單初步的代數式思考。（作者單位：江蘇省啟東市桂林小學）

責任編輯：胡波波