高中數學解題中運用構造法的措施

楊宏釗

【摘要】隨著我國新基礎課程改革的深入發展，相關主管教育機構對高中數學解題方法提出了更高的標準和要求，怎樣讓學生懂得從另一個角度來思考并解決數學問題，是高中數學教學當前亟待解決的問題.其中構造法的應用可以讓學生思維更加敏捷，幫助學生快速解答難題.因此，本文將圍繞怎樣在高中數學解題中巧妙運用構造法進行分析，并結合相應案例提出相應的解題思路.

【關鍵詞】構造法;高中數學;解題方法

數學具有高度的抽象性，是我國義務教育重要的基礎學科之一，高中數學隨著學習的深入，解題難度也逐漸增加，解題難是當前高中生面臨的重要問題.因此，高中生必須轉變解題思維，利用問題的共性來拓展問題的解答思路，對此，問題構造法的應用可以列出相應的函數方程來降低解題的難度，使抽象復雜的問題簡單形象化，讓學生通過對問題的分析觀察來提高解題效率.

一、依據已知條件構造相關函數

所謂“構造法”，概括來講就是以題目中給出的條件等作為基礎，并在此基礎上根據它自身所具有的特性進行數學模型的構建.舉例來講，當教師講解到“解不等式”時，學生往往在解題時會采取直接法，但是這種方法有一個很大的弊端，即解題過程不夠簡便，進而提升了解題的錯誤率.“構造法”的誕生很好地解決了這一問題，教師可以在教學過程中引入此種方法，借助這種方法，學生解題的正確率明顯得到提升.通常情況下，“不等式”問題是以單調函數的形式出現的，所以在解答此類問題時，不但可以通過直接法證明不等式成立，還可以通過對它的單調性進行證明來實現，隨后借助函數圖形對結論的正確性進行證明.由此可見，構造法能夠很好地解決“不等式”問題，并且具有解題步驟簡便、運用靈活等特點，但是這種方法也存在一定的缺陷，即在函數構造方面難度較高，要使用這種方法解題，不等式的右側必須足夠簡單，通常要求是1，只有符合此項條件的不等式，才能夠借助函數圖形對不等式是否成立進行判定.

比如，已知x，y，z均屬于區間（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+x（1-x）<1這是三個變元不等式證明題，如果采用直接證明法就會導致解到一半無法繼續，如果采取構造法解決問題.證明：先構造一個函數：f（x）=（y+z-1）x+（yz-y-z+1）.然后針對這一函數進行分析，給出以下證明過程：因為z∈（0，1），所以f（0）=yz-y-z+1>0恒成立，f（1）=（y+z-1）+（yz-y-z+1）>0也恒成立，而f（x）是單調遞增一次函數，它所得的圖像就是一條直線.所以f（x）>0恒成立，不等式恒成立，得出結論x（1-y）+y（1-z）+x（1-x）<1.

二、根據等量關系構造方程式

當題型較為復雜時，通常會使用變量，所以可以借助思路框架設計來解決問題.在數學問題中，“方程式”的最終目的就是計算出其中的未知量，因此，在解答這類問題時，可以借助構造方程來完成.

舉例來講，“一元二次方程”中的典型問題：商場中某件商品的進貨價格是50元，如果以進價進行銷售，銷售量可以達到400臺，同時，銷售價格每提高1元，銷售數量也會隨之下降10臺，求解銷售價格定為多少可以使獲得最高利潤？解決此類問題最為簡單直接的方法就是設置變量.所以，將利潤設置為W，增長的金額為x元，根據題目描述可以得到以下方程式：

W=（50+x）（400-10x）-50（400-10x）=x（400-10x）=-10x2+400x.隨后求解方程的對稱軸，最終得到利潤最大值取值x.

三、按照題目要求構造平面圖形

就通常而言，學生想要在解題過程中尋找到突破口，僅僅從代數這一方面，考慮是很不全面的，因為用代數方法解題一般解題步驟煩瑣復雜，非常容易出現計算錯誤.學生可以運用“數形結合”的方法來解決比較難的題目，“數形結合”也是數學解題方法當中非常重要的一個方法.數形結合就是指學生在解題過程中將代數與平面或立體圖形結合運用，構建數學模型來解決數學問題.這種解題方法不僅直觀快捷，而且學生在解題過程中不會思路混亂.

例如，在解決上述不等式題目時，既可以運用函數方法也可以運用構建平面圖形的方法解決.這種解題方法雖然用文字難以表述，但是在解決不等式問題時卻更加直觀正確，因此，有效性也在這種方法上尤為突出.在解這道題時，首先構造一個三邊相等長度都為1的三角形△ABC，D，E，F分別為AB，BC，AC邊上的3點，設BD長度為x，CE長度為y，CE長度為z，再利用三角形面積公式S=底乘高除以二得到各個三角形的面積，最后兩兩相加做出比較，即得出不等式的結果.構造法突破了一般數學解題的思路，為學生提供了一種更加快捷簡便的解題方法，在考場上不易慌張出錯，提高了學生的解題能力.

綜上所述，高中數學解題中運用構造法的措施，通過分析可以看出，高中數學隨著學習的深入，解答題目的難度越來越大，學生經常面臨無從思考的情況.因此，教師應當加強構造法解題方法的教學，培養學生的解題的構造意識，讓學生可以從多個角度去思考問題，通過對問題解答形式的切換，從而有效降低解題的難度，應用構造法的解題思路，不僅為高中生數學學生解題提供了很大便利，并且在解題過程中學生和創新意識與探究意識也得到了充分的開發.

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