應用數形結合思想指導數學解題

楊渭革

[摘? ?要]高中數學題型越來越抽象，學生在解題過程中分析題干信息不全面導致問題頻出，而應用數形結合思想，有助于學生將抽象問題直觀化，從而有效解決問題.教師可從繪制圖形、構造圖形、轉化圖形和觀察圖形四個方面引導學生應用數形結合思想解決數學問題.

[關鍵詞]數形結合思想;數學解題;高中數學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）08-0035-02

“數”和“形”是數學研究的兩個主要方面，這兩個方面相輔相成，通過彼此之間的轉換和建構，以“形”代“數”，則可以使原本抽象的數學等式、題干立意在圖形的表示中一目了然，尋找到數量關系，進而有效解決問題.數形結合對學生解題能力和解題效率的提升都有很大的幫助.因此，筆者從以下四個方面就如何應用數形結合思想指導學生解決問題展開論述.

一、繪制圖形，化靜為動

高中數學習題中，常有求值域、取值范圍等題型，尤其在處理有某種函數關系的取值范圍時，學生常存在分析不清楚題干或分析問題不全面等問題.筆者認為，在處理這些問題時，應通過建立坐標系，化靜態為動態，在變化中求解問題.這樣的方式既便捷又全面.

例如，在求解函數中未知項的取值范圍時，如有向線段PQ，P的坐標為（-1，1），Q的坐標為（2，2），已知一條直線l：x+my+m=0與有向線段PQ的延長線相交，試求l中m的取值范圍.筆者在指導學生解決此題時，首先做的就是引導學生全面分析題意，如抓住“有向”等關鍵字眼，這個是解決本題的關鍵點.之后便引導學生采用數形結合的方式來解決問題.第一步就是將l的表達式換為點斜式，即y+1=-1/m·x，則可得出l的斜率為-1/m，且直線l恒過定點A（0，-1），在求有向線段PQ所在直線的斜率kPQ=1/3，A與Q連線斜率為kAQ=3/2，則之后繪制坐標圖，在圖中分析，當斜率-1/m取最小值時，即直線l與PQ所在直線趨于平行時，即-1/m[>]1/3，而直線l的斜率取最大值時，則是l的斜率趨近于kAQ，即-1/m[<]3/2，在這樣一個范圍內，直線l都可以與PQ延長線相交，則1/3[<] -1/m[<]3/2.因此，通過解答，學生便得出了m的取值范圍為-3[<]m[<]-2/3.

上述教學中，通過轉換數據，繪制圖形，化靜態為動態，在動態中分析問題，使學生可以迅速理解和掌握此類題目的解題方法，并在日后遇到此類問題時能高效解決.

二、構造圖形，凸顯關鍵

在高中數學中，最值問題是學生感到最頭疼的內容，究其原因是抓不住題中的關鍵點.筆者認為，通過構造圖形，凸顯關鍵節點，是最為簡單有效的解題方法.

例如，在求最值問題時，筆者通過以下問題指導學生進行解題，如已知關系式y = cosθ-31/2/sinθ+1，求y的最小值.筆者會先引導學生尋找題干中的關鍵點，如該關系式恒過定點A（sinθ，cosθ），B（-1，31/2），這是學生可以從題干中分析出來的，而A是圓x2+y2=1上的點，B則是定點，對此可以利用已知構造圖形，通過在坐標系中表示各數據，連接BO、AO之后，再尋找它們的關系，分析判斷之后便可以得出AO=1，而通過B的坐標點得出BO=2，DO=AO=1，根據學過的三角形知識可知∠ABO=∠DBO=30°，則關系式y = cosθ-31/2/sinθ+1的最小值就為tan150°的值，即為-31/2/3，至此問題迎刃而解.

這樣的教學，使學生學會通過構造圖形尋找最小值時所對應的三角函數關系，則在解決問題時，便凸顯出了關鍵點，為學生分析難題提供了行之有效的方法.

三、轉化圖形，尋求正解

利用習題中的條件尋找某種關系，然后將其轉化為圖形，再分析圖中蘊含的條件，可以有效地提升學生的解題效率.筆者認為，在解題時，還可根據題意轉化圖形，在轉化圖形的過程中，尋求題目的正確解答.這樣的方式，可以幫助學生全面分析問題，防止遺漏.

例如，已知A集合為[x|-2≤x≤a]，B集合為[z|z=2x+3，x∈A]，C集合為[y|y=x2，x∈A]，且C屬于A，求a的取值范圍.在這種題型中，有4種情況出現，且4種情況缺一不可，雖然有時不會影響到最后取值，但在解題過程中也應注明，這樣才可以培養學生嚴謹的解題思路.如z =2x+3，在A集合范圍中是遞增函數，因此，學生可以得出B集合為[z-1≤z≤2a+3]，到這步時，學生基本是可以掌握的.而在分析C集合時，則會有多種情況出現.筆者引導學生通過繪制圖形及轉換圖形，分[-2≤a≤0]、[0≤a≤2]、[a>2]、[a≤-2]四種情況進行分析，根據C [∈] B的條件，則分析轉換圖形中發現，第一種情況，當a[∈][-2，0]時，a2 ≤ z ≤ 4，則2a+3 ≥ 4，解得a ≥1/2，則與前提條件-2 ≤ a ≤ 0相矛盾，所以第一種情況是矛盾的，則需要將其排除.同樣的，利用這種方式，分析其他三種情況，符合條件的留下，不符合的排除，最后便總結得出a的取值范圍為（-∞，-2）∪[1/2，3].

在不停地轉化圖形的過程中，則可以全面地分析出題意包含的各種情況，可以達到精準求解的目的，在解決選擇題和填空題時應用這種方式，可以有效提升解題效率.因此，筆者在指導學生進行數學解題時經常采用這種方法，培養學生的數形結合思想.

四、觀察圖形，判斷驗證

在解決完問題之后，可通過觀察解題的圖形進行判斷和驗證，來確定自我求解過程是否正確，因為在求解一些問題時，在高中數學范圍內，所求值可能是位于交點處.因此，可通過觀察解題的圖形，判斷驗證求值是否正確.

例如，在解決“根據以下三個不等式x ≥1，x-y ≤ 0，x+2y-9 ≤ 0，求出x+y的最大值”這道題時，學生通常會將不等式轉化為函數關系，然后讓其相等，建立方程，求出交點值，至此便認為可以求出x+y的最大值.筆者發現學生的這種問題后，便在指導解題時，偏向引導學生畫出線性規劃的坐標圖，標注出其中的陰影部分，然后再分析最值.筆者認為這樣更為嚴謹且不容易出錯，即y=x，y=-1/2x+9/2，然后求解最值，在求各個交點值之后，得出最大值點是（3，3），即x+y的最大值為6，便可結合圖形判斷原求值是否正確.在圖形中，可以按照分析斜率的大小關系，判斷出最大值應該出現在何處;同樣的，還可以通過圖形判斷最小值和計算最小值等問題.

通過觀察圖形這種方式，可使學生快速找到思路，判斷驗證求解過程，同時培養學生的數形結合思想.

總之，在教學中，利用數形結合思想指導學生解決數學問題，有助于學生高效解題和理解掌握知識點.高中數學相比于初中數學和小學數學更加抽象，因此教師必須在解題過程中，引導學生打破抽象的表象，利用圖形分析出它的本質內容，從而有效提升學生的解題能力.

（特約編輯 安? ?平）