基于提升直觀想象素養的立體幾何定理課的教學設計與反思

周亞軍

摘要：以《平面與平面垂直的性質》為例，記述了基于提升直觀想象素養的立體幾何定理課的教學設計，并對教學進行了反思。直觀想象是數學核心素養之一，它體現數形結合的重要思想，提升直觀想象的素養要注意以下幾點：重視學生的主體地位，重視直觀感知，逐步形成空間觀念，提高空間想象能力；重視文字語言，圖形語言和符號語言的轉化。

關鍵詞：直觀想象；核心素養；平面與平面垂直；轉化

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）01-0118

直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎。高中立體幾何是提升直觀想象核心素養的重要載體，本文以人教版立體幾何初步中的《平面與平面垂直的性質》為例，談談基于提升學生的直觀想象的數學素養來進行立體幾何的教學。

平面與平面垂直問題是平面與平面的重要內容，也是高考考查的重點，求解的關鍵是根據線與面之間的互化關系，借助創設輔助線與面，找出符號語言與圖形語言之間的關系把問題解決。通過對有關概念和定理的概括、證明和應用，使學生體會“轉化”的觀點，提高學生的空間想象力和邏輯推理能力。

一、學情分析

在學習本課之前，學生已掌握了線線垂直、線面垂直及面面垂直的概念，判定定理及線面垂直的性質定理，學生已具備了對空間幾何圖形的一定水平層次的想象能力和一定的邏輯推理能力和分析問題的能力。本課借助生活中的實例，讓學生通過觀察、分析、猜想、歸納、論證等活動過程，從中了解和體驗空間線面、面面之間的垂直關系，在觀察、猜想和論證中發展學生的邏輯推理能力、空間想象能力和分析問題、解決問題的能力。

二、教學策略分析

新課程倡導：強調過程，強調學生探索新知識的經歷和獲得新知識的體念，必須讓學生追求過程的體念。基于以上認識，在設計本節課時，不是簡單地告訴學生兩個平面垂直的性質定理的內容，而是創設一些數學情境，讓學生自己去發現定理。在這個過程中，學生在課堂上的主體地位得到充分發揮，極大地激發了學生的學習興趣，也提高了他們提出問題、分析問題、解決問題的能力，這正是新課程所倡導的教學理念。教材通過問題“如果兩個平面垂直那么一個平面內的直線是否一定垂直于另一個平面”來探索平面與平面垂直的性質定理。教學是要引導學生根據定理的自然語言，作出圖形，然后用符號表示。對于平面與平面垂直的性質定理的證明，重在引導學生在平面β內找出一條與CD相交的直線垂直于AB。運用定理的關鍵是創設定理成立的條件。

三、教學目標

1. 知識技能目標：探究平面與平面垂直的性質定理的內容及定理的證明， 掌握面面垂直的性質定理的應用。

2. 過程與方法目標：通過對定理的探究和證明，向學生滲透從特殊到一般、類比與轉化等數學思想，培養學生觀察、比較、想象、概括等邏輯推理能力及學生轉化的思想。能通過實驗提出自己的猜想并能進行論證，靈活運用知識學會分析問題、解決問題。

3. 能力目標：以學生的經驗為基礎，通過實驗、分析、猜想、歸納、論證、運用培養學生分析問題、解決問題的能力，在探索空間線線、線面、面面關系過程中逐步建立空間觀念；培養學生勇于探索、敢于創新的精神，從探索中獲得成功的體驗，實現自我價值，培養自信。

4. 情感目標：進一步豐富數學學習的成功體驗，激發對空間圖形研究的興趣，形成積極參與數學活動，主動與他人合作交流的意識。

四、重點、難點分析

教學重點：平面與平面垂直的性質定理

教學難點：靈活運用面面垂直的性質定理證明線線垂直和面面垂直，達到三者的相互轉化。

五、教學過程

1. 復習提問

（1）面面垂直的定義

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。

（2）面面垂直判定定理

如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直。

2. 引入新課

如果平面α與平面β互相垂直，直線l在平面α內，那么直線l與平面β是否一定垂直？有幾種位置關系？什么情況下，平面α內的直線l與平面β垂直？

通過設計若干問題，由表及里，由淺入深，引導學生討論，總結，猜想：如果兩個平面相互垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

3. 探求新知

設α⊥β，α∩β=CD，AB β，AB⊥CD，且AB∩CD=B，

求證：AB⊥α

（讓學生思考怎樣證明）

分析：要證明直線垂直于平面，須證明直線垂直于平面內兩條相交直線，而題中條件已有一條，故可過該直線作輔助線。

面面垂直的性質定理

文字語言：兩平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

圖象語言：（略）

符號語言：（略）

從面面垂直的性質定理可知，要證明線垂直于面可通過面面垂直來證明，而前面我們知道面面垂直也可通過線面垂直來證明。這種互相轉換的證明方法是常用的數學思想方法。學生在學習中要認真理解和體會。性質定理的條件有：平面垂直，線在面內，線垂直交線。

（上接第118頁）

4. 拓展應用

下列判斷線面垂直的方法有錯誤的嗎？

（1）a⊥m，a⊥n，m，n αm，n相交， a⊥α

（2）a∥b，a⊥α b⊥α

（3）α∥β，a⊥α a⊥β

（4）α⊥β于b，a α，a⊥b a⊥β

小結：線線垂直、平行，面面垂直、平行都能得出線面垂直。

設平面α⊥平面β，點P在平面α內，過點P作平面β的垂線a，直線a與平面α具有什么位置關系？

猜想：直線a與平面α內

例1. 如圖，已知平面α、β，α⊥β，直線a⊥β，a α， 試判斷直線a與平面α的位置關系，求證a ∥α （引導學生思考分析，因為直線與平面有在平面內、相交、平行三種關系）

解：在α內作垂直于α、β交線AB的直線b

∵ α⊥β

∴b⊥β

∵ a⊥β ∴ a ∥b ，

又∵a α ，∴ a ∥α

例2. 如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，平面PAC⊥平面ABC

（1）判斷BC與平面PAC的位置關系，并證明。

（2）判斷平面PBC與平面PAC的位置關系。

證明：（1）∵點C是以AB為直徑的⊙O圓周上不同于A、B的任意一點，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC.

∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴PA⊥BC.

∵AC平面PAC，PA平面PAC，AC∩PA=A，

∴BC⊥平面PAC.

（2）又∵ BC平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC

5. 小結

（1）平面與平面垂直的性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

（2）證明線面垂直的兩種方法：線線垂直→線面垂直；面面垂直→線面垂直

欲證直線a與平面α垂直，大致有以下思路：

①證明直線a垂直于α內兩條相交直線，從而進一步想如何在α內找到這兩條相交直線；②證明直線a與α的垂線平行，從而進一步想如何找α的垂線；③找直線a所在平面與α垂直，證明直線a垂直于兩平面的交線。

六、反思

立體幾何課堂教學中提升直觀想象的素養要注意以下幾點：

1. 重視學生的主體地位。課堂要站在學生的角度，從學生的認知水平出發開展教學工作，充分調動學生的主觀能動性。教師要善于以問題鏈形式，開啟學生的思維，讓學生在回答問題中加深對相應知識的理解。

2. 重視直觀感知，逐步形成空間觀察，提高空間想象力。空間想象力是人們對客觀事物的空間形式（空間幾何形體）進行觀察、分析、認知的抽象思維能力。教師要充分利用各種條件，運用各種手段，引導學生通過對物體、模型、圖形的觀察，讓學生獲取和運用幾何初步知識，并在運用幾何初步知識的過程中培養初步的空間想象力。

3. 重視文字語言、圖形語言和符號語言的轉化。教學中要幫助學生學會用圖形語言和符號語言來描述，特別是它們之間關系的轉化，從而進一步提升數形結合的能力。在立體幾何教學中，要重視學生對這三種語言的理解。

總之，從幾何直觀中感知，能幫助理性認識的深化；理性認識的提高有助于深化空間想象能力；空間想象能力又能提高直觀感知客觀世界的能力，把直觀感知和空間想象結合，使學生的綜合素養進一步提升。

（作者單位：浙江省寧海縣正學中學 315600）