高中數學向量知識的工具性研究

摘 要：向量知識在高中數學中有著獨特的地位，它是高中數學知識的一個獨立知識點，與此同時還是許多其他知識點的解題工具。而對于向量知識的工具性研究探討是高中數學知識的教學重要部分。本文就數學中向量知識的工具性進行研究解說，希望對于高中數學的教育事業提供一定的參考意義。

關鍵詞：高中數學；向量知識；工具性

高中數學的學習是一個完整體系的構建學習，因此其中的各部分知識點具備一定的聯系。而向量知識在高中數學中不僅僅是一個重要的考查知識點，并且可以用于其他高中數學問題的解答與理解中，對于提高高中學生的數學成績與拓展學生數學思維有著很大幫助。

（一） 向量工具性概述

向量概念具備代數意義，也就是他的絕對長度，又稱為向量的模，可以用一個有序數組來表示，并且還具有具體的幾何意義，無論是平面幾何還是立體幾何中，都可以尋找到向量的概念，利用具體的線段代表向量的具體意義，因此可以用于溝通代數問題與幾何問題，并且通過利用向量工具將數與形結合起來，為學生提供一種新的解題思維。

（二） 向量工具性實例講解

1. 向量工具性在解決代數問題中的應用體現

代數是高中數學的重要組成部分，它的內容占據了很大的比例，主要包括數列、三角函數、統計與概率、導數與極限、方程等問題。這一類問題主要有幾類。

第一，最值的求解：如果實數 x，y 滿足 x2+y2+xy=1，那么 x + y 的最大值是多少？這一道是高考數學題目，具有一定的難度，利用平面幾何知識解答具有極大的難度，對這一題的解答需要構建向量解決，需要一定的發散思維。具體構建方案不止一種，這里筆者只用一個解法來講解這一類問題的解決思路，mn≥m·n，對于這一題而言需要運用上述不等式，而m與n是有學生自行思考構造的向量，構建的向量方向為m·n為x+y的一定倍數，而mn為x2+y2+xy=1的倍數，如此可以利用前文中的公式解決這一題，如m為（12x+y，32x），而n 為（1，13）如此可以得到結論為x+y≥233（x2+y2+xy），由此就可以得到最終結果為233。如此通過構造具體的向量就可以得出學生想要的結果。

第二，求解代數式：在直角三角形ABC 中，D 為三角形斜邊上的中點，P 是線段 CD 的中點，求PA2+PBPC22的值？對于這一問題需要理解題目中給出的公式的具體意義理解。但是乍一看難以理解，這里需要理解PA2=PA2，而可以將PA理解為向量，則可以將向量以其他向量表示如PA=PC+CA，利用這一公式對于所求式子進行改編后，可得16PC2-8PC2+2PC2PC2，由此可以求得最終結果為10.這一類問題的求解主要在于將式子中的代數式利用向量方法與幾何圖像進行對接理解，更進一步進行計算。這一道題的解答較為簡單，在題目中對于代數式有直接的提示，而更加高難度的問題中會將需要求的代數式隱藏起來，需要學生利用自己學過的知識去解決，需要學生冷靜分析。

2. 向量工具性在解決幾何問題中的應用體現

幾何問題占據了高中數學的重要部分，主要有兩個部分，平面幾何與立體幾何，而利用向量工具可以較好地理解分析這些問題。

第一，解決平面幾何問題：向量解決平面幾何問題是非常常規的做法，最為典型的是解決角度問題其中有一個三角形ABC，D點在BC上，BD=12DC，∠ADC=120°，AD = 2，如果三角形ADC的面積是 3-3，那么∠BAC是多少度？對于這一題，需要運用數形結合知識，將幾何問題轉化為代數問題可以見到利用三角形的面積公式，即S=AB×AC/2，再加上將三角形中的各個邊轉化為向量形式即可求出結果。此外還可能變化考察形式，要求判斷是否是特殊三角形，如等腰三角形、直角三角形，這一類問題通常出現在高考的選擇填空中，難度雖然不大，但是需要快速解決。例如：已知O為三角形ABC內的一點，其中OB-OC=OB+OC-2OA，那么三角形ABC是個什么三角形？這里可以通過對于問題給出的向量公式，通過轉化得出結論AB-AC=AB+AC，這是矩形對角線的向量表達形式，則我們就要知道這個三角形是一個直角三角形。

第二，解決立體幾何問題：在立體幾何問題解答過程中，由于線面關系難以直接得到，向量解決方法極為常見。利用向量知識可以將抽象的幾何問題具象為學生熟悉的代數問題。例如 以 2012 年福建省理科高考數學第 18 題為例：如長方體 ABCD - A′ B ′C′ D′，其中 AA′ = AD = 1，E是CD 的中點，求證：BA ⊥AD。由于各線之間的關系難以從幾何圖像中直接判斷，利用向量知識可以更加直接地解答，選擇點A為坐標系原點，沿著長方形的各邊做坐標軸，將每一個點的坐標做出，就可以簡單得到向量的代數式，解答這一類問題。除了線與線之間的關系求解，這非常直接，較為難一點的如面與面之間的關系求解，平行或者垂直，也可以利用面的垂線向量來解答，利用垂線關系來得出面面關系，這些雖然具有一定的難度，但是依舊是學生需要熟悉掌握的基礎解法。

向量問題的解答極為靈活多變，并且與其他部分的數學知識的學習解答關系緊密，需要教師高度重視，加強教學過程中與其他相關部分的講解。在實際的教學中，不僅僅要在向量知識的講解中介紹其他知識的相關運用，在代數、幾何知識的講解中，也要向學生介紹拓展向量解法，幫助學生更好的解答復雜的問題，拓展學生的數學思維，學生可以利用更多方法解答遇到的問題，不僅僅是數學成績的提高，更加是個人素養的提升。

參考文獻：

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[2]戴逸凡.例談向量在高中數學解題中的應用[J].中學課程輔導：教師通訊，2016（20）.

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作者簡介：

張濤生，福建省龍巖市，連城一中。