用有效的學習活動撬動空間觀念的發展

趙延龍

摘 ? 要：在圖形的教學中，不合理的學習活動設計會導致學生對圖形本質特征的理解浮于表層，既不利于學生知識技能的形成，又阻礙其空間觀念的發展。以“用圓設計漂亮的圖案”一課為例，對“如何設計有效的學習活動發展學生的空間觀念”這一主題進行課例研究，通過教師設計學習活動、上課、反思，再設計、再上課、再反思的完整過程，記錄了其走出困惑、做出改變的歷程，力圖設計具體的、有效的學習活動使學生能夠感悟理解圖形本質特征，撬動學生空間觀念的發展。

關鍵詞：小學數學;圖形教學;學習活動;有效性;空間觀念

中圖分類號：G623.5 ? ?文獻標識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2019）16-0041-04

一、課例研究的主題和內容

“用圓設計漂亮的圖案”是人教版教材2011年修訂后新增的內容，是在學生認識了圓，理解了圓的特征，初步掌握了用圓規畫圓的基礎上安排的一個拓展練習活動。教材的編排思路是先以分解的步驟展示了如何利用圓的特征一步步畫出四個花瓣式的漂亮圖案。在此過程中需要學生學會確定某個圓或半圓的圓心和半徑，這也是圓心和半徑分別確定圓的位置和大小的最直接應用。此外還需添加一些輔助線，體現了很強的綜合性。

教材為什么要新增這個內容呢？本節課又有著什么教學價值呢？帶著這樣的思考進行了第一次教學，筆者把教學目標定為：能掌握熟練畫圓的技能，能欣賞到圖案的美。于是，設計了三個學習活動：活動一，欣賞圖案，觀察分析圖案是怎樣一步一步畫出來的;活動二，動手畫一畫，體會每一步畫法的道理;活動三，梳理畫圖步驟用規范的語言說一說。

學生已經觀察過畫圖步驟并且也已完成動手操作的活動，表面看課堂上學生畫圖的積極性很高，畫出的每一幅圖案都很標準規范，好像這節課的教學任務完成了。但是再讓學生獨立畫這幅擦除輔助線的圖案時（圖1），77.5%的學生都不會畫了，問題出在哪了？筆者百思不得其解，是因為這個圖案太復雜了嗎？表面看這個圖形有點復雜，但是其中的每一個圓都直觀可見，相比于花瓣式的圖案簡單多了。學生經過剛才的畫圖活動不是已經熟練掌握了畫圓的技能了嗎？為什么面對新的圖案不會畫了呢？面對新的問題就不會解決了呢？這節課的價值僅僅只是讓學生掌握畫圓的技能就行了嗎？帶著這種思考筆者再次走進教材，對“圓”這一單元的知識進行了梳理，發現教材中無論是圓的認識，還是對圓周長、圓面積的學習，都出現了復雜圖形的身影，在編寫意圖中出現最多的要求就是提高學生識圖能力和分析能力。那么提高學生的識圖能力和分析能力是本節課的教學價值嗎？

一道題的出現使筆者更加堅定了自己對這節課的認識。已知圓的半徑是1米，你能求出正方形和圓之間陰影的面積嗎（圖2）？

全班65%的學生因為只知道圓的半徑，而不知道正方形的邊長，無法求出正方形的面積，所以無從下手，不知該怎么解答。當看到可以連接正方形的對角線，把正方形看成兩個三角形時（圖3），才恍然大悟。

這道題引發了筆者的思考：由只能看成一個正方形到可以看成兩個三角形這之間的思維斷層到底是什么呢？這不就是學生觀察、分析復雜圖形特征時聯系能力的缺失嗎？這種能力的缺失正是學生的空間觀念沒有得到相應發展的具體體現。而發展學生的空間觀念不正是“用圓設計漂亮的圖案”一課所要承載的教學價值嗎？

而“空間觀念”恰恰是《義務教育數學課程標準（2011 版）》中需要培養的十大數學核心素養之一，同時也是小學數學教學的重要組成部分。學生本身生活在現實空間，引導他們熟悉、探索、知曉這一空間有益于他們更好地生活、學習與實踐，同時空間觀念也是創新能力培養的基本要素，對培養學生的創新精神有著十分重要的影響。

所以筆者選擇了“用圓設計漂亮的圖案”這一課來進行如何設計有效的學習活動發展學生的空間觀念的研究。

二、課例研究過程

（一）對無效學習活動設計的反思

在第一次教學中筆者設計的學習活動只是讓學生按照教材的步驟畫出圖形來，雖然學生掌握了畫圓的技能，也欣賞了美麗的圖案，但是未能有效地培養他們對復雜圖形進行分析的能力。學生不會分析圖形，面對新的圖形，當然無從下手了，幾何與圖形的教學中所承擔對學生空間觀念的培養就更不可能在這樣的學習活動中落實。設計怎樣的學習活動才能提高學生分析復雜圖形的能力呢？通過查找資料，從范希爾夫婦的幾何思維發展理論得到啟示。該理論揭示了小學生幾何思維水平的發展，既是循序漸進的，又是不連續的，即學習進程中有跳躍。

在學生剛剛掌握了用圓規畫圓的情況下，就讓學生畫出如此復雜的花瓣圖案，并且還要添加輔助線，這對大部分學生來說無疑是具有較大困難的。那可不可以為學生設計低水平的畫圖活動作為鋪墊來自支撐起學生這種分析能力的提升呢？為此筆者又進行了第二次教學。

（二）帶著思考再出發

活動一：按要求畫圖

1.你能以線段AB為直徑畫一個圓嗎？

A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B

2.你能畫一個這樣的圖形嗎？

這一活動是在第一次教學后新增的鋪墊活動，第一個畫圖內容主要是讓學生掌握已知直徑怎樣畫圓，第二個畫圖內容呈現給學生較直觀的復雜圖形，培養學生初步的分析能力，這一活動旨在鋪墊相關的技能和分析意識，為學生畫出更復雜的花瓣圖形做支撐。

活動二：獨立嘗試畫圖

此活動由第一次教學時的“觀察教材畫圖步驟進行畫圖”改為“獨立嘗試畫圖”。給學生創造獨立觀察分析的空間，在探索中提高對復雜圖形的分析能力。

活動三：引導學生共同分析圖案的構成

以學生在獨立畫圖時產生的問題為線索，師生在共同解決問題的過程中完成對圖形的分析，提升學生分析問題的能力。

活動四：分享梳理畫圖過程

學生以規范的語言梳理畫圖的步驟，鞏固對圖形構成的認知，提高學生對復雜圖形的整體分析意識。

通過課例組成員對學生學習情況的觀察，課上出現了不少問題，這些問題促使著筆者再次對第二次教學進行反思：

活動一的設計是為了幫著學生建立分析復雜圖形的基礎，但是鋪墊來鋪墊去，并沒有為學生畫出復雜的花瓣圖形起到強有力的支持作用，反而因為花費了較長的時間，導致后面的活動沒有足夠的時間讓學生來嘗試分析梳理。

筆者所設計的過多鋪墊性的學習活動剝奪了學生完整經歷嘗試解決、暴露困難、戰勝困難這一認知過程。課例組經過討論，決定為學生設置獨立畫圖這一大活動，大活動中再設置階段性的小目標，學生在完成小目標的過程中，體驗嘗試、暴露困難、戰勝困難這一完整的認知過程。

（三）把準學情再上路

課例組隨機抽取了六年級某班12個學生進行了一次模擬前測，并安排了相應的學習活動。

1.獨立嘗試。要求：先仔細觀察花瓣圖案，再想一想應該怎么畫，你在畫哪一步的時候卡住了，并把遇到的困難記下來。

觀察實況：學生能夠積極主動地嘗試畫一畫、試一試，認真地進行分析。

2.分享困難。要求：把自己在嘗試畫圖中遇到的困難分享給大家。

觀察實況：學生能分享自己在畫圖過程中遇到的困難。通過交流，發現學生出現最多的問題是不能確定花瓣半圓圖案圓心的位置和半徑的大小。

3.解決困難。要求：找到半圓的圓心、半徑，并畫圖。

觀察實況：在明確花瓣圖案是由四個半圓組成的，只要找到半圓圓心的位置和半徑的大小就能畫出圖案這一任務后，學生通過動手操作能夠確定圓心位置和半徑大小從而解決問題。

4.交流分享。要求：同桌之間交流說一說你分析這個圖案的過程，并分享梳理畫圖的步驟。

觀察實況：學生在討論和交流中不僅可以解決自己遇到的疑問，梳理分析的思路，更能在分享中產生思維的碰撞，提高自己幾何語言的表達能力。

最后，12位學生都會畫圖了。

這次模擬前測給了筆者很大的信心，從而深刻地認識到：沒有鋪墊，有效的學習活動設計也可以讓學生完成學習任務，只要為他們架構起有效的學習活動，學生完全有能力完成。于是筆者進行了第三次教學。

（四）信心滿滿再實踐

出示情景圖（圖4）：你能畫出廣場上的圖案嗎？

在這一大空間背景下設計了三個連續的小活動：活動一，自主嘗試畫圖;活動二，聚焦解決問題;活動三，交流分享。

設計意圖：創設繪制廣場圖案情景，讓學生完整經歷嘗試解決、暴露困難、戰勝困難這一心路歷程，從本質上體會圓的特征，深刻認識“圓心決定圓的位置、半徑決定圓的大小”。提高學生對復雜圖形的分析能力，發展學生空間觀念。

課堂觀察：在活動一自主嘗試畫圖中，可以看到學生積極地動手嘗試畫圖，他們會遇到很多挑戰，并且記錄了各種各樣的問題。在活動二聚焦解決問題環節，雖然學生遇到的問題各不相同，但通過梳理，所有的問題都會聚焦在半圓的圓心和半徑如何確定這一根本性問題上。

解決問題過程中，為了排除復雜圖案對學生的干擾，讓他們只關注其中的一個半圓，怎樣確定圓心和半徑呢？在活動三交流分享中，同桌先交流分析過程，然后梳理畫圖步驟并分享，在全班分享互動過程中，可以看出學生每一步是怎么畫的，為什么要這么畫，產生更清晰理性的認識。

通過觀察學生畫出的一幅幅漂亮的圖案，能看到每一位學生思維分析的軌跡，每一幅圖案都滲透著學生分析圖案時的邏輯美。雖然每一幅圖案都是一樣的，但每一幅圖案都記載著不同的思考過程，每一幅圖案都在訴說著學生分析復雜圖案能力的提高。

有效的學習活動可以激發起學生的學習興趣，學生原來對圓的本質特征理解比較膚淺。經過這節課的學習，他們才真正體會到“圓心決定位置，半徑決定圓的大小”這句話并不是說起來那么簡單。在活動中，他們才真正認識了圓的本質特征，對復雜圖形的分析能力也隨之提高了，空間觀念的發展也在活動中得到切實的落實。

三、課例研究結論

經過幾輪的探索和實踐，這次課例研究讓筆者收獲頗豐，應該設計怎樣的學習活動撬動小學生空間觀念的發展呢？

（一）設計有效學習活動的前提是教師對教材的精準把握

教師是活動設計的主導者，而教材又是教師設計活動的主要依據。教師對教材的精準把握是設計有效教學活動的基石。如果教師在理解教材時，忽略了要培養學生的分析能力、要發展學生空間觀念這一教學目標，有效的活動設計就無從談起。就如筆者第一次教學時，只注重對學生畫圓技能的培養，根本談不上發展學生的空間觀念。

（二）學習活動的設計應遵循學生幾何思維發展的規律

學生幾何思維發展的規律是客觀存在的，學習活動的設計要遵循學生思維發展的水平。立足于學生已有的對圖形的認知，設置恰當的梯度空間，讓學生經過一定的努力可以實現目標。在活動中讓他們經歷發現問題、勇敢面對問題、積極解決問題、直到戰勝問題這一有價值的體驗過程，從而發展他們的空間觀念。

（三）學習活動的設計要立足解決核心問題

任何學習活動都有一定的目標指向性，而目標的確立要指向學生在發展空間觀念時真正存在的問題。例如學生在畫花瓣圖案的時候，遇到的真正問題是無法找到半圓的圓心和半徑，這就需要設計活動讓學生發現并聚焦到這一問題上，讓學生解決這一問題。

（四）學習活動的設計要敢于讓學生跨越障礙

在活動設計時不要只關注學生基礎知識是否掌握牢固，從而給學生鋪墊過多，以至于最后反而起到了負面作用。要讓學生發現障礙，勇敢面對并且跨越障礙，經歷完整的過程，在過程中提高對復雜圖形的分析能力，在過程中真正發展學生的空間觀念。