核心素養下的一元一次方程應用題學習障礙初探

何新榮

摘 要：應用題是初中數學的重點內容也是學生學習的難點，一元一次方程應用題是初中應用題的起始和關鍵階段。在一線教學中，教師進行核心素養導向下的一元一次方程應用題學習障礙研究有著重要的理論意義與實踐意義。由淺入深逐步提高分析問題、解決問題的能力，提高學生的數學素養。

關鍵詞：核心素養；導向；一元一次方程應用題；學習障礙；數學素養

教育部提出的核心素養是知識、技能和態度等的綜合表現。它是知識、能力、態度或價值觀等方面的融合，既包括問題解決、探究能力、批判性思維等“認知性素養”，又包括自我管理、組織能力、人際交往等“非認知性素養”。

運用數學知識解決現實中的實際問題是學習數學的重要目標之一，可以說培養學生解應用題的能力是使學生能夠運用所學數學知識解決實際問題的基本內容和重要途徑。應用題教學使學生體驗到數學與我們的生活息息相關，有利于培養學生學數學的興趣；還可以發展學生的邏輯思維能力，分析問題的能力，培養學生良好的思維品質和道德品質等。而這些都是培育學生核心素養的重要組成部分，提高學生的應用題解題能力是培育學生核心素養的有力保障。

一、核心素養導向下的一元一次方程應用題學習障礙研究的重要意義

學生在學習時出現學習障礙是學習過程中自然存在的現象。學習過程中出現的學習障礙以及對學習障礙的認識，是學生獲得和鞏固知識的重要途徑。核心素養導向下的一元一次方程應用題學習障礙研究，可以幫助學生掌握分析問題與解決問題的方法，使學生在學習中可以進一步體會方程思想、模型思想，進而也會幫助學生從數量關系的角度更準確、更清晰地認識、描述和把握現實世界。學生即使是在面對不熟悉的應用問題或者是其他學科中與生活聯系的應用問題時，能夠應用數學思想方法去思考問題。因此進行核心素養導向下的一元一次方程應用題學習障礙研究有著重要的理論意義與實踐意義。

二、應用題是初中數學的重點內容，也是學生學習的難點，一元一次方程應用題是初中應用題的起始和關鍵

小學生進入初中學習列方程解應用題由算術解法到代數需要幾個轉變：（1）由列“算式”轉變為列“等式”；（2）由綜合法分析為主轉變為以分析法分析為主；（3）列方程解應用題時要把設的未知數當做已知看待。這是初學者難以適應的。方程應用題是初中數學的重點內容，也是學生學習的難點。在小學階段，學生使用的是算術法解題，升入中學后，需要學生轉變思維方式，運用方程思想解應用題，學生要有較強的閱讀理解能力、將自然語言轉換成數學語言的能力，還要有很強的邏輯思維能力，而初中生尤其是初一學生在這些方面的能力正處于發展階段。方程的學習貫穿了整個中學階段，特別是方程應用題的學習可以為之后要學習的函數、不等式應用題奠定基礎。一元一次方程應用題是初中應用題的起始和關鍵階段。

三、用一元一次方程解行程問題障礙剖析

學生初學列方程解應用題時存在著如下問題現象：

（1）學生社會經驗缺乏，看不懂題意；

（2）找不著、找不準等量關系，即使能找到等量關系，也不知如何設未知數、列方程，從而解決問題；

（3）當題目中未知量過多時，由于審題、分析能力較差，不知該選擇哪一個未知量設未知數簡單；

（4）許多學生對應用題抱有恐懼心理，不想看題，遇到應用一元一次方程解應用題會產生逃避心理，不積極動腦思考。

（5）學生在學習中可能習慣于用算術方法分析問題，對于用代數方法分析應用題不適應，以至于面對較為復雜的應用題無法找到等量關系，列式解答。

（6）學生在學習過程中可能不重視分析等量關系，而習慣于套題型，找解題模式慣于用算術方法分析已知數與未知數。

針對這些問題，在教學過程中，我鼓勵學生首先要有信心，不要懼怕應用類題。我要求學生認真審題，逐字逐句進行推敲，分清楚哪些是已知量，哪些是未知量，積極尋找題目中所蘊藏的等量關系，從而設未知數解決問題。由教師引導學生從實際問題中抽象出數學模型，畫示意圖或表格分析數據，并解答，向學生呈現一個完整的分析、解決問題的過程。

例1.A、B兩地相距450 km，一列慢車從A地出發，每小時行駛60 km，一列快車從B地出發，每小時行駛80 km，兩車相向而行，慢車先出發30分鐘，快車開出多長時間后兩車相遇？

分析：此題學生拿到手，會從“相向而行”發現這是一典型的相遇問題。等量關系是：快車的路程+慢車的路程=總路程。

不能直觀分析時，可借助于示意圖或表格分析，從而根據題目特點，設未知數快車開出x小時兩車相遇，列方程并解方程。

解：設快車開出x小時兩車相遇，由題意得：

60（0.5+x）+80x=450，

解得x=3，

答：快車開出3小時后兩車相遇。

例2.甲乙兩人騎自行車同時從相距65 km的兩地相向而行，甲的速度為17.5 km/h，乙的速度為15 km/h，經過幾小時，甲乙兩人相距32.5 km？

分析：對于此類問題，學生出現的常見錯解是只考慮到相遇前甲乙相距32.5 m或相遇后相距32.5 m一種情況。解決本題應考慮全面，分兩種情況解答。等量關系分別是：甲路程+乙路程=65-32.5；甲路程+乙路程=65+32.5。

設經過x小時兩人相距32.5 km：

解：①相遇前，設經過x小時兩人相距32.5 km，

根據題意得：17.5x+15x=65-32.5，

解得x=1，

②相遇后，甲乙兩人繼續前進，設從出發到相遇后共經過y小時兩人相距32.5 km，

根據題意得：17.5y+15y=65+32.5，

解得：y=3，

答：經過1小時或3小時兩人相距32.5 km。

行程問題是學生學習一元一次方程解應用題的一個常規問題。行程問題分為相遇問題和追及問題。對于行程問題，要弄清楚是相遇問題還是追及問題，并依不同類型尋找等量關系，由淺入深逐步提高分析問題、解決問題的能力，提高學生的數學素養。

例3.一隊學生去校外進行軍事野營訓練，他們以5 km/h的速度行進，走了30 min的時候，學校要將一個緊急通知傳給隊長。通訊員從學校出發，騎自行車以15 km/h的速度按原路追上去，通訊員用多長時間可以追上學生隊伍？

分析：本題的等量關系是：（1）通訊員所用的時間+30 min=學生隊伍用的時間；（2）追上時，通訊員所走的路程=學生隊伍所走的路程。

解：設通訊員追上隊伍需要x小時，則通訊員走了15x km，學生共走了5×0.5+5x=5（0.5+x）。

根據題意得：15x=5（x+0.5），

解得：x=0.25，

答：通訊員用0.25 h可以追上學生隊伍。

追及問題可分為兩類，一類是同地不同時類的問題，一類是同時不同地的追及問題。追及問題的特點是：兩人（或兩物體）同時沿同一路線、同一方向運動，慢者在前，快者在后，快者追趕慢者。環形道路的常見問題類型有同時同向首次相遇、同時反向首次相遇問題。關鍵要找出題目中的等量關系。

例4.甲乙兩人在8 km的環形公路上跑步，甲每分鐘跑220 m，乙每分鐘跑180 m，

（1）若兩人同時同地反向而跑，經過多少時間首次相遇？

（2）若兩人同時同地同向而跑，經過多少時間首次相遇？

（3）若甲先跑10 min，乙再從同地反向出發，還要多長時間兩人首次相遇？

（4）若甲先跑10 min，乙再從同地同向出發，還要經過多長時間兩人首次相遇？

分析：（1）等量關系為：兩人所行距離之和等于環形公路周長；

（2）等量關系為：甲所行路程-乙所行路程=環形公路周長；

（3）等量關系為：甲所行路程+乙所行路程=環形公路周長；

（4）甲所行路程-乙所行路程=環形公路周長。

解：設經過x min首次相遇

（1）由題意得，220x+180x=8000。解得x=20。所以經過20 min首次相遇。

（2）由題意得，220x-180x=8000。解得x=200。所以經過200 min首次相遇。

（3）由題意得，220×10+220x+180x=8000。解得x=14.5。所以經過14.5 min首次相遇。

（4）由題意得，220×10+220x-180x=8000。解得x=145。所以經過145 min首次相遇。

環形跑道的問題歸結為兩點：（1）甲乙兩人在環形跑道上同時同地同向出發，快的必須多跑一圈才能追上慢的；（2）甲乙兩人在環形跑道上同時同地反向出發，兩人相遇時的總路程為環形跑道一圈的長度。

總的來說，行程問題是中考命題的一個熱點，與生活接近，對培養學生的數學素養起到重要作用。題型有填空題、選擇題、列方程解應用題。對于行程問題，要弄清楚是相遇問題還是追及問題，依不同類型尋找等量關系。在分清相遇和追及問題時，關鍵要理解“同向而行”和“相向而行”的概念。逐字逐句分析題意，找出等量關系，列出方程，從而解決問題。

在解題過程中，出現障礙的根本原因分析：

（1）語言知識缺乏。數學學習障礙學生對關系句的理解比較困難，對已知條件的提取能力較差，對解題目標的理解困難。

（2）在與解題相關的生活常識上比較匱乏，在單位換算轉換方面存在困難。

（3）圖式知識模糊。對問題類型的辨識困難，對等量關系的理解和記憶能力較差，利用等量關系列方程的能力較弱。

（4）策略知識單一。使用的解題策略種類極為單一，不習慣使用列一元一次方程的策略解題，缺少回顧檢查的監控策略，易出現隨意拼湊數字進行列式的不成熟策略。

（5）程序知識不熟練。計算速度慢，計算過程出現反復的情況，一元一次方程移項時運算符號易出錯，列豎式計算出錯率較高，缺少驗算的習慣，常忘記把計算結果和解題目標進行對照。

四、在補救教學方面研究的對策

探討了多名初中數學學習障礙學生在解一元一次方程應用題時的解題過程，并實施補救教學后，學生在解題表現方面有明顯進步，研究結果發現如下：

（1）語言知識：對關系句轉換技巧的講解和練習，提醒學生提高讀題次數，采取口語讀題、多元表征的訓練，有助于學生理解已知條件和解題目標。

（2）語義知識：不同情景常識的學習、單位換算的練習，能有效提高學生對題意的理解程度。

（3）圖式知識：應用題分類教學，能提高學生對問題類型的辨識能力；對公式的理解和記憶，可以有效提高學生尋找等量關系的能力；引導學生利用等量關系或者抓住不變量進行方程的列式，可以提高學生的問題解決能力。

（4）策略知識：算術和方程在列式策略方面的對比教學，可以加速學生從算術思維向代數思維的轉變。使用列表法、圖示法、分段討論法、間接設元法、回顧檢查等解題策略，能有效提高學生對已知條件和解題目標的整合能力。

（5）程序知識：逐步計算，算術和方程中“等號”含義的對比講解，列豎式計算時把進位的數字明確標示出來，把計算結果代回到方程驗算，都可以有效提高計算的準確率。

無論是用圖解法、圖表法列一元一次方程解應用題，還是訓練一元一次方程應用題多解，都是數學學習過程總結的一些方法和經驗，卻不是唯一的，也不是必須的，通過數學的學習，經歷由實際問題抽象為方程模型的過程，進一步體會模型化的思想，會用一元一次方程解決一些實際問題；培養學生分析問題、解決問題的能力；在積極參與教學活動的過程中，初步理解一元一次方程的使用價值，感受到數學的應用價值，激發學習數學的信心，提高學生數學素養，為學生核心素養的提高出一臂之力。

參考文獻：

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編輯 郭小琴