淺談數(shù)學思想在等差數(shù)列學習中的應用

李思虹

摘 要：數(shù)列是高中階段數(shù)學學習中的一項基本內(nèi)容，而等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種非常重要的特殊數(shù)列。等差數(shù)列的學習中，蘊含著極為重要的數(shù)學思想。本文從學生學習的角度出發(fā)，首先對高中數(shù)學等差數(shù)列的學習重點和難點進行了簡要概述；隨后，分析了數(shù)學思想在等差數(shù)列學習中的具體應用，希望為其他同學的學習提供具有價值的參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學 等差數(shù)列 數(shù)學思想 方程思想

引 言

高中階段的數(shù)學學習活動中，數(shù)學思想的應用，可以在某種程度上，提高對于數(shù)學概念和數(shù)學問題的理解能力，并加強數(shù)學問題的解決能力。作為一名高中生，在學習數(shù)學知識解決數(shù)學問題的過程中，需要明確數(shù)學思想對于問題理解與解決的指導意義。在此基礎上，可以在日常的學習中，將數(shù)學思想與相關(guān)知識的學習有機地融合起來，從而提高數(shù)學學習的效果。

一、高中數(shù)學等差數(shù)列學習的重點與難點

高中階段等差數(shù)列的特點是，從數(shù)列的第二項開始，每后一項與前一項的差是同一個常數(shù)。比如，數(shù)列{1，2，3，4，....，n}的后一項與前一項的差均為1，因此，該數(shù)列是一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列。等差數(shù)列的學習經(jīng)常與等比數(shù)列聯(lián)系在一起。無論是等比數(shù)列還是等差數(shù)列，在學習的過程中，都需要將基本的概念與性質(zhì)作為學習的重點內(nèi)容。此外，等差數(shù)列的每一項與其項數(shù)之間存在確定的關(guān)系，這種關(guān)系可以用解析式表示出來，也就是說，是一種可以用通項公式表示的數(shù)列。因此可以通過通項公式，對數(shù)列中的特定項進行求值[1]，也可以求數(shù)列前n項的和或者研究等差數(shù)列的單調(diào)性、最值等性質(zhì)。在學習的過程中，不斷積累和總結(jié)，可以提升在面對復雜問題時的解決效率。

二、數(shù)學思想在等差數(shù)列學習中的具體應用

（一）整體思想的運用

在解決高中數(shù)學中的等差數(shù)列相關(guān)問題時，需要從全局的角度出發(fā)，使用整體思想，對問題進行分析并加以解決。比如，在對某些問題的研究過程中，需要將問題視為是一個整體。通過研究問題的整體結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，并注意到已知條件與所求問題中，整體性質(zhì)的作用，可以將整體結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)與轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)問題的求解。

例1：某等差數(shù)列前12項的和為354，并且在前12項中，奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為27：32，求該等差數(shù)列的公差d。

解答：=354，且=27：32，所以=6d=30，故d=5。

（二）方程思想的運用

方程思想是高中數(shù)學中較為常見的數(shù)學思想，主要是通過求解方程或者方程組，解得未知量[2]。這一思想可以有效地解決一些數(shù)列問題。

例2：已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}的前n項和分別是Sn和Tn，并且兩個數(shù)列滿足a2=b3=12，a5=b4=18，求兩組數(shù)列的通項公式。

解答：根據(jù)題目當中的已知條件可以得出，a2=12，且a5=18，設等差數(shù)列的首項為，公差為d，可以構(gòu)建出方程組，，從而解得和，所以an=2n+8。同理，設等比數(shù)列的首項為b1，公比為q，構(gòu)建方程組可以得出

bn。

（三）函數(shù)思想的運用

從本質(zhì)上進行分析，數(shù)列就是定義域為正整數(shù)的函數(shù)。數(shù)列的函數(shù)圖像，是在坐標軸某一區(qū)間上的一系列的離散的點。對于等差數(shù)列來說，通項公式可以視為是函數(shù)的表達式。并且，等差數(shù)列所對應的函數(shù)為一次函數(shù)，等比數(shù)列對應的函數(shù)為指數(shù)型函數(shù)，等差數(shù)列中前n項的和，可以看做關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù)。因此，等差數(shù)列具有函數(shù)的基本性質(zhì)，在進行解題時，可以將函數(shù)思想應用于問題的解決中。比如，等差數(shù)列an=2n-1是n的表達式，函數(shù)y=2x-1是關(guān)于x的表達式。等差數(shù)列的所有點都落在一次函數(shù)y上，等差數(shù)列具有離散的特征，一次函數(shù)具有連續(xù)性特征。在進行單調(diào)性研究或者最值問題解答時，可以利用該特點進行解決。

（四）數(shù)形結(jié)合思想的運用

數(shù)形結(jié)合思想主要是指，借助幾何圖形，對代數(shù)問題進行解決處理。通過此種方式，能夠?qū)⑤^為抽象的代數(shù)問題，通過圖形直觀地展現(xiàn)出來，提高學生們對于問題的理解能力，提高問題的解決效率。

例3：設等差數(shù)列an=，則該數(shù)列中，從首項a1開始到哪一項的和為最大值。

解答：因為數(shù)列an是函數(shù)f（x）=上一些離散的點。從圖1中可以看出，等差數(shù)列的前10項均為正數(shù)，第11項為0，之后各項均為負數(shù)，所以前10項與前11項的和相同且最大。

（五）類比思想的運用

除了上述幾項數(shù)學思想之外，在等差數(shù)列的學習與問題解決中，還可以使用類比思想。通過類比等差數(shù)列的相關(guān)概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式與中項公式等，很容易得出等比數(shù)列相對應的內(nèi)容。反之，通過分析等比數(shù)列的各項性質(zhì)和公式，也可以得出等差數(shù)列相對應的內(nèi)容。此種類比思想的運用，可以解決等差數(shù)列與等比數(shù)列相似性問題。

總 結(jié)

綜上所述，在高中階段等差數(shù)列的學習過程中，同學們往往需要從一個基本問題出發(fā)，綜合運用整體性思維、類比、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想等各種不同的數(shù)學思想和數(shù)學方法。通過此種方式，可以在解決基本的等差數(shù)列問題的同時，進一步增強對于數(shù)學思想的理解和認知，不斷提升自身的抽象思維發(fā)展水平，提高自身的邏輯思維能力，進而達到提升數(shù)學素養(yǎng)的最終目的。

參考文獻

[1] 李曉艷.以數(shù)列為例談高中數(shù)學教材中蘊含的數(shù)學思想 [J].中學數(shù)學教學參考，2018（21）：36-37.

[2] 王賽男.淺談高中數(shù)學等比數(shù)列和等差數(shù)列學習方法[J].中外企業(yè)家，2018（15）：112.