分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

趙秀紅

摘 要：數(shù)學(xué)這一門(mén)學(xué)科對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常重要的學(xué)科，在新課程改革標(biāo)準(zhǔn)的要求下，初中數(shù)學(xué)學(xué)科更加注重學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力以及數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)中題型較多，因此對(duì)不同題型的題采用不同的解題思路非常重要，而分類討論思想在數(shù)學(xué)解題思路中占有很大的比重。主要介紹了分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的重要性以及在初中數(shù)學(xué)題目解答時(shí)的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：分類討論思想；初中數(shù)學(xué)；解題思路

隨著國(guó)家新課程標(biāo)準(zhǔn)的改革，初中數(shù)學(xué)更加注重?cái)?shù)學(xué)的解題方法以及解題思路，而不是以往死記硬背而來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)答案，因此，教師在課堂上講授數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候應(yīng)該注意數(shù)學(xué)解題方法以及解題思路的講解。分類討論思想作為一項(xiàng)數(shù)學(xué)最重要的解題方法之一，學(xué)生應(yīng)該及早掌握并且做到熟練應(yīng)用，只有這樣才能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)的邏輯思維，才能夠使得學(xué)生增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的理解，最后使得初中數(shù)學(xué)教學(xué)效率得到顯著提升。

一、分類討論思想對(duì)于初中數(shù)學(xué)解題的重要意義

分類討論思想主要是指在進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題過(guò)程中采用化整為零、積零為整的思想，運(yùn)用歸納和整理的方法從而達(dá)到解決題目難的問(wèn)題。對(duì)于初中數(shù)學(xué)中的題目使用單一的解題方法不能夠達(dá)到解題的目的，而如果采用分類討論思想，將一整個(gè)問(wèn)題分解為單個(gè)的、比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，然后再在進(jìn)行解題，逐個(gè)擊破，繼而對(duì)各個(gè)小問(wèn)題的結(jié)果進(jìn)行歸納整理，最終得到正確的答案。分類討論思想不僅解決了學(xué)生在審題之后無(wú)從下手的難題，還可以通過(guò)科學(xué)合理的分類討論來(lái)培養(yǎng)初中學(xué)生的解題能力，增強(qiáng)初中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理解。相較于審題之后直接進(jìn)行整個(gè)題目的解答，分類討論顯得更為容易，這樣一來(lái)，學(xué)生能夠體驗(yàn)到數(shù)學(xué)解題中的樂(lè)趣，學(xué)生更容易投入到數(shù)學(xué)解題當(dāng)中，增強(qiáng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，從而增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)效率。

二、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的原則

學(xué)生在運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行解題的過(guò)程中需要堅(jiān)持以下兩方面要求：第一項(xiàng)要求便是同一性和相稱性，在進(jìn)行分類討論前首先要明確所要討論的對(duì)象，如果確定或者清楚討論對(duì)象，分類討論就不可能有序進(jìn)行，在分類的過(guò)程中要保持一致的標(biāo)準(zhǔn)；第二項(xiàng)要求便是堅(jiān)持互斥性以及多層次性，互斥性的意思主要是保持各個(gè)小問(wèn)題不應(yīng)該相互包含，必須互斥。多層次性主要是指在面對(duì)問(wèn)題中需要進(jìn)行多次分類的情況，需要堅(jiān)持多層次性原

則，含義是利用二分法把同一層次中互相排斥的問(wèn)題進(jìn)行分類，以提高分類討論的科學(xué)有序性。

三、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中解題的具體應(yīng)用

1.分類討論思想在初中幾何中的具體應(yīng)用

例如，學(xué)生在解決和圓與圓的位置關(guān)系有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以按照兩圓圓心之間的距離與兩圓的半徑長(zhǎng)度關(guān)系進(jìn)行比較來(lái)分類：圓與圓相離、圓與圓相交、圓與圓相外切、圓與圓相內(nèi)切以及圓與圓內(nèi)含五種位置關(guān)系，然后再考慮問(wèn)題的解題思路，利用分類討論思想來(lái)解決圓與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系是比較常見(jiàn)的解題思想。另外還有就是在求解三角形問(wèn)題中利用分類討論思想：

例1：在△ABC中，∠C=30°，AH是BC邊上的高，以及AH2=BH·HC，請(qǐng)問(wèn)∠ABC的度數(shù)。

解析：經(jīng)過(guò)審題之后，發(fā)現(xiàn)題目中并沒(méi)有規(guī)定三角形形狀，如果貿(mào)然直接求解往往會(huì)漏掉一解，因此在解題的時(shí)候應(yīng)該分類討論，根據(jù)題干要求可分類為三角形的高AH在三角形內(nèi)部以及高AH在三角形的外部。當(dāng)高在內(nèi)部的時(shí)候，根據(jù)AH2=BH·HC這一典型的勾股定理可以進(jìn)而判定該三角形為直角三角形，又因?yàn)椤螩=30°，所以得到∠ABC=60°；當(dāng)三角形的高在三角形的外部時(shí)，可以進(jìn)而推斷出該三角形為鈍角三角形，然后根據(jù)AH2=BH·HC可以得出△AHC∽△BHA，所以∠ABC=∠BAH+∠AHC=120°。

在進(jìn)行這類三角形相似問(wèn)題解答運(yùn)用分輪討論思想的時(shí)候，主要需要考慮的便是三角形屬于鈍角三角形、銳角三角形還是特殊的直角三角形，所以學(xué)生的解題思路首先就是要對(duì)三角形進(jìn)行分類討論，然后在進(jìn)行解題。

2.分類討論思想在初中函數(shù)中的具體應(yīng)用

初中函數(shù)問(wèn)題中大多需要進(jìn)行分類討論，比如一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸關(guān)系就需要學(xué)生進(jìn)行清晰的分類討論。

例2：己知函數(shù)y=（n-1）x2+（n-2）x-1，其中n為實(shí)數(shù)。若函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求解n的值。

分析：經(jīng)過(guò)審題之后，發(fā)現(xiàn)直接求解并不容易，所以這道題需要采用分類討論思想，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可以分為兩種情況：n-1=0以及n-1≠0，然后在進(jìn)行n值的求解。當(dāng)n-1=0即n=1時(shí)，該函數(shù)為y=-x-1，所以與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)（-1，0）；當(dāng)n-1≠0時(shí)，該函數(shù)則是一個(gè)二次函數(shù)，由Δ=（n-2）2-4（n-1）（-1）=0得n=0。因此，拋物線y=-x2-2x-1的頂點(diǎn)為（1，0），位于x軸上方。綜上所述，當(dāng)n=0或n=1時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)。

分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中解題的應(yīng)用對(duì)于提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維有著重要的意義。在解題過(guò)程中，根據(jù)題干信息選定分類標(biāo)準(zhǔn)，然后有序謹(jǐn)慎地進(jìn)行分類，進(jìn)而進(jìn)行問(wèn)題討論，最終歸納總結(jié)得出最終答案。分類討論思想并不僅僅是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方式，它更是一種了解數(shù)學(xué)的途徑，有效掌握分類討論對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升有著重要的作用。

參考文獻(xiàn)：

段素麗.初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)有效性的思考[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（4）.

編輯 馬曉榮