由實驗的發生談幾何概型測度的選擇

劉霞

摘要：本文談了幾何概型測度的選擇。希望能給我們的教學帶來幫助。

關鍵詞：數學教學；幾何概型測度；選擇

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）01-0097

一、緣起

在本學期開學初的模塊解讀教研活動中，我校的陳校長對普通高中課程標準實驗教科書《必修三》的概率部分做了整體解讀，提到自己當年在講授幾何概型時的一次經歷，一道幾何概型習題他將實驗的測度由角度錯選為線段的長度，導致求錯，但為什么選角度，卻一直困擾著他。直到一年后，一個偶然的機會他才真正把原因弄明白。教師尚且如此，那對于剛接觸此類問題的學生更是不好把握，尤其在考場上，學生精神緊張，考試時間又有限，所以快速找到解題的突破口，就顯得尤為重要。于是會后筆者找到這個習題，就這一類問題認真梳理，并形成了自己的一些想法。

二、問題及解決策略探討

幾何概型與古典概型是概率論中的基礎概率模型，二者的每個基本事件發生的概率都是等可能的；古典概型基本事件個數只有有限個，是可數的，學生通過列舉可以說是看得見、摸得著的，但幾何概型的基本事件卻是無限的，需要對原始條件進行等價轉化，建構準確合理的基本事件的空間測度，來簡化概率計算過程。但是有些看似“等價”的轉化，最終卻得到了不同的答案，使人們產生困惑，也使我們在做題時不敢輕易給出結論，左右為難，難以下手。比如我們常見的以下問題：

問題1：如圖所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD= ，在∠BAC內作射線AM交BC于點M，求BM<1的概率。

問題2：如圖所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD= ，在線段BC上找一點M，求BM<1的概率。

比較以上兩個問題其他條件不變，只是將“在∠BAC內作射線AM交BC于點M”改為“在線段BC上找一點M”，這就導致很多人將這兩題混為一談，測度都認為是線段BC，而將問題1錯解為問題2的答案，認為P= = = 但事實并非如此，正因為這一小小的改動，兩個問題的情景截然不同，實驗發生的背景發生了巨大的變化。解決這一問題的關鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍。當考察對象為點時，點的活動范圍在線段上時，用線段長度比計算；點的活動范圍構成平面區域或空間區域時，就用面積比或體積比來計算；當考察對象為線時，一般用角度比計算。但無論選擇哪種測度解題，都要緊扣幾何概型的定義及兩大特征。即：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。幾何概型中事件A的概率計算公式P（A）= 它的兩大基本特征一是基本事件有無限多個，二是基本事件的等可能性。定義要求實驗中事件的概率只與構成事件區域的測度（長度、面積、角度、體積等）有關，而與它的位置及形狀無關，保證基本事件的等可能性是求幾何概型求解最基本的要求。讓我們回顧剛才的問題，問題2中的實驗是直接在BC上取點，考察對象是點，點的活動范圍是線段BC，所以實驗測度為線段的長度，實驗結果是等可能的，而問題1中是在∠BAC內作射線AM，AM與BC相交得點M，兩者進行的不是同一個實驗，此時點M是由射線AM引發的，AM的動引起點M的動，所以此時若以點M為考察對象，它就不會在BC邊上等可能地分布。原因如下：設∠BAM=α則由正弦定理得： = ， BM=sin60°AM，BM與AM不成正比，故當點M由B到C變化時，兩者變化的速率不同，導致AM等可能變化時BM卻不能等可能變化。所以以線段BM的長度作為事件的測度是不合理的。那么正確的解法是什么呢？讓我們不妨回到實驗本身，看實驗是如何發生的，在直角的內部任意引射線AM，頂點是A，相當于AM繞點A旋轉，如圖所示AM的旋轉軌跡，發現AM會覆蓋，所以實驗全部結果構成的區域為∠BAC，事件BM<1的區域即為∠BAD。所以正解如下：

【解】 ∵∠B=60°，∠C=45°，∴∠BAC=75°，

在Rt△ADB中，AD= ∠B=60°，

∴BD= =1，∠BAD=30°.

記事件N為“在∠BAC內作射線AM交BC于點M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時事件N發生.

由幾何概型的概率公式得P（N）= =

因此，我們掀起幾何概型的“蓋頭”，發現雖然它將古典概型的有限性推廣到無限性，但是保證基本事件的等可能性卻是一樣的，因此要把握好幾何概型的“測度”，不能改變基本事件的性質。這一點在貝特朗悖論的解法中也得到了很好的印證。讓我們回顧一下貝特朗問題及其四種解法：半徑為1的圓內，隨機取一條弦，求該弦長度超過圓內接正三角形的邊長的概率。

解法1：任取一弦AB ，作垂直于AB 的直徑PQ 。過點P 作等邊三角形，交直徑于N ，易證N為OQ的中點，弦AB的長等于圓內接正三角形的邊長，并取OP 的中點M。所有與PQ 垂直的弦，與MN 相交時，其弦心距均小于ON ，則該弦長度就大于等邊三角形邊長，故所求概率P（弦長度超過圓內接正三角形的邊長）= 。

解法2：首先確定一個點A，將其視為定點，而另外一個點P的位置不定。那么就轉化成如右圖的情形，那么P點的位置可以由弧AP的長度決定。P點本來可以在圓上任意位置。則總測度為2π，要使弦長大于圓內接正三角形的邊長，則P點只能在弧BC上，則事件“弦長度超過圓內接正三角形的邊長”測度為 ，故P（弦長度超過圓內接正三角形的邊長）= 。

解法3：考慮弦的中點。對于長度大于內接等邊三角形邊長的弦，這個中點必定落在一個半徑為原來一半的同心圓內。這個新圓的面積只有原來那個圓的1/4，因此所求的概率為1/4。

解法4：讓我們設想把所有能作為弦的線段放在一起，它的長度從0到d（即圓的直徑長度）。那些符合要求的弦其長度將落在 d與d之間，因此概率是 。

以上四種不同的解法，當思考問題的角度不同時，取弦的方法不同，實際上采用了不同的等可能性假設，相當于進行了四種不同的隨機實驗，在第一種解法中過一條直徑上的點作直徑的垂線，弦的中點在直徑上均勻分布；在第二種解法中確定一個點A，視為定點另外一個點P在圓上任意選取，P在圓周上均勻分布；第三種解法中又假定弦的中點在圓內均勻分布；第四種解法中所有能作為弦的線段放在一起，長度從0到d是均勻分布的；所以我們在解決幾何概型問題時明確實驗是如何進行的，由實驗本身出發找事件的構成，更容易把握準事件的測度，確保事件的等可能性，避免錯誤的發生。

（作者單位：山東省泰安第一中學 271000）