利用直角坐標(biāo)計算二重積分的教學(xué)設(shè)計

趙春艷

摘 要 二重積分是高等數(shù)學(xué)的一個重要組成部分，在一元函數(shù)定積分向多元函數(shù)重積分的轉(zhuǎn)化中起著至關(guān)重要的作用。二重積分以一元函數(shù)定積分為基礎(chǔ)，但是難度卻大大增加。本文提出了探究式課堂教學(xué)設(shè)計，通過創(chuàng)設(shè)情景提出問題、引導(dǎo)討論解決問題、概括歸納得出結(jié)論、鞏固練習(xí)深化理解和課堂小結(jié)引申探究等教學(xué)模塊來充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，使學(xué)生深刻理解并熟練掌握直角坐標(biāo)系下把二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分的計算方法。

關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) 二重積分 積分區(qū)域 探究式教學(xué)

0 引言

高等數(shù)學(xué)是高等院校理工經(jīng)管大類一門重要的基礎(chǔ)課程，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)專業(yè)課程的重要基礎(chǔ)和必備工具，具有其他課程不可替代的專業(yè)服務(wù)功能和素質(zhì)培育功能。因此，高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對學(xué)生后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)起著舉足輕重的作用。由于我國高等教育已經(jīng)從精英教育進(jìn)入大眾教育階段，隨著本科大規(guī)模擴(kuò)招，給高等數(shù)學(xué)教育帶來了一系列問題：如上課班級人數(shù)眾多、授課學(xué)時少、教學(xué)內(nèi)容多等。再加上學(xué)生普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象難懂、枯燥乏味，教師若仍以傳統(tǒng)的“授課”模式給學(xué)生講課，那么高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)基本上變成了被動的聽、記、練、考的單調(diào)過程，這樣就會導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性不高，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效果極不理想。

二重積分是高等數(shù)學(xué)的一個重要組成部分，在一元函數(shù)定積分向多元函數(shù)重積分的轉(zhuǎn)化中起著至關(guān)重要的作用。二重積分是學(xué)生在學(xué)習(xí)了定積分的基礎(chǔ)上，首次學(xué)習(xí)多元函數(shù)積分學(xué)。二重積分的計算既是定積分的推廣，又為后面系統(tǒng)地學(xué)習(xí)三重積分、曲線積分和曲面積分提供研究和學(xué)習(xí)的方法。二重積分這部分的內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新意識。

經(jīng)過課堂教學(xué)實(shí)踐研究，我們設(shè)計了“利用直角坐標(biāo)計算二重積分”的探究式教學(xué)方法，通過創(chuàng)設(shè)情景提出問題、引導(dǎo)討論解決問題、概括歸納得出結(jié)論、鞏固練習(xí)深化理解和課堂小結(jié)引申探究等教學(xué)模塊來充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性。在利用現(xiàn)代多媒體教學(xué)手段的同時也注重板書設(shè)計，這樣既可以借助多媒體在直觀形象方面的優(yōu)勢，也能夠發(fā)揮板書在推導(dǎo)、再現(xiàn)教學(xué)整體過程和重點(diǎn)難點(diǎn)上的優(yōu)勢。我們在課堂上始終貫穿“以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體”的原則，使學(xué)生成為主動的學(xué)習(xí)者而不是被動的接受者，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并用數(shù)學(xué)思想去發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力。

1 教學(xué)設(shè)計

二重積分實(shí)質(zhì)上指二元函數(shù)的定積分，以一元函數(shù)定積分為基礎(chǔ)，但是難度卻大大增加。因此學(xué)生常常感到二重積分的計算方法本身太難理解、很難掌握，甚至?xí)W(xué)習(xí)興趣。為此，我們通過課堂教學(xué)實(shí)踐，設(shè)計了探究式的教學(xué)方法來學(xué)習(xí)“利用直角坐標(biāo)計算二重積分”。

1.1 創(chuàng)設(shè)情景，提出問題

俗話說“好的開始是成功的一半”。因此，如何在課堂的開始設(shè)計出合適的場景和內(nèi)容，吸引學(xué)生的注意力和興趣就顯得至關(guān)重要。首先用PPT給學(xué)生播放兩幅圖，一幅是國家大劇院的觀眾廳，我們知道建筑設(shè)計不但要求外觀漂亮，有時還需考慮其體積。因為體積的大小會直接影響到聲音的傳播和空氣質(zhì)量等。另一幅圖是生活和工業(yè)中隨處可見的管道，兩根圓柱形管道直交處的體積會影響到物質(zhì)的輸送。然后在這個情景創(chuàng)設(shè)的基礎(chǔ)上提出兩個問題。問題一：劇院的觀眾廳和圓柱管道直交處都可看作是前面學(xué)過的哪種幾何圖形？在回答了第一個問題也就是這兩個都是曲頂柱體的情況下很自然地提出問題二：如何計算曲頂柱體的體積呢？我們前面學(xué)習(xí)過二重積分的幾何意義就是以為底，以曲面為頂?shù)那斨w的體積。讓學(xué)生意識到這節(jié)課的主要內(nèi)容就是二重積分的計算，而且現(xiàn)實(shí)生活需要我們知道曲頂柱體的體積該如何計算。這樣的情景創(chuàng)設(shè)就有助于吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，為“利用直角坐標(biāo)計算二重積分”的探究式教學(xué)設(shè)計做了一個良好的開端。

1.2 引導(dǎo)討論，解決問題

首先讓學(xué)生嘗試根據(jù)已有知識對二重積分的計算進(jìn)行分析。如果按照二重積分的定義式來計算二重積分，僅對少數(shù)表達(dá)式特別簡單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說是可行的。但是對于一般的函數(shù)和區(qū)域來說，就會非常復(fù)雜，甚至無法計算。因此利用定義計算二重積分這不是一種切實(shí)可行的有效方法，我們有必要來探究一種計算二重積分的新方法。這種方法就是把二重積分化為二次積分（即兩次定積分）來進(jìn)行計算。

其次，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分組探討如何利用定積分計算曲頂柱體的體積，確定解決問題的方案，從而得到二重積分值。然后給學(xué)生幾分鐘的時間，簡要表述討論后的結(jié)果。在這個階段，教師就從單純的知識傳授者變成了學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者。結(jié)合學(xué)生的討論，在探討曲頂柱體體積的計算時，采用的教學(xué)手段是利用MATLAB和Visio畫圖，并借助PPT動畫演示，將抽象的計算方法直觀形象地給學(xué)生展示出來。首先設(shè)積分區(qū)域可用不等式來表示（如圖1所示）。這種積分區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過內(nèi)部且平行于軸的直線與的邊界相交不多于兩個交點(diǎn)。這樣的積分區(qū)域稱為型區(qū)域。由以下兩步得到曲頂柱體的體積：

第一步，在上任取一點(diǎn)，用平面截曲頂柱體，得到的截面是一個以區(qū)間為底，以曲線為邊的曲邊梯形（如圖2所示）。由定積分的幾何意義知截面面積。讓取遍上[a，b]的一切值，得到一族平行截面（如圖3所示），且這族平行截面的面積。這個過程用Visio畫示意圖，用PPT動態(tài)形象地展示出來。

第二步，啟發(fā)學(xué)生利用已知來推導(dǎo)未知。思考如何利用得到的平行截面面積來求出曲頂柱體的體積？引導(dǎo)學(xué)生回憶定積分應(yīng)用中的一個知識點(diǎn)，也就是利用定積分計算“平行截面面積為已知的立體的體積”，從而得到曲頂柱體的體積為

。形式上，我們將移到上的定積分后面，記作。

1.3 概括歸納，得出結(jié)論

教師和學(xué)生對上面探究的曲頂柱體體積的計算方法進(jìn)行分析總結(jié)。也就是要計算的值，若可以看做是型區(qū)域，即可以表示成（如圖4所示），則在上的二重積分就可轉(zhuǎn)化為先對后對的二次積分。在上述討論中，我們假設(shè)，但實(shí)際上這個公式的成立不受此條件限制。

類似地，若積分區(qū)域可看做是型區(qū)域，也就是可用不等式，來表示（如圖5所示），則在上的二重積分就可轉(zhuǎn)化為先對計算從到的定積分，后對計算在區(qū)間上的定積分的二次積分。

基于以上教師和學(xué)生的共同分析，在學(xué)生理解二重積分計算方法的基礎(chǔ)上，很自然地就可以總結(jié)出直角坐標(biāo)系下計算二重積分的步驟：首先，畫出積分區(qū)域；其次，判斷積分區(qū)域類型；再次，確定積分次序和積分限；最后，把二次積分化為二次定積分并計算。

這一步既是對探究過程的鞏固，又是對探究結(jié)果的檢驗。

1.4 鞏固練習(xí)，深化理解

在掌握利用直角坐標(biāo)計算二重積分的方法后，讓學(xué)生來做四道典型的練習(xí)題。第一題，當(dāng)積分區(qū)域既是型區(qū)域又是型區(qū)域時，可以先先對后對積分，也可以先對后對積分。第二題，當(dāng)積分區(qū)域既是型區(qū)域又是型區(qū)域時，有時需要考慮計算的復(fù)雜程度，以此來選擇積分區(qū)域的類型，從而確定二次積分的積分次序。第三題，當(dāng)積分區(qū)域既是型區(qū)域又是型區(qū)域時，有時需要根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)來選擇積分區(qū)域的類型，從而確定二次積分的積分次序。這是因為某些形式的積分如等不能用初等函數(shù)來表示，因此必須將其放在后面進(jìn)行積分。第四題，就是我們創(chuàng)設(shè)情景時提出的問題即“求兩個圓柱直交處的體積”，與前面呼應(yīng)，（下轉(zhuǎn)第100頁）（上接第97頁）理論與實(shí)際相結(jié)合會大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

1.5 課堂小結(jié)，引申探究

組織學(xué)生對利用直角坐標(biāo)計算二重積分進(jìn)行歸納小結(jié)，這樣可以使學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程，領(lǐng)悟解決問題的實(shí)質(zhì)。通過例題的練習(xí)，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)自己在解決問題過程中可能出現(xiàn)的錯誤，此時應(yīng)該突出強(qiáng)調(diào)這次課堂內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)。也就是在化二重積分為二次積分的過程中，要特別注意積分次序的選擇以及如何確定積分限的問題。

不會確定積分限是許多同學(xué)初次接觸二重積分的積分區(qū)域時容易遇到的問題。有些同學(xué)經(jīng)常用來表示積分區(qū)域。針對這個問題，我們將積分限的確定方法概括成通俗易懂、朗朗上口的四句話即“域邊兩線夾，外限依靠它；域中一線穿，內(nèi)限定上下”（如圖4和5所示）。尤其要特別指出，外限一定是兩個常數(shù)，而內(nèi)限通常為函數(shù)，有時也可為常數(shù)。然后再詳細(xì)解讀：域邊兩線夾，外限依靠它，也就是說外限即后作定積分的積分變量的上下限必須是常數(shù)；域中一線穿，即我們在積分區(qū)域中，作平行于且與坐標(biāo)軸同向的射線；此時內(nèi)限定上下，也就是該射線與的邊界先后相交的點(diǎn)就是內(nèi)限也就是先做定積分的積分變量的下限和上限，該積分限通常為函數(shù)。積分限為常數(shù)的積分變量通常就是此積分區(qū)域的類型。

在講解這個知識點(diǎn)時，采用的教學(xué)方法是一邊在黑板上按步驟畫圖一邊詳細(xì)講解。通過總結(jié)，以及對難點(diǎn)內(nèi)容的解析，讓學(xué)生掌握了重點(diǎn)，找出了解決問題的關(guān)鍵，領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)含的思想方法。

最后，教師針對本節(jié)課的學(xué)習(xí)提出兩個相關(guān)的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考。問題一是讓學(xué)生搜集二重積分的應(yīng)用，了解二重積分的重要性；問題二是啟發(fā)學(xué)生探討極坐標(biāo)系下二重積分的計算法。這樣就可以把二重積分的計算不僅僅局限于高數(shù)課堂，也可以擴(kuò)展到課堂之外，引導(dǎo)學(xué)生帶著問題結(jié)合社會生活進(jìn)行探究。

參考文獻(xiàn)

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