矢量叉乘法在求解高考數(shù)學立體幾何題中的 應用探究

【摘 要】本文以 2019 年高考立體幾何為例，闡述利用矢量叉乘法求解高考數(shù)學立體幾何題的方法。

【關鍵詞】高中數(shù)學 立體幾何 矢量叉乘法 學科交叉

【中圖分類號】G? 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）09B-0158-05

矢量叉乘法是高中數(shù)學中一個重要的內(nèi)容，它具有多種用途，可以靈活地解決幾何中的許多問題，因此得到許多考生的關注。在此探討矢量叉乘法在求解高考立體幾何題中的具體應用，為讀者提供參考。

一、矢量叉乘法介紹（求解平面法向量神器）

設? ?是某個 a 平面的不共線向量，則該面的法向量可以為：

〖注〗如果考生對物理學的右手螺旋定則了解深刻，那么向量? 的方向可以直接由右手螺旋定則確定下來。雖說如此，但也考慮到一些學子對右手螺旋定則了解不深刻，依然能用此法求解數(shù)學問題，故先不強調(diào)學子對右手螺旋定則掌握。其原因是因為求解出來的法向量還可以根據(jù)其對應的一兩個坐標的正負來判斷向量的指向。

二、空間向量法求解立體幾何相關公式

（一）線面角公式

其中， 為直線上的向量， 為平面的法向量，θ 為直線與平面的夾角。

（二）二面角公式

其中， 分別為所求二面角對應面的法向量。并且就對應角而言，法向量方向滿足“一進一出”規(guī)則，即人為調(diào)整法向量的方向，使得一個法向量穿進二面角，另外一個法向量穿出二面角。這樣處理的好處是，此時這兩個法向量的角就是二面角的平面角。不少同學在調(diào)整法向量的方向時也常遇到問題，即不知道如何判斷法向量的方向。判斷的方法是根據(jù)求出的法向量的坐標正負來判斷，具體是常用 z 軸方向的坐標來判斷，如果不能用 z 軸方向的坐標來判斷，那么一般再用 y 軸的坐標正負就可以輕松判斷出法向量的指向。

（三）一些常用的解題結論

采用三角形中位線平行底線或平行四邊形的對應兩條線平行結論來證明一條線平行一個面;采用勾股定理證明線與線相互垂直，便于證明線與面垂直、面與面垂直，也便于建立空間直角坐標系，以求解問題。

三、矢量叉乘法在求解 2019 年高考全國卷理科數(shù)學立體幾何題中的應用

〖例 1〗（ 2019 年全國高考理科數(shù)學試題全國卷 1）如圖 1，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分別是 BC，BB1，A1D 的中點。

（1）證明：MN∥平面 C1DE;

（2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值。

〖解題深度分析〗第一小問較容易，同時利用三角形中位線和平行四邊形來證線面平行。證法中，只要連接 ME，B1C 即可開始證明，其中 ME 是三角形 △BCB1 的中位線，則有 ME 平行且等于 B1C 的一半;又 B1C 與線段 AD 平行且相等，由平行線間的傳遞性，易知 ME 平行且等于 ND;由平行四邊形的判斷定理知四邊形 DEMN 為平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)定理即可知道 MN 平行 DE;而 DE 在平面 C1DE 內(nèi)，但 MN 不在平面 C1DE 內(nèi)，由線面平行判定定理即可知 MN 平行平面 C1DE。第二問的解題就需要求解兩個面的法向量，當然如果采用幾何法求解，則會發(fā)現(xiàn)所求二面角的平面角輔助線較難畫出，故選擇采用空間向量法較為簡單。但空間向量法又分為基底法和坐標法，如采用坐標法則需要找到三條兩兩相互垂直的線，本題剛好通過幾何分析易發(fā)現(xiàn)有三條線兩兩相互垂直，故較為容易的方法便是坐標法，采用坐標法相對于幾何法的優(yōu)點在于可以將空間想象力轉(zhuǎn)化為代數(shù)能力。故坐標法解決大部分同學空間想象能力弱的問題，使立體幾何問題的求解得到簡化。第二問采用坐標法細節(jié)是，利用幾何分析可發(fā)現(xiàn)幾何體的底面是菱形，意味著底面四邊形 ABCD 各邊均相等。題目又告知角 ∠BAD=60°，連接 BD，由正三角形的判定定理知三角形 △ABD 和△BCD 均是正三角形。又由于點 E 是 BC 中點，由正三角形性質(zhì)定理可知，DE 垂直 BC;而由菱形性質(zhì)知 BC 與 AD 是平行的，則 DE 垂直 AD。又柱體是直棱柱，則每一條側(cè)棱都垂直底面，也垂直于底面上的任何一條直線，故 DD1⊥DA、DD1⊥DE、DE⊥DA，則可以取點 D 為坐標原點，以 DA 為 x 軸，以 DE 為 y 軸，以 DD1 為 z 軸，建立空間直角坐標系 D-xyz。然后寫出各點坐標，寫出對應向量，利用矢量叉乘法將兩個面的法向量求解出來，然后利用向量的坐標正負判定向量指向，看是否需要調(diào)整向量的方向，然后利用二面角公式求解。

由于筆者在求解和取兩平面的法向量時已經(jīng)對兩向量的方向進行控制，上面的兩個向量方向相對于所求二面角而言是滿足“一進一出”的規(guī)則，故此兩向量的角便是所求二面角的平面角。設所求二面角的平面角為 θ，由二面角平面角公式得

〖點評〗本題在求解面的法向量時采用了矢量叉乘法求解，其法在實踐運算當中，若學子非常熟悉，在所寫的行列式當中可以進一步簡化，直接利用兩向量的坐標對法向量的坐標進行直接求取。具體取法是：將兩向量的坐標分行寫出排成列，取 x 坐標時，不看兩向量的 x 坐標，看兩向量的 y 與 z 坐標，然后對四個坐標交叉相乘相減即可獲得法向量的 x 坐標;同理獲得法向量的 z 坐標;用同樣的方法獲得 y 坐標時還需在其前面添上一個負號即可獲得法向量的 y 坐標。在實踐解題當中此法獲得法向量的方法比起傳統(tǒng)法在時間上得到很大的縮減，因此請閱讀本文的教師或者學子去實踐去感受。

〖例 2〗（2019 年全國高考理科數(shù)學試題全國卷Ⅱ）如圖 3（見下頁），長方體 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，點 E 在棱? AA1 上，BE⊥EC1。

（1）證明：BE⊥平面 EB1C1;

（2）若 AE=A1E，求二面角 B-EC-C1 的正弦值。

〖解題深度分析〗第一問證明較容易，屬于送分題，由題目給出的長方體知 B1C1 垂直于平面 ABB1A1;又因為 BE 在平面 ABB1A1 內(nèi)，由線面垂直性質(zhì)定理知，B1C1 垂直 BE，倒過來就是 BE 垂直 B1C1。題目又告訴我們 BE 垂直 EC1，而 B1C1 與 EC1 均是平面 EB1C1 內(nèi)的線且兩直線相交，由線面垂直判定定理知 BE⊥平面 EB1C1。第二問求解二面角的平面角的正弦值，如果采用幾何法求解，發(fā)現(xiàn)兩個半平面的交線為 EC，很難畫出想要的易求解的二面角的平面角。這題如果采用幾何法則題目對考生的空間想象能力的考查度相對較高。但題目給出的結構規(guī)規(guī)矩矩，易建立空間直角坐標系、利用坐標法求解。采用坐標法求解二面角也就必然要面臨著求解兩個面的法向量問題。本題第二問建系容易，唯一的小插曲就是點的坐標不能直接得出，需要先找到柱體的側(cè)棱與底邊的等量關系。這里則需要用到第一小問證明的結果，進而可以利用勾股定理便可以找出側(cè)棱與底邊的等量關系。具體是，由第一問知 BE 垂直平面 EB1C1，而 EB1 是平面 EB1C1 內(nèi)的線，由線面垂直性質(zhì)定理知 BE 與 EB1 相互垂直，故由勾股定理得 AB2+AE2=BE2，A1E2+AB12=B1E2，BE2+EB12=BB12。又 AE=A1E，AA1=BB1，從而得出 AB=AE。找到側(cè)棱與底邊的等量關系后，為了便于求解題目，可以設 AB=AE=1。為了使各點坐標寫得較為簡單一些也好寫一些，取 D 為空間坐標系的原點，以 DA 為 x 軸，以 DC 為 y軸，DD1 為 z 軸，建立空間直角坐標系 D-xyz;寫出各點坐標，寫出相應的向量，然后利用矢量叉乘法取兩個平面的法向量，然后求解題目。

上面的兩個向量方向相對于所求二面角而言是滿足“一進一出”原則的，設所求二面角的平面角為 θ，由二面角平面角公式得

又因為兩面角的平面角大小范圍是 θ∈（0°，180°），故 θ=120°，其正弦為 ，所以二面角 B-EC-C1 的正弦值為 。

〖點評〗本題較全國一卷那題立體幾何而言更為容易，主要容易在第一小問，第一小問算送分題。第二小問建系也比一卷的容易，建系取點寫坐標和向量后均是求解二面角的相同問題，也都涉及同時求解兩個平面的法向量。通過解題對比可發(fā)現(xiàn)，今年的卷Ⅰ立體幾何在第一問及第二問的建系上要難于卷II。

〖例 3〗（2019 年全國高考理科數(shù)學試題全國卷III）圖 5 是由矩形 ADEB、Rt△ABC 和菱形 BFGC 組成的一個平面圖形，其中 AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿 AB、BC 折起使得BE 與 BF 重合，連結 DG，如圖 6。

（1）證明：圖 6 中的 A、C、G、D 四點共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE;

（2）求圖 6 中的二面角 B-CG-A 的大小。

〖解題深度分析〗第一小問依然較為容易，在形成的斜三棱柱中由側(cè)面菱形和矩形的性質(zhì)，知 CG 平行且等于 BE，而 BE 平行且等于 AD，則可知 CG 平行且等于 AD，即四邊形 CGDA 是一個平行四邊形。而點 A，C，G，D 是這個平行四邊形的四個頂點，可證四點共面。由矩形和直角三角形可知 AB 垂直 BE，AB 垂直 BC;又 BE、BC 相交且均在平面 BCGE 內(nèi)，由線面垂直判定定理可知，AB 垂直平面 BCGE。又因為 AB 在平面 ABC 內(nèi)，由面面垂直判定定理便可知平面 ABC⊥平面 BCGE。第二問依然是求解二面角的問題，采用的方法無非就是幾何法或向量法，采用幾何法發(fā)現(xiàn)較難作出滿意的所求二面角的一個平面角。因此解題思路轉(zhuǎn)向向量法，但發(fā)現(xiàn)本題的向量法采用坐標法時，坐標的建立對學子而言有些難度，即不能那么直觀地建系。通過分析，由第一小問獲得的結論平面 ABC⊥平面 BCGE，其中 AB 垂直 BC，則可以用 BC 作為 x 軸，BA 作為 y 軸。如果這樣建系那么還少 z 軸。按照這樣建系，z 軸只能是由 B 點立起來，發(fā)現(xiàn)如此建系不利于各點的坐標寫出。此時發(fā)現(xiàn)不如過點 E 對 BC 線作高，設高線與 BC 的交點為 H，則此時以 H 為建系原點，以 HC 為 x 軸，以 H 點處做平行 AB 線的線作為 y 軸，以 HD 作為 z 軸，那么所需的空間系便建立好了。由幾何等量關系便可寫出各點坐標，進而寫出相關向量，求出兩個面的法向量，然后利用二面角公式求解。在實踐中，采用坐標法，不少同學感覺較為別扭，那么有沒有不建系的方法求解二面角的大小呢？答案也是肯定的，其實發(fā)現(xiàn)較為直接的是向量 、、 三者的模及兩兩間的角都是已知的，如果采用基底法求解那么思路將更加順暢。本題筆者將同時給出坐標法中的叉乘法求解和基底法求解。

又因為兩面角的平面角大小范圍是 θ∈（0°，180°），則 θ=30°，所以二面角 B-CG-A 的大小為 30°。

〖點評〗本題運用了坐標法，其中坐標法解題中在求解面的法向量時采用矢量叉乘法。在采用坐標法解題時，發(fā)現(xiàn)本題的難點在于建系較難和建系后點的坐標求解較難。這兩點給考生一致的感覺就是題目別扭，使得不少學子在解題過程中對建系和寫坐標花費較多時間，并且如果在求解法向量時采用傳統(tǒng)求解法時間將消耗更多。本題稍微人性化的地方是平面的法向量不需要求解兩個，其中一個面的法向量易得?？傮w而言，相比全國卷Ⅰ和卷Ⅱ的立體幾何，顯然全國卷III的立體幾何題難度更大。如果本題采用基底法求解，那么好處是各基底能直接看出，并且各基底間的關系也都清楚，但基底法求解的不足之處在于后續(xù)的計算量非常龐大，在時間上給考生帶來考驗同時由于計算量大不少同學采用基底法求解的時候容易導致錯誤。

四、反思

筆者研究發(fā)現(xiàn)，矢量叉乘法在解決各高考理科立體幾何試題方面依然發(fā)揮巨大的作用，考慮到篇幅問題，這里不再展開。從矢量叉乘法在 2019 年高考理科數(shù)學立體幾何中的解題應用來看，全國卷Ⅰ、卷Ⅱ、卷III均適用此法求解，并且此法的熟練運用可以極大地減少考生在求解平面法向量時的寶貴時間。對全國三套卷的對比深度分析及求解實踐，發(fā)現(xiàn)全國卷III的立體幾何題難度最大，其次是全國卷Ⅰ，最為容易是全國卷Ⅱ。本文在求解全國卷III時同時給出了坐標法及基底法求解，通過對比，采用坐標法求解時，難點在建系和求解點的坐標，一旦成功建系和求解得到點的坐標，往下便較為好求，此法計算量較小，但思維難度大;而采用基底法求解時，優(yōu)點是基底已經(jīng)清楚并且直接給出各基底間的關系，解題思路簡單，但缺點是后續(xù)計算量大，易錯。

本文對矢量叉乘法在今年高考理科數(shù)學立體幾何中的解題應用研究，對比坐標法中求解法向量的常規(guī)方法及矢量叉乘法求解。筆者發(fā)現(xiàn)眾多學子均感覺使用矢量叉乘法求解數(shù)學立體幾何題更方便。這里也請閱研本文的教師或同學去實踐，去具體感受其方法的妙處，也希望此法能給后面參加高考的學子帶去一點點感悟和參考。同時看出近年來全國高考數(shù)學試題的設題背景由最初的純數(shù)學逐步向各個學科延伸，可預測在題目的綜合度上將由最初的章節(jié)間的綜合逐步提高到學科交叉間的綜合，也望學子更多強化自身學科交叉間的綜合能力提升。

【參考文獻】

[1]楊婷燕.淺談用向量法解立體幾何中的探索性問題[J].中學數(shù)學教學，2009（03）

[2]方孝釧.非坐標形式的向量法解高考立體幾何題的嘗試與思考[J].中學數(shù)學教學參考，2010（06）（上旬）

[3]徐曉宇，屈黎明.向量法解立體幾何題的點坐標求法——2017年高考浙江卷立體幾何解答題的方法總結[J].數(shù)學教學，2018（8）

[4]孔凡瑜.向量法解高考立體幾何試題[J].中學數(shù)學（高中），2002（3）

【作者簡介】楊承翰，男，大學本科，高中數(shù)學教師，高中物理奧林匹克競賽教練員，高中全國數(shù)學聯(lián)賽教練員。研究方向：高考數(shù)學、高中數(shù)學聯(lián)賽、高中物理奧林匹克競賽。