數形結合，讓創新思維融入課堂

范琰

摘要：創新是一個民族的靈魂，是一個國家興旺發達的不竭動力，培養小學生創新思想是小學數學教學的重點。《數學新課程標準》明確提出：人才培養是當前教育的緊迫任務，也是時代賦予教師的歷史使命，尤其是數學課程，更要注重培養學生的發散思維和創造能力。數形結合作為發散學生思維的有效方法，應引起廣大數學教師的高度重視。

關鍵詞：小學數學? ?數形結合? 創新思維

進入20世紀以后，數學思維日益受到各國教育學家的重視，數學領域的學術著作也層出不窮，如美國數學家M.克萊因的《古今數學思想》，日本數學家米山國藏的《數學的精神、思想和方法》?？傮w來看，這些著作都詳細地論述了現代數學的思想方法，但是它們的出發點是基于整個現代數學體系，很少從細微處著手，導致對小學數學教學的研究略顯不足。

早在數學發展的萌芽期，數和形的結合已經體現在了人們對長度、面積等方面的測量中。宋元時期，我國古代數學家系統地引進了幾何問題代數化的方法，用代數式來描述一些幾何特征，進而把圖形中的幾何關系表達成代數式之間的代數關系。17世紀，法國數學家笛卡爾通過直角坐標系建立了數與形之間的聯系。數軸的建立使人們對數與形的統一有了跨越式的認識，從而把實數集與數軸上的點集一一對應起來，數可以視為點，點也可以視為數，點在直線上的位置可以數量化，而數的運算也可以幾何化。

華羅庚于1964年撰寫了《談談與蜂房結構有關數學問題》這一科普小冊子，書中有一首小詞：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數無形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非;切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離！”由于華羅庚在數學界的巨大影響力，“數形結合”立即得到了我國數學界的一致認同，在那時幾乎所有的數學教育刊物都出現了這個詞。尤其是在小學解決問題教學中，“數形結合”能直觀地發現數量之間的內在聯系，顯得尤為有效。心理學家通過實驗證明，大多數小學生的思維處于形象認知階段，相對于抽象事物，他們對直觀事物更感興趣。如果教師將生動、形象的圖形融入解決問題教學中，將抽象的數學知識趣味化、具體化，能夠吸引學生的注意力，調動學生思考的積極性，發展學生的創新思維。下面，筆者給自身教學實踐，談談如何在教學過程中滲透數形結合。

一、巧用數形結合理解題意，激發創新意識

數學作為一門研究空間形式和數量關系的學科，“數”和“形”是相互映襯的。數形結合其實就是將“數”和“形”結合起來，將復雜抽象的問題轉化為簡單具體的問題。大量科學實驗證明，相對于抽象事物，人們的大腦對“形”有更為敏銳的直覺，這種感覺與生俱來。尤其是剛入學的一、二年級學生，這種直覺更加敏銳，他們對文字的理解相對困難，但善用畫圖的方法表達自己的感受。因此，在解決問題教學中，教師應根據學生的認知特點，引導學生借助圖形直觀地理解信息和問題，建立“數”和“形”的聯系，從而發散思維，培養學生的創新思維。

如在教學“求比一個數多（少）幾的數的實際問題”時，筆者利用數形結合，將文字信息與幾何圖形有機結合起來，學生通過圖形建立了條件和問題之間的聯系，為下一步的解答奠定了基礎。如有這樣一道例題：“已知山羊上午種了26朵花，下午比上午多種了16朵，問山羊一天種了多少朵花？”這個問題對于二年級學生來說有一定的難度，大多數學生理解起來比較困難。此時，筆者啟發學生用畫圖來理解題意，分析問題，從而幫助學生在“數”與“形”之間架起一座橋梁。學生們通過獨立思考、探索交流，用不同的圖形表述了他們的思考過程（如圖1所示），產生了思維的碰撞與共鳴，從而使學生在數學學習中獲得發展。

這里的“形”很好地輔助了“數”的形成過程，激發了學生的探究興趣，不僅培養了學生用數形結合思考和解決問題的意識，也激發了學生的創新思維，為他們后續更深入地學習數與形的轉化奠定了基礎。

二、妙用數形結合探索策略，培養創新思維

數學是思維翱翔的翅膀，發散思維是學生思維創造力的具體表現，也是小學數學教師教學的重要目標。鍛煉學生的發散思維，不能只靠“填鴨式”的傳統教學方法，教師應該結合多種教學方法，在潛移默化中提升學生的創新思維，而數形結合是鍛煉學生發散思維的一種有效方法。

實踐表明，數形結合只有和數學教學過程進行深度結合，才能最大限度地激發學生的創新思維。筆者認為，數形結合應貫穿于小學數學教學活動的始終，教師應引導學生借助直觀圖、線段圖等方法，把復雜的數學問題直觀化，鼓勵學生從不同的角度探究數量關系，從而在參與學習的過程中逐步形成創新思維。

以“雞兔同籠”問題為例，筆者首先向學生展示問題：“已知籠子里有若干只雞和兔子。從上面看，共有8個頭;從下面看，共有26只腳。請問兔子和雞各有幾只？”在解答過程中，筆者啟發和鼓勵學生運用圖形來轉化上述問題。這樣一來，學生的思維向深層發散，并積極參與到解答活動中，學生們娓娓道出了不同的解題策略。

策略一：有8個頭就有8只動物，假設全是雞，每只雞有兩只腳，這樣就有16只腳，將多余的10只腳給部分雞添上，變成了兔子，得到有5只兔子和3只雞（如圖2所示）。

策略二：先畫8只兔，每只兔有4只腳，這樣就有32只腳，將多余的6只腳去掉，同樣得到有5只兔子和3只雞（如圖3所示）。

數形結合思想主要是抓住了數與形之間的聯系，借助直觀形象的模型理解抽象的數量關系，有效培養了學生的創新意識。

又如在教學“打折與策略”時，筆者出示以下問題：“圣誕節期間，張老師準備買一臺800元的微波爐，李老師準備買一臺300元的豆漿機。商場此時正好進行折扣促銷活動：對于一次性消費500元以上的，500元以上的部分有9折優惠。于是，張老師和李老師合在一起購買了各自需要的東西，請問兩位老師一共節約了多少元錢？”學生們在積極思考之后，踴躍發言，并且講解了自己的解答方法。

策略一：先求出分開購買所需要的錢，500+（800-500）×90%+300=1070（元）;再求出合著買所需要的錢：500+（800+300-500）×90%=1040（元）;最后省的錢數是1070-1040=30（元）。

策略二：合著買與分開買的區別在于：少花了300元的（1-90%），即300×（1-90%）=30（元）。部分學生不能理解策略二的求法，所以筆者適時地讓學生用畫圖的方法分別表示兩位教師分開買和合著買（如圖4所示）。

通過圖形的轉化，學生建立了直觀的數量關系認識，省錢的部分其實就在于超過500元部分的10%。通過以上教學，學生利用線段圖進行數與形的轉化，從復雜的數量關系中巧妙地解決了問題，啟迪了思維。這種數形結合解決問題的過程既可以激發學生的學習興趣，又可以鍛煉學生的發散思維。

三、善用數形結合拓寬思路，提升創新能力

數學家華羅庚曾說過：“新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要?！睌祵W學習并非只是簡單的知識累加過程，其本質在于不斷發掘和探究新知識。數形結合就是這樣一種方法，它可以幫助學生從全新的角度解決問題，培養學生的探究精神。尤其是在解決較為復雜的應用題時，恰當地借助“形”，有助于學生抓住數與量的本質，培養學生思維的靈活性。因此，在教學中，教師應引導學生將數形結合思想付諸實踐，以數的簡潔研究形，以形的直觀表達數，促使學生的形象思維與抽象思維協同發展。

如在解答“歸一問題”的過程中，筆者特意設計了這樣一道題目：“已知買3支鋼筆需要18元，那么買9支鋼筆需要多少元錢？”在解答過程中，筆者要求學生用“□”代表一支鋼筆，通過圖形展示整個題目的意思，以了解學生對題目的理解程度。大部分學生所畫圖形如圖5所示：

學生先計算出每支鋼筆的價格：18÷3=6（元），再計算出9支鋼筆的總價格：6×9=54（元）。還有一些學生聯想到“倍”的相關知識，于是就有了圖6所示的表示方法：

學生先算出9支鋼筆是3支鋼筆的3倍，所以9支鋼筆的價錢是3支鋼筆價錢的3倍，即18×3=54（元）。學生在已有知識經驗的基礎上，借助圖形的直觀性，理解了類似的“歸一問題”，并有了兩條基本的思考路徑。通過這樣的解題方法不僅實現了知識與方法之間的縱橫聯系，還給學生提供了一個廣闊的思維空間，增強了學生的創新思維。

又如在教學“長方形面積的應用”時，有這樣一道練習題：“一塊長400米、寬100米的長方形田地，如果長不變，寬增加50米，它的面積增加多少公頃？”如果按照常規方法，學生需要先算出原來的面積是400×100=40000（平方米）=4公頃，再算出現在的面積是400×（100+50）=60000（平方米）=6公頃，所以增加的面積是6-4=2（公頃）。此時，筆者再引導學生結合“形”畫出圖形進行深層次思考（如圖7所示）：

學生觀察圖形，驚喜地發現增加的面積其實就是陰影部分長方形的面積，即400×50=20000（平方米）=2公頃。數形結合能夠提高學生解決問題的效率，讓學生多角度思考問題，真正成為知識的發現者和探究者。

總而言之，數形結合作為培養學生發散思維和創新思維的重要方式，在整個小學數學教學活動中有著突出地位。教師應深入鉆研教材，在教學過程中滲透數形結合，從而全面提升學生的數學核心素養。

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（作者單位：浙江省玉環市楚門中心小學）