以“問題”促內化 借“優化”求發展

莊旦丹

摘 要：為了更好地進行“雞兔同籠”教學，文章在分析課程標準、教材和學生的基礎上，從問題解決教學的角度，針對各年齡階段學生的能力發展狀況，進行能夠展現問題解決過程的優化教學設計，力求提高教學效果，啟迪學生思維，培養學生解決問題的能力。

關鍵詞：小學數學;問題解決;優化教學

在“雞兔同籠”問題的課后檢測中，往往會出現兩大問題。問題一：學生假設是兔（雞），求出來的也是兔（雞），只知套用不知根本;問題二：只知雞兔，不知其他，不能根據已學的知識產生類比聯想。基于以上兩點，筆者試著從以下四方面對本課做一個系統的梳理與思考。

一、凸顯課標內蘊，借“優化”明晰教學本質

2011年版的新課標中，關于“教材編寫”的建議特別強調：“教材中編入一些拓寬知識或者方法的選學內容，增加的內容應注重介紹重要的數學概念、數學思想和方法，而不應片面追求內容的深度、問題的難度、解題的技巧。”因此，教師在教學實施中要注重數量變化中關系的分析與推理，提煉出解決問題過程中所蘊含的思想與方法，展現出解決問題的思維模型，并使學生能感受、體會、領悟它們，受到熏陶。

二、緊扣教材聯系，借“優化”探尋多元方式

筆者嘗試將各版本教材中的“雞兔同籠”問題進行比較，嘗試從單一逼仄的問題解決策略向多元高效的方式方法邁進。

（一）篩查對比，求“同”存“異”

從教材的編排順序上看，“雞兔同籠”這一教學內容被安排到了不同年級進行教學。從表1中，我們還可以明顯地看出，該內容所涉及的教學對象，最小的是二年級學生，最大的是六年級學生，跨度之大，前所未有。那么，面對如此大的編排順序差異，編者想滲透的方式方法又是怎樣的呢？

1. 共同點

各個版本的教材基本都蘊含了：猜想——驗證——推理——調整、修改猜想——再驗證，直至問題解決的嘗試這一科學發現方法;抽象提煉其中的規律與問題模型與思維模型，都體現了“由特殊到一般”“由具體到抽象”的哲學思想;都注重了實際問題的編排和應用所學知識解決實際問題能力的培養;都注重了數學文化的滲透。

2. 不同點

（1）途徑多樣

不同版本教材的例題所要滲透的解決方法并不完全一致，呈現多樣性。人教版解決問題的途徑更加多樣化，其中“列方程”只出現在舊人教版教材的例題中。

（2）策略聚焦

“列表法”成為唯一一種被各版本教材都采用的解決方法。尤其是在北師大版教材中，只選擇了列表的策略，讓學生在大膽的猜測、嘗試和不斷調整的過程中，體會出解決問題的一般策略——列表枚舉。

（3）方法互通

“畫圖法與列表法”“列表法與假設法”有機結合，方法之間互相溝通，幫助學生理解并解決問題。如蘇教版例題的解答介紹了提出猜測性假設，畫圖和列表兩種驗證、推理、調整的嘗試辦法，但更突出畫圖。旨在使學生通過直觀的畫圖，感悟、找出其中的數量變化規律和調整的辦法。

（二）穩中求變，推“陳”出“新”

基于對教材的比較，筆者對“雞兔同籠”問題產生了一些新的思考，為了更好地找到解決這些問題的突破口，教研組還對每個思考點進行了任務序列的分解（見表1）。

三、把握學情分析，借“優化”推進深度剖析

（一）縱覽學情，尋“路”探“徑”

筆者圍繞“對于雞兔同籠這樣的問題學生已經學會了什么？”“本課學習學生真正的思維困難在哪里？”“學生通過本課學習能有怎樣的提升發展？”三個問題對學生進行了課前調查。

能夠準確回答第1小題的學生占到總數的85%，說明大多數學生都有一定的生活常識;在明確表示頭和腳后，81%的學生能夠較好地畫出雞和兔;受第2題的影響，超過半數的學生選擇了用畫圖法解決第3題，有20名程度較好的學生直接用算式解決;72%的學生能將畫圖或列式的方法遷移到第4題;在前面都是順向思考的情況下，第5小題出現了逆向思考，從前測中可以發現，前面掌握畫圖法的學生，在此題中也進行了很好的應用的學生共有13個，11個學生用了湊數法，4個學生用了連減的方法解決，不知道怎么解決的學生有40人。可見學生的思維困難在逆向解決問題上。

“雞兔同籠”問題對于四年級學生來說具有挑戰性（正確率為35.7%），正確解決問題的學生主要采用猜測法，其次是列表列舉法。假設全是雞或兔的方法，如果學生沒有經過課外輔導都不會正確運用。因此，列舉法是適合學生認知發展水平的有價值的方法，需要學生重點學習掌握。在學生的作品中可以看到，腳數與頭數的內在變化關聯是學生解決問題的思維障礙所在，其中顧“腳”不顧“頭”的錯誤近20%。可見多數學生解題時只盲目計算，缺乏假設推演，已有的單一線性的解題經驗固化了思維，解題的策略性思考能力比較弱。

六年級的前測題只不過將4年級的測試題調大了數據，但前測結果卻大不相同（正確率為70.6%）。由于5年級學習了方程，所以用方程來解決“雞兔同籠”問題的人數明顯增多;另外，六年級的學生隨著年齡的增長和知識面的不斷拓寬，假設法、削足法也紛紛出現，可見學生的思維水平有明顯的提高。

（二）橫覓發展，順“藤”摸“瓜”

順著三個年級的前測分析這根“藤”，我們能逐漸摸到“教學設計優化”這個“瓜”。筆者認為，如何讓學生用畫圖法來解決“雞兔同籠”問題并解決最簡單的變式，是一年級教學的重點;如何讓學生從不會列舉或錯誤列舉到真正學會列舉方法，會用列舉法解決問題，并進行有序思考是四年級學生學習提升的關鍵;假設是列舉等方法的有效提升，代數是假設的聯想的產物，如何將兩者有機結合，并為第三學段的學習埋下伏筆，是六年級的課堂所要重點思考的。

四、依循認知序列，借“優化”形成高效策略

正是由于數學知識之間的緊密聯系，數學教材在內容的選擇上遵循了一定的“序列”。這種序列既有數學知識邏輯關系的前后之序，也有遵循學生認知規律的發展之序。而“雞兔同籠”問題由于其特殊性，這方面還存在著急需填補的空白。因此依循序列，借“優化”形成高效策略是筆者力求突破與創新之處。

（一）借“石”攻“玉”—— 精選“問題解決”模式

那么如何依循認知序列，進行優化設計呢？筆者和教研組的教師嘗試依循著內容之間的內在聯系將“雞兔同籠”問題進行分散處理，并按問題解決教學的模式進行教學。

（二）積“微”成“著”——巧用“前期數據”分析

通過“找”基石——課標、教材對比;“理”思路——學情分析;“搭”架子——“問題解決”模式，巧用這些“前期數據”分析，從而優化教學設計，形成“雞兔同籠”序列課。

把準“學”的起點，在關聯處生長核心問題;捕捉“學”的路徑，在斷層處設置核心問題;彰顯“學”的需求，在疑點處派生核心問題;豐盈“學”的厚度，在創生中整合核心問題。筆者所在的教研組嘗試以“問題解決”模式為基點，以“核心問題”為引領，以“校本教研”為平臺，分別為一、四、六年級設計出“雞兔同籠”問題的策略：注重思維提升，建立代數模型;掌握列舉策略，培養有序思考;經歷畫圖過程，積累數學經驗。

以“問題”促內化，借“優化”求發展，“雞兔同籠”問題的教學實踐在筆者和教研組教師的共同努力下，逐漸明朗和充盈：方法各有側重、序列建構合理、學生能力提升。在嘗試的過程中，變化的不僅僅是課堂的框架和路徑，還有教學理念上的變化，是源頭上的蛻變和教學行動上的華麗轉身。而這之后，師生必將有不同的收獲。

參考文獻

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