高中數學排列組合問題的常見解法

林萍

[摘 要]排列組合是組合學最基本的概念，也是高中數學重要的知識板塊之一. 雖然排列組合不是高中數學最難理解的知識板塊，但卻是高中數學最容易出錯的板塊之一.想要簡單、準確地解決排列組合問題，就要掌握排列組合問題的解題方法和技巧.高中數學排列組合問題的常見解法有“特殊元素特殊安排”法、捆綁法和畫圖法.

[關鍵詞]排列組合問題；常見解法；高中數學

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）20-0011-02

排列組合是組合學最基本的概念，也是高中數學的重要知識板塊之一.排列組合問題因題型多變，隱含條件復雜，導致學生在計算上容易出現偏誤.掌握有效的解題方法是學習排列組合的捷徑.本文主要歸納總結高中數學排列組合問題的常見解法，以期能幫助學生有效解決排列組合問題.

一、特殊元素特殊安排

在高中數學排列組合題中，有一些較為特殊的隱含條件，它們構成了特殊元素和特殊位置.在解題的過程中，應挖掘和轉化隱含條件，優先安排特殊元素和特殊位置，從而使題目化繁為簡.

[例1]0、1、2、3、4、5這六個數可以組成多少個沒有重復數字的五位奇數？

這道題看似容易，實際蘊含了三個隱含條件，首先是“五位數”，也就是說我們只考慮從6個數中選擇5個數的情況，六位數、四位數都不在考慮的范圍內.其次是“沒有重復”，這意味著選擇的過程中可用的數是逐次遞減的，屬于組合問題.最后是“奇數”，這意味著個位數只能從1、3和5這三個數中進行選擇.因此在解決這道題時，首先個位的限制條件是最多的，因此優先安排個位，那么個位只能從1、3、5三個數中任選一個，那么就有C[13] 種情況；其次含有特殊位置的是首位，雖然首位沒有限定條件，但是由于題目說了必須是五位數，因此首位不可以是0，故只有C[14] 種情況.在安排完特殊位置后，可以再來考慮中間沒有特殊要求的三位數，中間三位數應在剩下的4個數中選取3個，同時是有順序的，因此需要用排列，共有A[34]種情況.因此這道題目的答案是C[14] C[13] A[34]=288（個）.其實這道題還可以進行延伸，如將題目結論改為“可以組成多少個沒有重復數字的奇數？”或是“可以組成多少個沒有重復數字的五位偶數？”，難度就大大增加了.因此在實際教學中教師若常常為學生示范例題，然后再通過改變條件讓學生進行拓展訓練，就能收到顯著的教學效果.

二、利用“捆綁法”解決相鄰元素問題

在排列組合題中，時常會出現“相鄰”這一條件，而“相鄰”這一條件不止涉及一個特殊元素或者位置，更多的時候會涉及兩個或者多個特殊元素或位置，運用上文所闡述的解題方法并不實用.因此在實際教學中可以運用“捆綁法”來解決相鄰元素的問題.

[例2]7個人站成一排，要求甲、乙兩人相鄰同時丙、丁兩人也相鄰，問共有多少種不同的排法？

在解決這類問題時，可以運用捆綁法.首先由于甲和乙必須相鄰，丙和丁必須相鄰，因此我們可以把甲和乙看作一個整體，丙和丁看作一個整體，在滿足甲、乙相鄰、丙丁相鄰的條件下一共有多少種排法.這時甲和乙看作一個整體，丙和丁看作一個整體，相當于一共就5個人，那么排列方式就是A[55].但是我們不能忽略雖然把甲和乙看作一個整體，丙和丁看作一個整體，但是這兩個捆綁元素內部仍可以進行自由排列，因此這道題最后的答案是A[55] A[22] A[22]=480（種）.在解決這類題目時，首先需要找到特殊元素和特殊位置，然后用捆綁法將它們視為一個整體，最后進行排列，排列完后一定不能忘記捆綁組合內部的排列方式.其實這道題目還可以進行變式，就是將“相鄰問題”轉化為“不相鄰問題”，如將題目中的“甲、乙相鄰”改為“甲、乙不相鄰”，那么這道題就有兩種解題方式，一是算出總排列種類再減去相鄰的種類就是不相鄰的種類；二是將“捆綁”變為“插空”，可以把沒有位置要求的元素進行排隊，再把不相鄰的元素插入兩者之間.當然這道題目運用相減的方式較為簡單，但是如果題目再進行變化，不相鄰的元素增多，那么只有用“插空”的方法才是最簡便的.

三、應用“畫圖法”正確理解已知條件

在排列組合題目中，有一類題目看似與常見的題目相同，但是如果按照常見題目的解法進行計算就會得到錯誤的答案.因此在實際計算時當發現條件與常見題目有偏差時，可以采用畫圖的方式，更加生動直觀地展示出題目的含義.

[例3]8個人在8人席的圓桌上就座，問共有多少種坐法？

如果這道題不進行畫圖，認為與普通的直線排列是一樣的，按照常規的算法計算就會出現錯誤.其實由于圍成了圓形，所以就沒有了首尾之分.因此在計算這道題時可以采用畫圖的方法將具體內容展示出來.如下圖，將8人用A、B、C、D、E、F、G、H分別表示出來，然后假設從A的位置進行平面展開，那么展開后形成的圖像A在首尾兩處都存在，也就是沒有首尾之分.因此這道題的答案不是“8！”，而是“7！”.因此通過畫圖可以幫助學生梳理知識：一般而言，n個不同的元素作為圓形進行排列，共有（n-1）種排列方式.如果從n個不同元素中取出m個元素作為圓形排列，則共有[1n]A[mn] 種方式.

四、合理分類與分步解決問題

分步與分類是解決排列組合問題的兩種不同的計算方式.我們都知道，分步對應著乘法原理，分類對應著加法原理.在排列組合題目中，有的需要運用加法原理，有的需要運用乘法原理，有的需要兩種原理搭配使用.因此在實際教學中需要合理運用分類與分步對應的原理解決相應問題.

[例4]在一次聯歡會上一共有10名演員，其中8人會唱歌，5人會跳舞.現在需要出演一個2人唱歌，2人跳舞的節目，請問有多少種選法？

其實這道題就是含有約束條件的排列組合問題.通過已知條件，我們知道10名演員中8人會唱歌，5人會跳舞，那就說明有（8+5）-10=3名演員，既會唱歌又會跳舞.因此可以重新梳理一下題意，就變成了10名演員中，2人只會跳舞，5人只會唱歌，3人既會唱歌又會跳舞.因此這時候可以按照元素的性質進行分類，按照實踐發生的過程分步.其實通過條件發現一共有三大類，一類是會唱歌的5人中沒有人選上，第二類是會唱歌的人中有一人選上，第三類是會唱歌的人中有兩人選上，這三類數學分類，運用加法原則.因此第一類有C[23] C[23]種方式，第二類有C[15] C[13] C[24]種方式，第三類有C[25] C[25]種方式.而最后的結果就是將這三類相加，共有C[23] C[23]+C[15] C[13] C[24]+C[25] C[25]種方式.因此在解決帶有約束條件的排列組合問題時，我們可以明確隱含條件中的層級關系，運用性質進行分類或者分步，從而讓解題水到渠成.類似這樣的題目還有很多，看似復雜無從下手，但是只要找對了方法，解題便如抽絲剝繭般容易.

綜上所述，排列組合雖然只是高中數學的一個知識點，但是排列組合的題型千變萬化，解題方法也是各有千秋.本文只是從上述幾個方面對排列組合問題的解題技巧進行了分析.排列組合是高考數學的考點之一，雖然難度不大，但是容易出現計算錯誤的現象.因此作為教師，需要不斷研討，不斷總結，歸納出排列組合問題的解題方法，為學生引導靈活的思維和便捷的解題方式.同時，希望本文可以起到拋磚引玉的效果，通過與廣大教育工作者的交流，推進高中數學排列組合教學的精進.

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 于水青.排列組合問題的求解方法與技巧[J].山西師范大學學報（自然科學版），2014（S2）：15-17.

[2] 湯蕾.能力在有效教學中升華：淺談新課改下高中數學有效性教學中能力素養的培養[J].文理導航（下旬）， 2011（11）：9.

[3] 劉明君.高中生排列組合認知水平研究[D].蘭州：西北師范大學，2016.

[4] 石偉娜.高二理科生運算能力的調查研究：以圓錐曲線教學為例[D].石家莊：河北師范大學，2016.

（責任編輯 黃春香）