例談高中數學解題中構造法的應用

劉強

【摘要】隨著我國教育事業的快速發展，傳統高中數學解題方法已經無法滿足新時代的發展需求.因此，教師應當積極為學生拓展新的解題途徑，引導學生更加高效準確地創新解題思路，從而實現數學高效課堂的構建.構造法在高中數學解題中的應用，可以有效增強學生的解題信心，讓學生的思維能力更加準確敏捷.筆者結合一些常見的問題，對高中數學解題中構造法的應用措施進行探討，提出了一些有益的參考建議.

【關鍵詞】高中數學;解題思維;構造法

高中數學是我國基礎教育階段的重要學科，其理論知識特點具有嚴謹的邏輯性以及高度抽象性.如果學生利用常規思維方式解答問題，經常出現難以正確求解的情況.常規解題方法是學生依據解答問題的已知條件，做出定向結論的思考過程，而隨著高中數學課程的深入，常規思考方式已經無法應對題目難度增長的變化.因此，教師應當及時指導學生轉變解題思維，通過應用問題構造法來降低解題難度，利用直觀的圖形使抽象的問題形象化，進而有效提高學生對問題的解答效率.

一、依據已知條件構造相關函數

應用構造法解答問題是學生依據問題中存在的已知結論和已知條件，通過問題類型特有的性質來構造對應已知條件的數學模型，讓問題的表現形式更加直觀，從而有效降低思考和解答的難度.可見，高中生應用構造法解答難題，可以清晰地梳理出問題的解題思路.比如，在學習“解不等式”的知識內容時，學生通常都會運用傳統的解題思維直接進行解答問題，但采用直接法解答不等式會讓整個解題過程非常復雜煩瑣，解答過程也極易出現失誤.所以，大多數學生在解題時都會因為復雜的過程，表現得非常煩躁從而導致解題錯誤概率激增.而教師應用構造法來講解問題，學生解題的正確概率就會呈現明顯的上升趨勢.主要是因為，“不等式”類型問題都是以函數單調性為基礎來建立.所以，學生解題時可以直接除去不等式的成立，依據已知條件構造函數來證明函數的單調性，然后在通過圖形論證結論準確性.在解“不等式”的過程中，應用構造法不僅具有較強的靈活性和技巧性，還能使解題過程簡單明了.但學生要熟練掌握構造對應的函數也需要付出一定的努力，因為不等式右邊在正常情況下應當為1，必須最簡便才能通過圖形來判斷不等式的成立.

比如，已知x，y，z均屬于區間（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1，這是三個變元不等式證明題，如果采用直接證明法就會導致解到一半無法繼續，如果采取構造法解決問題.證明：先構造一個函數：f（x）=（y-z-1）x+（yz-y-z+1）.然后針對這一函數進行分析，給出以下證明過程：

因為y，z∈（0，1），

所以f（0）=yz-y-z+1=（1-y）（1-z）>0恒成立，

f（1）=（y+z-1）+（yz-y-z+1）=yz>0也恒成立，

而f（x）是單調遞增一次函數，它所得的圖像就是一條直線.所以f（x）>0恒成立，不等式恒成立，得出結論x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

二、依據等量關系構造方程式

學生在解答相對復雜的數學題目時，自變量與因變量的理論概念是學生一定會用到的，所以，學生在解答過程中首先要設計解題思路的整體框架.不論解答的問題是二元二次元方程還是一元二次方程，都以解決問題的未知量為目的.因此，當學生在解答關于定量關系的題目時，可以依據等量關系來構造方程式解答題目.比如，在學生在學習“一元二次方程”的知識內容時，題目的內容為：超市內一瓶酒的進價為50元，如果超市依據50元的單價賣出400瓶酒，每瓶酒漲價1元，酒水的銷售量就會減少10瓶，問酒的價格為多少利潤最大？當學生遇到這種類型的題目時，如果只以傳統的解題思維方式很難解答.所以，需要商品需要借助變量，在解題時將利潤設置為W，增長的金額為x元，根據題目描述可以得到以下方程式：W=（50+x）（400-10x）-50（400-10x）=x（400-10x）=-10x2+400x.然后對方程的對稱軸求解，進而得出利潤最大值時的取值x.

三、按照題目要求構造平面圖形

高中生在解答關于代數的問題時，普遍習慣從代數的角度來思考問題，造成解題過程非常復雜，局限性較大，很難發現解答問題的突破口.因此，學生要轉變解題思維，通過數形結合的方法來構建數學模型，從而有效降低解題的難度.在實施數形結合的方法時，學生要在思維構造平面圖形，依據題目構建對應的數學模型，然后在圖形上進行解題，這樣就會讓問題直觀易懂，可以比較容易地將解題思路梳理清晰，使學生在解答問題的過程中可以快速發現問題的突破點，從而真正提高解答問題的效率.比如，學生在解答關于不等式的相關題目時，學生既可以應用構造函數的方法降低難度，也可以通過構造圖形的方法提高問題的直觀性，提高解題的效率.教師在講述這類題目的解題方法過程時，不易講解清楚，但學生在應用過程中卻可以非常直觀的標明不等式的正確性，并快速解答出問題的正確答案.在解答問題過程中學生可以構造出三邊相等，長度為1的等邊三角形△ABC，D，E，F分別為AB，BC，AC邊上的3點，設BD長度為x，CE長度為y，CE長度為z，再利用三角形面積公式S=底×高÷2得到各個三角形的面積求得各三角形的形狀，然后兩兩相加，比較出不等式的答案.由此可見，學生通過應用構造法可以有效打破常規的解題方式，為學生的解題思路拓展出嶄新的有效途徑，更便于學生精巧、便捷地解答，以達訓練解題能力的目的.

四、結 語

綜上所述，高中階段的數學題目的解答難度逐漸加大，學生在傳統的解題思維模式下，很難高效準確地計算出正確答案.因此，教師應當指導學生掌握新的解題思路，讓學生懂得從多個角度去思考問題，通過思維能力的創新，有效降低解題的難度，在解題中依據已知條件與結論特性，構造數學結構形式，利用已知條件構造相關函數，根據等量關系構造方程式的應用來解決抽象問題，使各知識體系相互穿插借鑒，從而有效提高問題的解答效率.