高中數學核心素養之數學抽象的教師問卷調查報告

吳智敏 周先華

摘 要：核心素養是教育改革的關鍵和課程改革的核心，而數學抽象核心素養是數學核心素養中的一大重要內容，對它的研究有利于提高學生的數學思維與學業成績。通過對教師進行問卷調查，對不同類型教師對核心素養及數學核心素養的了解程度進行分析，分析高中數學老師對數學抽象核心素養的理論學習與實際操作情況。

關鍵詞：數學核心素養；數學抽象核心素養；高中數學教師

中圖分類號：G451.6 文獻標識碼：A 收稿日期：2018-03-01

作者簡介：吳智敏（1983-），女，重慶梁平人，一級教師，碩士研究生，研究方向：中學數學教學；

周先華（1972-），男，四川廣安人，高級教師，本科，研究方向：中學數學教學。

一、問題的提出

核心素養已經成為我國教育領域最關受注的詞語之一，它將是新課標的源頭、中高考評價的核心和未來教育改革的關鍵。《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出：核心素養是育人價值的集中體現，是通過學習而逐步形成的關鍵能力、必備品格與價值觀念。數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的。基于高中數學課程性質和教育價值，數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這些數學核心素養既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體[1]。我們子課題“培養高中學生數學核心素養之數學抽象的實踐研究”課題組就數學核心素養的“數學抽象”進行了學習和調研。

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的素養，主要包括從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，用數學語言予以表征。數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學產生、發展、應用的過程中。數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統。

數學抽象主要表現為：獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系。通過高中數學課程的學習，學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗；養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，以簡馭繁；運用數學抽象的思維方式思考并解決問題。

為了更加客觀、全面地了解目前四川省成都市玉林中學（以下簡稱“我校”）高中數學教師的數學抽象核心素養現狀，課題組設計了教師問卷，用于直接了解教師對數學抽象的理解，同時了解教師對學生問卷中的試題如何分析。本文主要對教師問卷的命制、教師問卷的調查結果以及后期如何研究進行分析。

二、教師問卷調查設計

1. 調查目的

為了了解我校高中數學教師對數學抽象核心素養的理論學習與實際操作，教師問卷的內容圍繞這樣幾方面：

（1）不同類型教師對核心素養、數學核心素養的了解程度；

（2）不同類型教師對數學核心素養之數學抽象的情境、歷程、表現及內容的理解程度；

（3）不同類型教師對學生問卷試題的分析。

2. 調查對象

教師卷的調查對象為為我們學校高中三個年級的數學教師，工作年限分為：1～5年、6～0年、11～15年、15年以上；職稱主要集中在中學二級、中學一級和中學高級三個層次；高中數學教師男性偏多，女性較少。

3. 調查問卷的設計

為了實現上述調查目的，結合核心素養、數學核心素養、數學抽象的理論基礎以及對照學生問卷試題，本研究在教師問卷中設計了這樣三個部分：

第一部分為了了解教師們對核心素養、數學核心素養的認識，設計了問卷的第1、2、3題，通過調查教師對核心素養和數學核心素養的認識，可以知道教師們對新的教育觀點與理論是否關心。

第二部分為了調查教師們對數學抽象的認識，包括數學抽象的定義、內容、情境、歷程及表現形式。數學抽象是教師們經常提到的術語，但是是否真正了解呢？因此問卷設計了第4～15題，通過調查了解教師們對數學抽象的理解程度。

第三部分選取學生問卷試題中的“餐廳位置”“公園水池”“虛數的產生”“分形幾何”以及“考試成績”五個題，讓教師們通過讀題，分析里面蘊含的數學抽象各個方面的內容，旨在挖掘出教師們遇到一道實際應用題，如何將問題抽象化的過程，因此設計了第16～20題。

三、教師問卷調查的實施

課題組選擇了一個周一下午（教研活動時間）對全體數學教師進行了問卷調查，共收到問卷34份，有效問卷32份，有效問卷率94.1%，其中職稱為中學二級的4份、一級的8份、高級的20份；教齡1～5年的6份，6～10年的4份，11～15年的0份，15年以上的22份；男老師30份，女老師2份。需要說明的是高級職稱都是工作15年以上的，二級職稱的都是工作1～5年的，符合職稱和工作年限長度成正比的關系。

四、教師問卷調查的結果統計與分析

從回收的問卷構成不難發現，學校高中數學教師年齡結構不太合理，教齡15年以上的占了68.8%，出現了斷層現象，老教師習慣了他們對數學抽象的認識，對新的教育理念接受度不高，因此他們在一些題中錯誤率較高。

從表1與表2我們發現，總體上教師對高中數學核心素養、數學抽象核心素養了解不多。由于除了第5、9、11、12、16、17、18、19這八道題是單選，其他都是多選題，本身難度就增加了，因此很多題教師都漏選。正確率最高的是第17題，然后是第9題，都為單選題；錯誤率最高的是第4題和第19題，一個多選，一個單選。中學二級教師每道題的得分率是最不理想的，出現了13道題全錯，一道題正確率為100%，另外6道題正確率為50%；中學一級教師每道題的得分率是最為理想的，除了第9題落后于中學高級教師，其余各題都是最好的。究其原因，我們認為有這樣兩點：其一，由于職稱和工作年限基本成正比關系，所以評了高級的教師思想有所懈怠，沒有職稱的外在壓力，因此主動學習數學抽象的相關理論的可能性就小一些；而中學一級的教師們正處于事業上升期，各種賽課，攥寫論文，培訓機會也多，學習數學抽象的相關理論也多一些，因此情況相對好些；中學二級的教師們剛工作不久，教學經驗缺乏，對數學抽象在教學中的一些應用還不知道如何處理。其二，對一線教師普遍存在的現象，教育教學任務重，很難得靜下心來對新的教育政策方向、新的教育理論進行研究，盡管教師們經常將數學抽象掛在嘴邊，但是對它的實質缺乏深入的研究。

第17題背景是學生問卷里的試題“公園水池”中的6個問題的數學抽象進行分析，6個小問從平面三角形內切圓問題類推到空間三棱錐的內切球問題，經歷的抽象歷程為：形成數學抽象、理解數學抽象與運用用數學抽象；數學抽象的表現為形成數學方法與思想、形成數學結構與體系及形成數學命題與模型，這是一個大家很熟悉的同向思維中的“類比聯想”的應用。

第9題屬于理論知識，根據弱抽象的定義，來理解它是從特殊到一般的抽象方式。徐利治、張鴻慶兩位學者在《數學抽象度概念與抽象度分析法》一文中定義，弱抽象也可以叫做概念“擴張式抽象”，即從原型中選取某一特征（側面）加以抽象，從而獲得比原結構更廣的結構，使原結構成為后者的特例[2]。弱抽象與類比聯想同屬于數學抽象中的“同向思維”，函數的奇偶性從特殊的二次函數的函數值入手找規律，然后推廣一般的函數的奇偶性屬于弱抽象，而直角坐標系點的坐標類比到空間直角坐標系中點的坐標屬于類比聯想。從第9題和17題的結果表明，教師們對數學抽象中的同向思維掌握得很好，這也與很多教學內容屬于數學抽象的同向思維內容有關。根據表2，我們發現得分最高的第17題的正確率各為：中學一級和二級100%，高級60%；第9題的正確率分別為：高級90%，一級75%，二級50%。

第4題數學抽象主要包括的內容，很多教師選擇了D選項：“在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，求解結論”，這個敘述應該是對數學建模的闡釋。何小亞在《數學核心素養指標之反思》一文中，對數學建模指標進行反思時，提出對從數學抽象和數學建模的定義看出，這兩個核心素養的內容明顯重復了，不滿足分類的子項必須互斥的邏輯要求[3]。因此也說明教師容易混淆兩個概念，還需要對數學抽象進行學習。

第19題對學生問卷問題8“分形幾何”中數學抽象內容中的“審美直覺的數學抽象”的理解，科克曲線的制作過程最能體現審美直覺中的統一性原則。統一性原則是指部分與部分、部分與整體之間的和諧一致，四個選項中：A.對數的運算，B.正余弦函數的圖像，C. 的無理性，D.分數指數冪。分數指數冪將整數指數冪與有理數指數冪的運算都可以統一起來，達到部分與整體的和諧一致。

從問卷結果反映出來這樣幾方面的問題：

1. 對核心素養的相關內容不清楚

第1題《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》正式印發，此文件中明確提出要研究制訂學生發展核心素養體系和學業質量標準，這是教育部第一次以文件形式將核心素養提上日程，但是只有25%的教師回答兩方面，而25%的教師單選“立德樹人目標”，集中在1～5年、15年以上教齡兩個群體。

第2題與第3題都是對六種核心素養的解讀，數學的定義：數學是研究數量關系和空間形式的科學，數學源于對現實世界的抽象，基于抽象結構，運用符號運算、形式推理、模型構建等，表達現實世界中事物的本質、關系和規律。這個定義包含了六種核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學運算、數據分析、數學建模、直觀想象。從統計情況看，錯誤的都是漏選。

2. 對數學抽象核心素養相關內容模糊

數學抽象是一種特殊性的抽象，其特殊性表現為，數學抽象的對象是“空間形式和數量關系”，不管是現實世界中的“數量關系和空間形式”還是思維想象中的“數量關系和空間形式”，都屬于數學研究的范疇[4]。

第4～15題都是關于數學抽象核心素養內容，從結果看，教師們對數學抽象的三種情境（社會情境、數學情境、科學情境）、數學抽象內容中的同向思維體會更深，回答得更好。

3. 對實際問題進行數學抽象化的分析還需要進一步加強

第16～20題通過對學生試題的分析，看教師對數學抽象過程的掌握程度。從表1看出，第18～20這3道題正確率都不高。

五、提高高中數學教師數學抽象核心素養的途徑

1. 加強理論學習

從問卷反映出來的問題，需要加強對各個教齡段教師的培訓，新的教育理念、好的教學方法都值得學習。對一線教師來說，首先自己要對數學抽象引起充分重視，只有清楚了數學抽象的各種表現形式、內容，才能創造性的對教材加工，幫助學生從各種不同的數學抽象情境中形成、理解、運用數學抽象，掌握知識點，形成數學思想與方法。新入職的數學教師缺乏實踐，但是接受新事物更快，因此應該借助新一輪高中課程改革，認真研究《普通高中數學課程標準（2017年版）》里提出的數學抽象素養。

2. 在數學教學中充分運用數學抽象

在數學中，抽象是思維的基礎，只有具備了一定的抽象能力，才可能從感性認識中獲得事物（事件或實物）的本質特征，從而上升到理性認識，這既是一個獲取知識的過程，也是一個研究的過程]。

【例】2017年全國卷3大題第一道第（1）問：設數列{an}滿足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n..求{an}的通項公式。

此題抽象情境屬于數學情境，數學抽象的表現為形成數學方法與思想。學生在這個新的數學情境中模仿學過的數學方法解決問題，涉及的數學抽象內容為是數學抽象中同向思維的類比聯想，本質就是一個已知數列{（2n-1）an}前n項和sn，求{（2n-1）an}的通項公式，進一步得到{an}的通項公式。教師在分析與點評這道題的時候，可以讓學生根據該題進一步類比推廣，從而形成這樣一類問題的數學方法與思想。例如：已知一個數列{an}前n項積，怎樣求數列{an}的通項公式； 已知數列{bn}及{bn·an}前n項積Tn，怎樣求數列 的通項公式等。教師通過這樣的數學抽象的運用，讓學生能夠在解決相似的問題中感悟數學的通性通法，體會其中的數學思想。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2018.

[2]徐利治，張鴻慶.數學抽象度概念與抽象度分析法[J].數學研究及應用，1985，5（2）：133-140.

[3]何小亞.數學核心素養指標之反思[J].中學數學研究（華南師范大學版），2016（13）：1-4，53.

[4]史寧中，孔凡哲.關于數學的定義的一個注[J].數學教育學報，2006（4） ：37-38.

[5]張勝利，孔凡哲.數學抽象在數學教學中的應用[J].教育探索，2012（1）：68-69.