高中數學有意義教學探究

蔡振樹

【摘要】數學是抽象的思維學科，在數學學習中，它需要學生的智力參與和獨立思考，別人是無法替代的，只有當學生通過自己的思考建立起自己的數學理解力時才能真正學好數學，才能使人產生有活力的思想，高中數學有意義教學更需體現以學生為本.本文結合利用導數研究函數單調性案例來探究高中數學的有意義教學.

【關鍵詞】高中數學;有意義教學;導數;函數;單調性

【基金項目】本文系教育部福建師大基礎教育課程研究中心2018年開放課題“立足核心素養培育的差異數學研究”（批準號：KC—2018036）研究成果.

縱觀近幾年的高考試題，利用導數研究函數的單調性及相關問題仍是高考的熱點和重點.雖然高考試題新穎性、靈活性越來越強，但眾所皆知，利用導數研究函數的單調性與函數最值極值的研究緊密聯系，它實現了函數與不等式、方程等多個知識點的交匯，涉及多種數學思想方法，如，數形結合、分類討論、等價轉化等.下面就三個方面談談利用導數研究函數單調性的有意義教學.

一、利用導數研究函數的單調區間

我們常常會遇到一種情況，解決問題到某一步之后，不能再以統一的方法，統一的式子進行下去，這是被研究的對象包含了多種情況.此時，需要關注學生的學習差異，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合歸納解，這就是我們熟悉的分類討論.分類討論這一數學思想方法的考查仍是高考的重點和熱點，而分類討論時最難做到的就是標準統一，不重不漏，明確何時該分類.這里我們以一道求含參函數的單調區間為案例進行研究.

案例1已知f（x）=12x2-ax+（a-1）lnx（a>1），求f（x）的單調區間.

案例分析到f′（x）=（x-1）（x-a+1）x>0（x>0）時問題真正暴露出來了，這時f′（x）=0兩根x1=1，x2=a-1的大小不明確了，有多種情況，從而引發分類討論.這時教師如能適時地拋出問題“何時需要分類討論”，一定是可以觸動學生的，這時的研究就會更有意義了.淺顯的案例其實蘊含著深刻的原理.

打鐵趁熱，在學生討論情緒熱烈時拋出另一個問題，去掉案例中a>1這個條件，結論又當如何？有了前面的探究有助于提高經驗，學生很自然地會去關注兩根與0以及兩根本身的大小關系，從而誘發了x2與0，1大小的比較.真正做到分類標準統一，不重不漏.

通過本案例的分析和研究，一者可以樹立學生分類討論的信心，突破難點，二者鼓勵學生多思考，大膽對案例進行有建設性的改造，培養創新能力.

二、利用導數探究參數的取值范圍

探究參數取值范圍在高考考查中是很常見的，這類問題的探究很考驗學生的數學功底，是發展學生素養的重要載體，體現學習差異，讓不同學習水平層次的學生得到不同的發展，同時注意解決問題的方法呈現多樣性.對這類問題的研究，除了有助于學生解題能力的提高，還能提高學生科學分析，善于總結，勇于探究解決問題最優方法的能力.

案例2已知a∈R，函數f（x）=（-x2+ax）e-x（x∈R），若函數f（x）在（-1，1）內單調遞減，求函數f（x）的取值范圍.

案例分析過程中，問題轉化成f′（x）=e-x（x2-ax-2x+a）≤0對任意x∈（-1，1）恒成立是比較順利的，可見學生在平時學習中能充分注意到函數在某一區間單調遞減是f′（x）≤0，而非f′（x）<0這一易錯點，并且學生能進一步將上面的恒成立問題轉化為x2-（a+2）x+a≤0對任意x∈（-1，1）恒成立亦是可貴的.作為高考的復習課，學生已經通過之前的學習，掌握了相當的分析、解決問題的能力了，所以此時課堂更應留給學生，放手讓他們解決問題.

課堂實際體現，本案例大部分學生基于x∈（-1，1）這一條件，推出x-1<0，傾向于應用方法一：參變分離，轉化成a≤x2-2xx-1，x∈（-1，1）的恒成立問題.往下的分析選擇構造新函數，再次利用導數解決問題的居多，充分說明導數在解決函數問題中的重要地位，但也有少數人選擇令t=x-1，結合換元法求解，這時又產生了一個新問題，對新元t的取值范圍必須關注，關注細節處理，使得我們的解決方案有效是最實在的，嚴謹治學態度的形成對高考當然是重要的，對一個人生活態度的影響也是不可估量的.

從本案例的研究過程，可見學生的大膽質疑，善于發現問題，善于進行總結.

三、利用導數研究函數的最值和極值問題

案例3已知函數f（x）=x-alnx，（1）略;（2）求函數f（x）的極值;（3）當a>0時，求函數f（x）在[1，e]的最小值.

案例分析：第（2）問f′（x）=x-ax=0（x>0）的根x=a有否在定義域內的問題，從而引發了討論.在這里要及時提醒學生注意a≤0時，f′（x）>0恒成立，函數無極值這種情況不要遺漏.而a>0時，單調區間，極值通過列表可以一目了然.第（3）問中仍需分a≤0，a>0兩種情況進行討論，其中在a>0的這一情況中還需考慮a與1，e的大小關系，在這里出現了學生比較茫然，也比較不擅長的二級討論，這樣的分類討論要求較高，體現差異性大.可以通過課堂教學案例設計的層層推進.

通過選擇一些典型的案例進行探究教學，既能讓學生學會這類問題的解決，日積月累，又能讓學生體會分類討論、化歸等數學思想.以學生為主體的有意義教學，更能讓學生“創新的火花閃爍在課堂，燦爛在未來”，學生的獨到見解及時得到肯定和推廣，信心倍增.這樣的數學教學就不僅僅意在高考，對生活也是有積極意義的，這是新時代核心素養培育的有力實踐.

【參考文獻】

[1]梅華.“利用導數研究函數的單調性”教學設計及反思[J].中學課程輔導（教師教育），2018（3）：96.

[2]宋淮南.利用導數研究函數的單調性的拓展教學[J].數學學習與研究，2016（3）：73.