以“冪函數(shù)”教學(xué)為例，談初中數(shù)學(xué)的教學(xué)思路

沈裕梅

[摘? 要] 數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)而富有理性的學(xué)科，教師在組織課堂時(shí)，一定要按照科學(xué)的思路展開(kāi)分析和設(shè)計(jì). 文章以“冪函數(shù)”的教學(xué)為例，探討了初中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思路.

[關(guān)鍵詞] 情境創(chuàng)設(shè);數(shù)學(xué)教學(xué);冪函數(shù);教學(xué)設(shè)計(jì)

初中數(shù)學(xué)的教學(xué)應(yīng)該循著怎樣的思路進(jìn)行，才能更好地服務(wù)于學(xué)生的探究和認(rèn)知呢？筆者認(rèn)為，我們?cè)趯?dǎo)入環(huán)節(jié)要善于創(chuàng)設(shè)情境，同時(shí)還要注意學(xué)生探究思路的引導(dǎo)，在學(xué)生進(jìn)行探索和討論時(shí)，我們務(wù)必要讓學(xué)生真正發(fā)揮其主體地位. 下面，筆者就以“冪函數(shù)”的教學(xué)為例，探討一下初中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本設(shè)計(jì)思路.

教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境：現(xiàn)有兩組數(shù)，請(qǐng)比較它們的大小關(guān)系：（1）0.5-1.2和0.5-1.5;（2）log和log.

生：這兩個(gè)都可以建立相應(yīng)的函數(shù)模型，然后利用函數(shù)的單調(diào)性討論數(shù)據(jù)的大小，第一組對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型為y=0.5x，可得結(jié)論0.5-1.5更大;第二組對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型為y=logx，可得結(jié)論log更大.

設(shè)計(jì)思路 以上內(nèi)容主要為復(fù)習(xí)，并且讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)來(lái)分析和研究問(wèn)題的常規(guī)操作，這也為我們的新課教學(xué)奠定了基礎(chǔ).

師：現(xiàn)又有兩組數(shù)，請(qǐng)?jiān)囍容^它們的大小關(guān)系：（1）5.23-2和5.25-2;（2）（-0.72）3和（-0.75）3.

生：按照之前的思路，我們依然建立一些函數(shù)模型，第一個(gè)對(duì)應(yīng)y=x-2，第二個(gè)對(duì)應(yīng)y=x3，但是……

設(shè)計(jì)思路 這里學(xué)生的思維按照我們的預(yù)設(shè)在推進(jìn)，既然其他在形式上類似的數(shù)據(jù)比較大小可以用到函數(shù)模型，那么在這里也可以用，但是建立起來(lái)的函數(shù)卻不在已有的知識(shí)框架內(nèi)，認(rèn)知沖突由此產(chǎn)生，學(xué)生產(chǎn)生了繼續(xù)探索的愿望，冪函數(shù)的基本概念呼之欲出.

師：以上所建立的函數(shù)屬于怎樣的函數(shù)類型呢？對(duì)于A=BC，如果B是一個(gè)常數(shù)，那么A是C的什么函數(shù)，C是A的什么函數(shù)？現(xiàn)有情形是C為一個(gè)常數(shù)，那么A是C的什么函數(shù)？

生：如果B是一個(gè)常數(shù)，則A是C的指數(shù)函數(shù)，C則是A的對(duì)數(shù)函數(shù)，至于后面的內(nèi)容就不清楚了.

師：后面一類函數(shù)正是我們今天所要研究的內(nèi)容——冪函數(shù). 你能類比指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義方式，來(lái)給冪函數(shù)下一個(gè)定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖 給一個(gè)數(shù)學(xué)概念下定義是一項(xiàng)高難度的工作，但是我們?cè)谶@里完全立足于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)，讓他們從類比的方法著手實(shí)施操作，這完全在學(xué)生的能力范圍以內(nèi). 這項(xiàng)操作兼具模仿性和創(chuàng)新性，對(duì)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和探索方法大有裨益.

生：形如y=xα的函數(shù)就是冪函數(shù).

師：還有什么需要補(bǔ)充的嗎？

生：α是一個(gè)常數(shù).

師：我們?cè)诙x數(shù)學(xué)概念時(shí)，務(wù)必要做到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)轿? （隨后開(kāi)始板書定義：一般地，形如y=xα（α∈R）的函數(shù)叫作冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù) ）

例題? 請(qǐng)確定以下函數(shù)的定義域和奇偶性：（1）y=x-2;（2）y=x3;（3）y=x-;（4）y=x.

學(xué)生分析并展開(kāi)討論，然后在交流和展示中給出答案.

設(shè)計(jì)意圖 函數(shù)的定義域和奇偶性是研究函數(shù)性質(zhì)的基本思路，學(xué)生對(duì)此都有相應(yīng)的基礎(chǔ). 教學(xué)過(guò)程中，我們提出上述例題，就是幫助學(xué)生建立正確的探究方向，這也有助于學(xué)生在后續(xù)圖像和性質(zhì)的研究中簡(jiǎn)化過(guò)程.

師：前段時(shí)間，我們研究指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)時(shí)，一般采用怎樣的步驟？

生：先畫出一些具體的函數(shù)圖像，然后結(jié)合圖像的觀察和分析歸納性質(zhì).

設(shè)計(jì)思路 在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們一方面要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，另一方面也要啟發(fā)學(xué)生對(duì)探究方法進(jìn)行總結(jié). 一般來(lái)說(shuō)，知識(shí)是很容易遺忘的，但是方法卻將長(zhǎng)期地留存下來(lái). 在上述設(shè)計(jì)中，我們引導(dǎo)學(xué)生回顧以往的研究方法，其實(shí)也有助于學(xué)生進(jìn)一步了解函數(shù)知識(shí)的內(nèi)涵.

師：很好，剛才你們給出了一個(gè)正確的研究思路，下面請(qǐng)大家自主選擇幾個(gè)冪函數(shù)，并利用圖形計(jì)算器畫出圖像，研究性質(zhì).

隨后，教師即可安排學(xué)生展開(kāi)自主探索，并在時(shí)機(jī)成熟時(shí)，安排學(xué)生進(jìn)行交流匯報(bào). 考慮到學(xué)生對(duì)圖形計(jì)算器的操作不一定嫻熟，教師可以將基本步驟投影在前面，讓學(xué)生有一個(gè)參考，當(dāng)然其間也需要鼓勵(lì)學(xué)生在相互協(xié)作中探討具體的操作是否正確.

設(shè)計(jì)意圖 教師通過(guò)及時(shí)的評(píng)價(jià)來(lái)對(duì)學(xué)生進(jìn)行肯定，讓學(xué)生能夠以更加飽滿的熱情參與到下一階段的學(xué)習(xí)過(guò)程之中. 學(xué)生的活動(dòng)包括觀察、猜想、推理、驗(yàn)證等操作，我們希望學(xué)生通過(guò)這一過(guò)程得到最為深刻的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也希望學(xué)生能夠在體驗(yàn)過(guò)程中獲得切實(shí)的提升.

學(xué)生以小組為單位進(jìn)行探究，學(xué)生在探究過(guò)程中遇到了很多情況，教師要以平和的心態(tài)對(duì)待學(xué)生探索過(guò)程中出現(xiàn)的意外. 畢竟學(xué)生才剛剛接觸冪函數(shù)，各種意外或失誤都應(yīng)該在情理之中，所以教師只能適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)和啟發(fā)，絕不能代替學(xué)生進(jìn)行研究.

師：很多小組已經(jīng)完成了冪函數(shù)性質(zhì)的探究，下面咱們就請(qǐng)各組的代表來(lái)匯報(bào)一下研究成果. （匯報(bào)過(guò)程往往是幾個(gè)學(xué)生搭配操作，比如一個(gè)學(xué)生繪制圖像，另外一個(gè)學(xué)生進(jìn)行口頭表述 ）

生1：我們組所選定的函數(shù)是y=x2，y=x，y=x3，這些函數(shù)存在以下性質(zhì)：它們的圖像都經(jīng)過(guò)兩個(gè)固定點(diǎn)（0，0）和（1，1）;它們?cè)诘谝幌笙薅紝儆谠龊瘮?shù)，其他象限各不一樣，而且這些函數(shù)的圖像沒(méi)有出現(xiàn)在第四象限.

師：很好，其他小組有沒(méi)有不一樣的答案？

生2：剛才這一小組的同學(xué)所選定函數(shù)中的α都是正數(shù)，我們組還探索了取負(fù)數(shù)的情形，因此得到的結(jié)論有所不同.我們組所選定的函數(shù)包括y=x2，y=x，y=x3，y=x-1，y=x-2，這些函數(shù)存在以下性質(zhì)：當(dāng)α是正數(shù)時(shí)，基本性質(zhì)和剛才他們的結(jié)論一致;但如果是負(fù)數(shù)，則函數(shù)圖像不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，它們經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1），且在第一象限為減函數(shù).

師：你能解釋一下，為什么α是負(fù)數(shù)時(shí)，函數(shù)圖像沒(méi)有經(jīng)過(guò)原點(diǎn)嗎？

生2：如果α是負(fù)數(shù)，則0不在函數(shù)的定義域內(nèi).

師：說(shuō)得很好，有沒(méi)有其他發(fā)現(xiàn)？

生2：沒(méi)有了.

師：還有同學(xué)需要補(bǔ)充嗎？

生3：我們組研究函數(shù)y=x的圖像時(shí)，發(fā)現(xiàn)它正好是第一象限和第三象限的角平分線，而且在第一象限它的圖像還將成為一個(gè)分界線，即α>1時(shí)，函數(shù)圖像會(huì)向上;0<α<1時(shí)，函數(shù)圖像會(huì)向右，但都屬于增函數(shù).

師：剛才幾個(gè)同學(xué)的匯報(bào)都非常精彩，請(qǐng)大家對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行一下整合.

設(shè)計(jì)意圖 在學(xué)生進(jìn)行匯報(bào)和展示的過(guò)程中，教師要給予學(xué)生足夠的時(shí)間來(lái)進(jìn)行展示和交流. 在學(xué)生展示時(shí)，教師不能隨意打斷，同時(shí)教師還要鼓勵(lì)其他小組的學(xué)生進(jìn)行補(bǔ)充性的說(shuō)明，最后要提供時(shí)間讓學(xué)生對(duì)各項(xiàng)展示成果進(jìn)行匯總，整理出較為完整的結(jié)論.

師：請(qǐng)同學(xué)來(lái)匯報(bào)一下你們的匯總結(jié)果.

生4：我們要先對(duì)α的取值情況進(jìn)行分類，然后進(jìn)行說(shuō)明. 對(duì)于α>0時(shí)，函數(shù)的圖像都會(huì)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）和（1，1）;在第一象限，函數(shù)圖像都會(huì)隨著x取值的增大而上升，即在[0，+∞）上屬于增函數(shù). 對(duì)于α<0時(shí)，函數(shù)的圖像都會(huì)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）;在第一象限，函數(shù)圖像都會(huì)隨著x取值的增大而減小，即在（0，+∞）上屬于減函數(shù). 冪函數(shù)圖像不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，而且一般只研究第一象限的特點(diǎn)，對(duì)于其他象限，可以通過(guò)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行研究和分析.

師：其他同學(xué)覺(jué)得這個(gè)總結(jié)如何？請(qǐng)大家回憶一下，我們?cè)谥笖?shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)等方面的研究，比較一下，這樣研究是否全面？

學(xué)生展開(kāi)比較和討論，基本過(guò)程略去不提.

師：剛才我們分析了冪函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)比較，我們發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)性質(zhì)的復(fù)雜程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，因此我們要找一些具有代表意義的函數(shù)進(jìn)行研究，α取-2，-1，，1，2，3等等. 但是無(wú)論α取哪些數(shù)據(jù)，我們都要畫出函數(shù)的大致圖像，然后結(jié)合定義域、奇偶性來(lái)進(jìn)行研究. 下面，我們結(jié)合一些具體的例題展開(kāi)分析和研究.

隨后的環(huán)節(jié)是教師展示了一些例題，引導(dǎo)學(xué)生在例題的分析和研究中熟悉概念、鞏固認(rèn)識(shí).

設(shè)計(jì)意圖 在匯報(bào)環(huán)節(jié)，教師相當(dāng)于一個(gè)主持人，學(xué)生才是真正的主角，他們用自己的語(yǔ)言來(lái)展示自己對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解. 當(dāng)然，教師的串聯(lián)作用不能忽視，只有恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)，學(xué)生才能獲得更加完善而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)論.