高中數(shù)學(xué)中的直接證明與間接證明探析

摘?要：對高中數(shù)學(xué)直接證明和間接證明進(jìn)行研究的目的在于提高教師教學(xué)的效率，提升學(xué)生邏輯思維能力。所以，本文從綜合法、分析法、反證法等方法的合理運用，探討了高中數(shù)學(xué)直接證明和間接證明的有關(guān)問題，以供參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);直接證明;間接證明

眾所周知，在高中數(shù)學(xué)推理和證明之中存在著直接證明和間接證明相關(guān)的問題，伴隨高考改革的持續(xù)深入，新課程修訂工作的不斷加快，進(jìn)而實施了全新的考試大綱。在高中數(shù)學(xué)這一方面，刪了部分幾何證明模塊，設(shè)置了數(shù)學(xué)文化，對高中學(xué)生而言區(qū)別不大，可是證明問題仍舊是高考的難點與重點。所以，對高中數(shù)學(xué)中的直接和間接證明問題進(jìn)行研究是很有必要的。

一、 綜合方法的運用

綜合法是直接證明中的一種證明方式，其是從已知條件出發(fā)，以已知的定義與定理作為必要依據(jù)，進(jìn)而一步步推導(dǎo)，待推出需要證明出的結(jié)論為止。該證明方式就是綜合方法。已經(jīng)知道條件……結(jié)論。通常命題的結(jié)論都是存在非常明確的證明方向的，比較適合使用綜合方法。

比如，已知PA⊥矩形ABCD所處平面上，而M與N分別為AB、PC中點，試證明：MN∥平面PAD。

解析：需要取PD中點E，進(jìn)而連接AE與NE。因為，N和E分別是PC、PD的中點，所以，EN是△PCD中位線，所以，EN 瘙 綊 12CD，而AM則等于12AB，因為ABCD是矩形，所以，CD∥AB，同時CD=AB。所以，EN∥AM，同時EN=AM，所以，AENM是平行四邊形，而MN∥AE，且MN平面PAD，而AE平面PAD，所以，MN∥平面PAD。

二、

分析方法的運用

分析方法是直接證明方式中的一種，其是從問題的結(jié)論下手的，進(jìn)而推導(dǎo)出使得結(jié)論成立的條件，進(jìn)而上測，待使結(jié)論成立的條件與已經(jīng)知道的條件相契合，該種類型的證明方式就是分析方法。而分析方法的推導(dǎo)流程是就是：……已知條件。通常來說，包含了分式與根式的不等式，或者根據(jù)條件著手思路不顯著的命題，需要思考使用分析方法。

比如，探索數(shù)學(xué)不等式ab小于等于a+b2（a大于0，b大于0）成立與否。

分析：對這一數(shù)學(xué)命題可以使用分析方法來證明，命題的條件應(yīng)當(dāng)成立，以此就必須要證明2ab小于等于a+b，進(jìn)而將不等式變成：a+b-2ab大于等于0，深入到（a-b）2大于等于0，該不等式是成立的，因此，最終的命題也是成立的。通過命題結(jié)論，分析可以讓命題成立的條件，逐步推導(dǎo)，到結(jié)論成立條件與已知條件達(dá)成一致。在教學(xué)時，便需要細(xì)致講解，確保學(xué)生理解。

三、

綜合與分析方法合并運用

作為高中數(shù)學(xué)教師，在實際教學(xué)過程中，需要讓學(xué)生明白并非是同樣一個題目僅僅可以使用綜合方法或者分析方法，一些時候，同樣一個題目可以將這兩種方法合并運用。所以，教學(xué)過程中，教師需要讓學(xué)生了解進(jìn)行實際問題解答的過程中，可以全面的思考方法的實際運用。比如，已經(jīng)知道線段AB與CD相交于O點，△ACO≌△BDO，E、F為AB上的兩點，AE=BF，求證：CE=DF。

分析：教學(xué)這一類題目的時候，我們可以發(fā)現(xiàn)其可以采用分析方法或綜合方法處理。題目是比較簡單的，可是要想構(gòu)成一定的思維邏輯，第一步應(yīng)當(dāng)借助分析方法來尋找解題的思路，第二步就需要利用綜合方法表達(dá)出來。按照分析方法的解題思維過程，需要求證CE等于DF是成立的，則應(yīng)當(dāng)求證△EOC≌△FOD，為證明這一命題是成立的，亟需求證CO=DO，EO=FO，∠EOC=∠FOD。要想求證以上條件均是成立的，必須要分別證明△ACO≌△BDO與AO=BO，∠EOC=∠FOD。由于兩個角是對頂角，因此必然是相等的。在這之中，AO=BO，那么可按照已知條件AE=BF，同時△ACO≌△BDO就可以證明，這個時候以上條件都可以得證，△EOC≌△FOD成立，那么問題的命題即可得證。據(jù)此，借助綜合方法將這一解題過程充分表達(dá)出來，其具體步驟就是：因為，△ACO≌△BDO，同時AE=BF，所以可以知道CO=DO，EO=FO，因為，這兩個對頂角∠EOC=∠FOD，所以可以得到：△EOC≌△FOD，所以證明CE=DF是成立的。

四、

間接證明之反正方法的運用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們常說的間接證明實際上是相對于直接證明而言的，一般采用的方式就是反正方法。這種方式就是首先通過假定一個與原來命題相反的命題，接著去證明這個假定的命題，最終可以得到矛盾的結(jié)果。這個時候證明假定命題不為真，也就是可以反向證明原本命題是成立的。通常條件下，很多數(shù)學(xué)證明問題均能夠使用直接證明的方式進(jìn)行求證，倘若部分證明問題里面出現(xiàn)了至少、唯一性或包含否定詞的命題，往往需要借助反正方法進(jìn)行求證。

比如：設(shè)a和b均為實數(shù)，是證明方程x3+ax+b=0最少有一個實根。對于這個問題，就可以假定命題：1. 方程x3+ax+b=0最多存在一個實根;2. 方程x3+ax+b=0最多存在兩個實根;3. 方程x3+ax+b=0不存在實根;4.

方程x3+ax+b=0剛好存在兩個實根。以上問題其實非常簡單，這道數(shù)學(xué)問題考查的是學(xué)生對于反證方法的運用，所以，必須要思考到的是最少這一詞匯的反面，因此，需要把最少存在一個實根否定成不存在實根，這樣一來，就可以快速得到正確的答案了。所以，這道問題的正確答案就是第三個選項。

五、 結(jié)束語

總而言之，作為高中數(shù)學(xué)教師，在實際開展直接證明與間接證明相關(guān)知識點教學(xué)的過程中，應(yīng)當(dāng)依據(jù)題目的實際情況采取最合理的方式。教師教學(xué)時，除了需要讓學(xué)生掌握好直接證明與間接證明解答問題的思維方法與特征以外，還應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生對問題進(jìn)行全面分析和對比。進(jìn)而找到各種方法的優(yōu)勢和劣勢，進(jìn)而挑選出最合適的方式進(jìn)行靈活運用，確保有關(guān)證明問題可以得到充分解決。

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作者簡介：

賈文寧，甘肅省定西市，渭源縣第三高級中學(xué)。