巧設學習材料觸發學生的數學思維

陳芳

【摘 要】小學數學是整個義務教育階段重要的基礎課程。新的《數學課程標準》要求，小學數學課程應使學生掌握必備的基礎知識和基本技能，培養學生的抽象思維和推理能力以及創新意識。文章以《植樹問題》的教學設計為例，就如何巧設學習材料觸發學生的數學思維進行探討，希望可以為小學數學的教學提供一些實質性的幫助。

【關鍵詞】小學數學;學習材料;數學思維;教學設計

“植樹問題”是人教版新課程標準教材五年級上冊“數學廣角”的內容，通過現實中常見的實際問題，借助線段圖等手段，讓學生從中發現規律，抽取出數學模型，從而解決實際問題。在這個教學過程中，教師提供的學習材料，直接影響著學生思維發展的方向和程度。

下面筆者就以《植樹問題》為例，談談在教學實踐中，教師如何創設學習材料，抓住教學的有效時機，達到材料利用效果的最大化，取得最佳的教學效果，促進學生的數學思維發展。

一、引發思維沖突，滲透化歸思想

數學思想的滲透應該建立在學生原有思維框架的基礎上，利用新舊知識的思維方式的差異，巧妙制造思維沖突，激發學生積極探究的欲望。在《植樹問題》教學的引入環節，教師提供了以下三種信息材料：

【材料1-1】24米小路一邊植樹。一共要植多少棵樹？

出示材料后，教師問還要考慮什么，補充“每隔6米種一棵”和三種不同的植樹方案。

【材料2-1】一條馬路長1000米，每隔5米種一棵（兩端要栽），一共要植多少棵樹？

學生猜測結論（201、200），產生爭論。

【材料3-1】一條馬路長1000米，每隔5米種一棵，一共要植多少棵樹？

學生猜測結論（201、200、199），產生爭論。

根據教師提供的不同材料，學生都不約而同地想到用“平均分”的舊知來解決問題。但筆者發現3個材料對學生思維的發展還是存在差異的。

材料1-1，教師縮小了例題的數據（100米），直接從24米引入，便于學生分析問題，用平均分解決問題。同時，不規定植樹的3種情況，也給學生創造了自由發揮的空間，產生不同的結論，引發爭論。材料2-1和材料3-1從1000米引入，讓學生猜測結論的同時，自然引入了要把數據縮小進行研究的理念。

這個階段材料的設計，應體現出以下三點：一是能讓學生借助舊知“平均分”來解決問題。二是能制造思維沖突。不規定具體的植樹情況，讓學生在利用舊知解決問題時引發爭論，打開學生整堂課學習的求知欲和學習興趣，提高課堂效率。三是能自然滲透化歸思想。把數據合理擴大，學生的猜測就更符合實際。

二、感知有序思維，體驗對應思想

培養學生的有序思維，教師必須在課堂中注重滲透。教師在教學過程中要用好學生的材料，引導學生有序地看、有序地想、有序地說、有序地做，這樣學生思路才能清晰，體驗到一一對應的思想，把數學知識轉化為受益終身的數學思想方法。《植樹問題》一課的探究環節，教師可讓學生自主表征題意，組織有序反饋，并讓學生體驗一一對應的數學思想。

【材料1-2】用一條線段表示24米，請學生自主表征。然后，教師選取3種不同情況的表征材料進行反饋，并在黑板上示范貼出3種情況，用箭頭標注出“棵數和間隔數”，最后，讓學生尋找3種表征的相同點。

【材料2-2】由材料2-1改小數據，用一條線段表示20米，學生自主表征兩端都栽這1種情況。教師選取一個表征材料進行反饋，并在黑板上示范貼出1種情況，用箭頭標注出“棵數和間隔數”。

【材料3-3】由材料3-1改小數據，用一條線段表示20米，學生自主表征。教師選擇3種不同情況（兩端都栽;只栽一端;兩端都不栽）的表征材料，進行反饋后，顯示表格讓學生討論這三種情況分別有什么相同之處和不同之處。

教師選取學生表征的不同材料，展開第一次探究活動，學生都能畫出類似的線段圖，并從圖中得出結論。教師利用學生表征材料，從“兩端都栽→只栽一端→兩端都不栽”逐層有序反饋。學生通過有序地看、有序地想、有序地說，初步體驗一一對應的數學思想，為后面的實踐活動做好鋪墊。

通過比較，筆者發現3個材料對學生思維的發展既有聯系又有差異。材料1-2和材料3-2都讓學生在觀察表征后，說一說三種情況的相同之處，對學生思維的發展有很大的幫助，有利于學生總結出植樹問題的規律。材料2-2是從“兩端都栽”這一情況示范，讓學生體驗。但是被教師牽著走的痕跡較明顯，部分學生的思維受到了一定的限制。

這階段材料的選擇，應體現出以下三點：一是要讓學生用畫圖策略創生學習材料，經歷解決問題的過程。二是教師要合理選擇學生的表征材料，并有序組織學生交流，為學生提供多元表達的機會。三是要借助表征材料讓學生初步體驗一一對應的思想，把間隔數和栽樹棵數一一對應起來，滲透對應的數學思想。

三、觸發推理思維，感悟數形結合

推理思維是數學學習最基本的思維方式之一。當學生對植樹問題的規律有了初步感知，就需要觸發學生的推理思維，讓他們充分感悟數形結合的數學思想，建立植樹問題的數學模型。《植樹問題》第二個探究環節，教師創設的學習材料，關乎能否更好地觸發學生的推理思維以及取得最大化的教學效果。

【材料1-3】

（1）我想每隔（? ）米種一棵，我先把線段平均分成（? ）段。

（2）畫出三種設計方案。（兩端都種;只種一端;兩端都不種）

（3）列表格統計。

教師創設研究材料讓學生自主探究，然后隨機抽取學生提問：觀察表格，你有什么發現？

生1：兩端都種，棵數=段數+1。

生2：只種一端，段數=棵數。

生3：兩端都不種，棵數=段數-1。

小結：段數與棵數密切相關，知道段數可以知道棵數。

【材料2-3】

全長（? ）米的小路一邊植樹（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？（生自己畫圖）

師：你有什么發現？

生：棵數=段數+1。

教師再出示只栽一端、兩端不栽兩種情況，分別用第一種方法解決。

【材料3-3】我會研究

間隔數與棵數之間有什么關系？借助圖自己研究（數一數也可以，圈一圈也可以）。

總長25米，線段不夠了怎么辦？（多出來的線段可以在后面補上去）

一棵樹與間隔之間有什么關系？圈一圈。

找到關系：間隔+1=棵數

用同樣的方法研究另外兩種情況。

教師通過創設三個材料引導學生運用邏輯思維來解決問題，并尋找植樹問題的規律，建立數學模型。

材料1-3，教師把三種情況都事先預設好，每位學生通過畫圖進行探究。但每位學生只研究了長度為24米的間隔數的情況，實踐的材料還不夠豐富。隨后，教師把學生的數據填入匯總表，讓學生觀察表格，發現規律。雖然上面有畫圖的步驟，但是匯總到表格后去發現規律時，還是數形分離的。而且，三種情況交雜在一起，容易混淆。

材料2-3，先研究兩端要栽這一種情況，得出“棵數=間隔數+1”。雖然這一種情況的探究過程比較清楚，但是后面仍舊單獨介紹“只栽一端”和“兩端都不栽”的情況。此過程過于分散，知識鏈容易斷開，課堂采用一問一答式的形式，學生被動接受規律。

材料3-3，教師在表格材料前，加入了提示語“間隔數與棵數之間有什么關系？借助圖自己研究（數一數也可以，圈一圈也可以）”，既讓學生有明確的研究目標，又為學生提供了研究的策略（數一數、圈一圈），使學生的學習更有方向。更為巧妙的是，在提供表格材料的第一行，有線段圖加以支撐。既給學生學習輔以臺階，在總長20米栽樹時可以直接數一數，又讓學生繼續研究總長為25米、30米、35米的情況，可以繼續沿著原有的線段圖畫一畫。在畫的同時，還可以進一步強化“一個間隔數、一棵樹”一一對應的關系體驗，得出“間隔數+1=棵數”這一規律。隨后，教師讓學生用同樣的方法研究另外兩種情況，得出“一端不栽：間隔數=棵數”“兩端都不栽：間隔數-1=棵數”的規律。

在教學實踐中，教師對學習材料的運用異同，直接影響著課堂教學的效果。因此，在教學實踐中，教師對課堂教學中學習材料的創設非常重要。數學教師應不斷地探索、研究有效學習材料創設，讓學生在課堂中獲得知識，促進其思維的發展。