文化視角下的小學數學課例研究

蔣曉云

【摘要】本文闡述數學文化的內涵，即“數學之史、數學之美、數學之趣、數學之用、數學之思”，并結合具體案例提出“求真、育美、立德、致善”是數學教學追求的最高境界。

【關鍵詞】小學數學 數學文化 課例研究

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）01A-0004-06

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱新課標）明確提出：“數學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分。”數學教材中“數學閱讀”“你知道嗎”等版塊的內容就是數學文化的展示。越來越多的人開始關注并認同“數學是一種文化”這一觀點，越來越多的教師開始在數學教學中融入數學文化，表現出對數學教學“求真、育美、立德、致善”的理想境界的不懈追求。

一、對數學文化的理解誤區

知識與技能目標是外顯的，容易量化，而數學文化看不見、摸不著。我們曾經片面地理解了數學文化，將對數學家的介紹、數學故事、數學名言等加進課堂，給數學課穿上文化的“外衣”，這種簡單“添加”并沒有觸及學生的精神層面，在數學文化滲透與凸顯上存在著“數學文化演變成解決問題”“數學文化等同于數學史”和“淡化了數學魅力”三個誤區。

首先，數學文化變成解決實際問題。教師組織學生算24點、玩七巧板、解決雞兔同籠問題等古代趣味題，學生迫不及待地進行“解答”，教師認為這樣的設計便是在教學中滲透數學文化了。事實是，學生知道了怎么做古代數學名題，卻沒有通過數學活動感受數學的文化價值。

其次，數學文化被緊縮為數學史。教師向學生介紹數學歷史，如歷史上著名數學家的故事、重大歷史事件等。這其實只是彰顯數學文化的一個舉措，數學史是數學文化的一部分，數學文化有著更加豐富的內涵與更為開闊的外延。

最后，淡化了對數學的魅力與數學文化的美的感悟。有的教師窄化了數學文化的美，讓學生感悟不到“一筆畫問題”“抽屜原理”的“方法之美”“抽象之美”和它們的無窮魅力，學生只感受到“雪花線”外在的“對稱之美”，不能發現它的“奇異之美”，即雪花周長是無限的，圍成的面積卻是有限的。

究竟什么是數學文化？數學文化的教育價值是什么？怎樣在小學數學教學中自然地滲透數學文化？數學文化怎樣以樸素而平和的姿態呈現于課堂、流淌于學生的心田？這些成了我們這些年來研究的主要問題，我們通過研究小學數學課例的方式，從文化視角進行了思考和嘗試。

二、什么是數學文化

“數學是一種文化”這一觀點始于20世紀60年代，是美國學者懷爾德（R.Wilder，1896-1982）在他的數學著作《作為文化系統的數學》中最早提出來的，懷爾德從文化生成和發展的理論等方面提出了數學文化的概念及有關理論，他的數學文化觀是長時間以來出現的第一個比較成熟的數學哲學觀。

國內最早關注數學文化的是北京大學的孫小禮教授。1990年，她與鄧東皋、張祖貴合編了《數學與文化》一書，相關人士開始從文化的角度關注數學及其文化價值，開始對數學與文化的關系進行深刻思考，并且有越來越多的人投身于數學文化研究之中，“數學文化”這個詞的使用頻率近年大大增加，這說明數學文化是有生命力的，許多人因為某種需要更愿意從文化這一角度來關注數學，更愿意強調數學的文化價值。

目前大家比較認同的是南開大學顧沛教授提出的數學文化的內涵：從狹義上說，數學文化即數學的思想、精神、方法、觀點、語言及其形成和發展過程；從廣義上說，除了狹義的內容外，數學文化還包括數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展中的人文成分以及數學與各種文化的關系。

為了方便大家理解，筆者將小學數學教學中的數學文化概括成：數學之史、數學之美、數學之趣、數學之用、數學之思。

（一）數學之史

新課標凸顯了數學史的地位和作用，在教材編寫建議中明確指出：教材可以適時地介紹有關背景知識，包括數學在自然與社會中的應用以及數學發展史的有關材料，幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，激發學生學習數學的興趣，感受數學家治學的嚴謹，欣賞數學的優美。

（二）數學之美

數學的抽象性和廣泛性達到了“完美”的和諧與統一，其本身就是一種美。數學之美包含的內容有：數學的簡潔與抽象美，即符號美、抽象美、統一美、常數美、守恒美；數學的神奇美，即奇異美、無限美、神秘美、對比美、滑稽美；數與形的和諧之美，即對稱美、序列美、節奏美、形式美。

（三）數學之趣

托爾斯泰曾說：“成功的教學所需要的不是強制，而是激發學生的興趣。”小學生對數學的喜愛往往是從興趣開始的。新課標指出：數學教學，要緊密聯系學生的生活實際，從學生的生活經驗和已有知識出發，創設生動有趣的情境，引導學生開展觀察、操作、猜想、推理、交流等活動，使學生通過數學活動，掌握基本的數學知識和技能，初步學會從數學的角度去觀察事物、思考問題，激發對數學的興趣以及產生學好數學的愿望，切實提高小學生學習數學的興趣。

（四）數學之用

學習數學不只是掌握知識，必須學會應用，實現數學的價值。這就要求小學數學教師在教學中注意培養學生的數學應用意識。應用意識有兩個方面的含義，一方面是有意識地利用數學知識，如概念、公式、法則、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決實際問題；另一方面是認識到現實生活中蘊涵著大量與數和形有關的問題，可以將問題抽象成數學模型并加以解決。因此，數學學習應“生活化”，教師為學生提供應用數學知識的素材，讓學生體會數學實際應用的價值，激發學生的創新思維，從而讓學生運用數學知識、思想、方法解決生活中的現實問題，提高學生數學學習能力。

（五）數學之思

“數學之思”包括“三思”：數學思想、數學思維、數學思考。

數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。數學思維是對數學對象，如空間形式、數量關系、結構關系等的本質屬性和內部規律的間接反映，并按照一般思維規律認識數學內容的理性活動。新課標明確指出數學思維能力主要包括四個方面的內容：（1）會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；（2）會用歸納、演繹和類比進行推理；（3）會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；（4）能運用數學知識、思想和方法，辨明數學關系，形成良好的思維品質。新課標對數學思考也提出了以下四個方面的要求：（1）建立數感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發展形象思維與抽象思維；（2）體會統計方法的意義，發展數據分析觀念，感受隨機現象；（3）在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法；（4）學會獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式。

筆者站在文化的視角審視數學教學，在課例研究中確定“彰顯數學文化”的評價標準是：明鑒數學之史、欣賞數學之美、玩轉數學之趣、理解數學之用、感悟數學之思、傳播數學文化、領略數學之魅、培養核心素養。

三、數學文化的教育價值

日本的數學家、教育家米山國藏曾說：“學生在初高中學到的數學知識，幾乎沒有什么機會應用，很快就會忘掉，然而不管他們從事什么業務工作，唯有銘刻于腦際的數學精神和數學思想方法，長期地在他們的生活和工作中發揮著重要作用。”[1]

數學文化的價值主要在于數學對人們觀念、精神以及思維方式的養成具有的重要的影響，它具有獨特的科學和人文的教育價值。

我們常說“數學是日常生活的工具”“數學是科學技術的基礎”，其實這就是數學文化的科學方面的教育價值。學生在數學學習中體會數學實際應用的價值，激發創新思維，運用數學知識、思想、方法解決現實問題和科學問題，提高數學學習能力。

數學文化的人文方面的教育價值體現在“數學是思維的體操”“數學是理性的精神”，這主要是指數學對人的品德的教養、思維的提升、理性的培養和性情的陶冶的意義。

在很多人的意識中，數學教育的功能是為學生提供日常生活的工具、讓學生在數學考試中取得好成績。于是，在數學教育中就存在這樣的問題：重“數學生活化”，輕“生活數學化”，造成“數學淺表化”；重數學知識的灌輸，輕數學思維的提升、數學思想的感悟，普遍忽視了數學文化的人文方面的教育價值與作用。

四、如何在小學數學課堂中融入數學文化

筆者從理論和實踐方面對小學數學教學課例的人文方面的教育價值與作用進行了較深入的研究，率先從狹隘的學科教學目標跳出來，提出了大文化的教學目標：求真、育美、立德、致善。筆者力求引導學生不斷地自我加強科學素養、社會文化修養，形成和發展數學核心素養，全面提高學生素質，這也是數學教學改革的重要方向。

（一）求真

數學對人類文明最大的貢獻是理性精神。理性精神是一種“推演的精神、邏輯的精神”，是一種求真的精神。發揮數學的文化教育功能，就應積極地培育理性精神、演繹理性力量。

學會思考的重要性不亞于學會知識，它將使學生終身受益。小學數學課程應注重培養學生的數學思維和數學推理，其中包括邏輯思維和辯證思維、合情推理和演繹推理等，讓學生學會運用數學的思維方式進行思考。

涵蓋歸納、類比、實驗、觀察、直覺等的合情推理，是得到新結論的方法和途徑，是小學生理解和掌握“找規律”時不可或缺的。但是，學生找到的“規律”可能是正確的也可能是錯誤的，還需要依靠演繹推理去驗證。針對演繹推理，新課標提出：（教師）在第一學段和第二學段，可以逐漸滲透給學生知道（演繹推理），在第三學段則應該明確地告訴學生，讓學生對此有清醒的認識。

反思這十多年的小學數學課程改革，小學數學教學淡化了數學中的邏輯推理、理性思維，類似于“三角形內角和等于180°”這樣的基本定理，有的教材讓學生用測量及計算、拼接實驗的方法“歸納猜想，發現規律和結論”，不鼓勵學生問為什么，不講證明、不講道理，數學課就失去了靈魂，這就很難培養學生分析問題與邏輯推理等方面的能力。教育的效果是滯后的，當這一代中小學生長大成人后理性思維能力不強就悔之晚矣。

筆者認為小學數學課堂理性精神是：理性思辨，不感情用事；實事求是，不盲從權威；尊重數據，不弄虛作假；科學嚴謹，不隨欲而為。

[案例1]實驗歸納“不完全”

在一節《圓的認識》的公開課上，教師采用“自主嘗試—小組交流—全班反饋”的教學方式，讓學生在小組內討論、向全班交流自己探究得到的“圓的性質”，選一個小組代表匯報。

生：我們小組得出了“圓內所有的線段，直徑最長”。

師：你們是怎么知道的？

生：我們量出圓內5條線段的長度，直徑AB=7.8cm，半徑OA=3.9cm，線段CD=4.6cm，線段EF=2.3cm，線段CG=6.3cm。所以，我們發現了“圓周內所有的線段，直徑最長”。

師：你們真聰明，老師也沒告訴過你，書上沒寫來的性質你們也能發現！大家齊聲拍手表揚她。

師：她發現的這個結論還需要驗證嗎？

生：道理明擺著，沒有必要驗證了。（多數學生認同）

師：前些天的一個早上，老師帶著一臺測量身高的設備在我們學校門口守候了半個小時，測量了57名進校學生的身高，所測量的學生的身高均沒達到170cm，于是我們得出一個結論：我們學校的學生的身高都不超過170cm。剛說完就來了一名六年級2班的學生，他的身高是173cm，老師“被打臉”了。為什么老師會“被打臉”呢？

生：你還沒量完我們學校所有的學生的身高，你就下結論了。

學生遇到了問題才會去思考。教師安排了“邏輯推理，孕育理性精神”的教學過程，巧妙設疑讓學生學會理性思考、形成理性思維、感悟理性的力量，提升學生綜合能力和核心素養。

[案例2]直覺的誤導

要探究圖1中的問題，可建立如圖2所示的模型，設鐵絲圍成圓的半徑為R，地球赤道的圓的半徑為r，其周長之差為100cm，2πR-2πr=100cm，π≈3.14，R-r ≈[1006.28]≈15.9cm。鐵絲與地球赤道之間的間隙有約15.9cm，所以能放進一粒草莓或一個拳頭。

這是一個直覺與邏輯不符的例子，希望學生通過學習能體會到：我們完全憑借直覺判斷數學結論是不行的，還需要通過計算推理來驗證。

[案例3]“眼見未必為實”

（1）有一張8cm×8cm的正方形的紙片，面積是64cm2。把這張紙片按圖3所示剪開，把剪出的4個小塊按圖4所示重新拼合，這樣就得到了一個長為13cm，寬為5cm的長方形，面積是65cm2。這是可能的嗎？

（2）這是網上流傳甚廣的一個問題。將圖5中上部的三角形切成四部分，之后再重新拼成圖5下部的圖形，結果發現少了一個小正方形，這是怎么回事？

這兩個題目主要讓學生自己通過小組合作探究，判斷能否完成這樣的拼圖，進一步感受僅憑觀察、猜想、操作、實驗驗證數學結論是不夠的，強調在以后的數學學習中要學會說理。

[案例4]“算理”是通向“算法”的橋梁

學生掌握計算法則關鍵在于理解。學生既要懂得怎樣算，更要懂得為什么要這樣算。

如圖6所示，在教學“12×14”時，教師通過直觀的點子圖使學生看到12×14就是求每列12個、共14列的點子圖中的“點子”個數，也就是求14個12連加的和是多少。我們可以先求出4列的“點子”個數是多少，即4個12是多少，再求10列的“點子”個數是多少，即10個12是多少，然后把兩個和加起來，從而讓學生知道，計算乘數是兩位數的乘法要分兩步乘，第三步是相加，這樣使學生看得見、摸得著，例題教學使計算的每一步都成為有意義的操作，學生在操作中理解算理、掌握算法。

提煉算法實際上就是：追求簡潔表達，合并計算步驟，書寫豎式形式，抽象歸納概括，形成運算法則。

因此，在小學數學教學中對學生進行理性精神的啟蒙是非常重要的，不僅能夠提高學生對數學學習的積極性和興趣，而且讓學生學會理性思考、形成理性思維、感悟理性的力量，提升學生綜合能力和核心素養。

（二）育美

數學具有重要的美育功能，數學美往往是數學創新的動力和追求，學生的數學素養在求美過程中得到發展是一個普遍現象。因此，教師應對學生加強數學美的教育，讓學生在學習中發現數學之美、欣賞數學之美、受到數學美的熏陶，在對美的追求中，創造數學之美，提高數學核心素養。“育美”成為了發揮數學文化教育功能的重要途徑。

[案例5]守恒永遠是美麗的

我們可以通過幾何畫板動態演示變化中的三角形，如改變三角形邊長、內角……不管三角形怎么變化，三角形的內角和總是180°。三角形內角和定理是“守恒之美”的表現。

“變化中的不變”就是規律，找到了這樣的規律就可能發現公式、法則、性質；尋找不變量不僅是數學研究的任務，還是科學研究和社會研究的任務；“變化中的不變”也是守恒，守恒永遠是美麗的。教師應當讓學生在發現和欣賞數學之美中學習“三角形內角和定理”。

[案例6]雪花線的奇異之美

將一個等邊三角形的每條邊三等分后，在每條邊三等分后的中段向外作新的等邊三角形，并去掉中段，接著，再將所得圖形的每條邊三等分，在中段上作等邊三角形，去掉中段……不斷重復這樣的過程，便產生了雪花曲線，如圖7。

如果學生只感受到“雪花線”外在的“對稱之美”，那就錯過了令人驚異的奇異美：它的面積是有限的，而它的周長卻是無限的。

（三）立德

《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010-2020年）》和黨的十八大報告都提出把立德樹人作為教育的根本任務。小學數學教學要進行德育滲透，對學生進行有效的思想品德教育。

[案例7]在“歷史的故事”中獲得心靈上的震撼

圓周率的認識過程，是人類對數學的認識與發展的具體表現。圓周率吸引了許許多多的中國古代數學家進行長時間的研究，從《周髀算經》到魏晉時期的劉徽，再到公元460年左右的祖沖之，從π≈3到π≈3.14，接著到π≈3.1415926，最后到π≈3.14159265358979……在文化的視角下，學生經歷與回顧對圓周率的認識的歷史，再現歷史瞬間、重演發現過程，由此，學生真切地品味到數學“悠久歷史”帶來的自豪感、真切地體會到數學家鍥而不舍的探索精神、感受到數學的嚴謹性，學生“思接千年，情寄數學”。

教師在教學中介紹數學家的故事，讓學生感受數學家的科學精神；查找數學符號來源，讓學生體會科學發明過程；探訪歷史數學名題，讓學生領略數學思想方法的魅力。

數學教學應當充分利用數學史料來還原、再現數學知識的發現過程，揭示知識產生的背景、展示知識形成的過程、預示知識發展的前景，讓學生經歷知識產生、形成與發展的全過程，充實他們的數學文化底蘊。

中華民族有著燦爛的數學史，教師挖掘小學數學教材中的德育素材，恰當地運用數學史料、趣事，反映中國古代數學方法的突破，介紹我國古代科學家的杰出成就，激發學生的民族自尊心、自信心、自豪感和愛國熱情，弘揚民族精神。

[案例8]挖掘數學品質，進行辯證唯物主義觀點啟蒙教育

我國古代著名思想家墨子曾說：“大圓之圓與小圓之圓同。”意思是說：不管大圓還是小圓，它們的圓周率是相同的。我們也可以將其理解為：千變萬化的圓，它的周長與直徑的比是一個固定不變的數。與之相似的還有“三角形千變萬化，內角和總是180°”。