活用課本習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力

梁小躍

摘要：解題不僅能加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握，更重要的是通過解題能培養(yǎng)我們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，一些看似簡單的中小題型，其中可能蘊(yùn)含著一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。通過對(duì)其研究，“小”題“大”做，久而久之，解綜合題也就水到渠成了，這樣可以大大提高教學(xué)效果。本文通過一些案例談?wù)勅绾瓮ㄟ^課本習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞：課本習(xí)題 解題能力 高中數(shù)學(xué)

根據(jù)教育部有關(guān)文件精神，新的高考將避免出難題、偏題、怪題，而注重基礎(chǔ)性和綜合性。課本習(xí)題是經(jīng)過教材編寫專家認(rèn)真研究選取的，數(shù)學(xué)習(xí)題的教學(xué)功能體現(xiàn)在知識(shí)、教育、評(píng)價(jià)的三個(gè)功能方面。但是當(dāng)前，有一種現(xiàn)象需要引起我們的重視，那就是有部分一線老師不重視教材中習(xí)題的研究，他們認(rèn)為教材的習(xí)題太簡單，僅靠做教材中的習(xí)題只能應(yīng)付學(xué)業(yè)水平考試，無法應(yīng)對(duì)高考，從而將教輔資料當(dāng)作解題寶典。殊不知，課本上的題目雖然簡單，但復(fù)雜的題目往往是這些簡單題目的綜合。

筆者經(jīng)過長期研究發(fā)現(xiàn)，很多高考試題來自教材的例題和習(xí)題，題型和難度相當(dāng)，如集合、復(fù)數(shù)、線性規(guī)劃等考題。還有些考題看似生疏，實(shí)際上是在課本習(xí)題基礎(chǔ)上改編的。

因此，作為一線教師，如果我們能重視對(duì)教材習(xí)題的研究，將教材中的習(xí)題進(jìn)行合理變化、引申、推廣，進(jìn)而得到有價(jià)值的結(jié)論，那么勢(shì)必會(huì)提高我們的教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及思維能力，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。

一、重視課本例題研究，發(fā)揮例題的教育功能

課本例題是教材編者智慧的結(jié)晶，是經(jīng)過專家精挑細(xì)選出來的，對(duì)學(xué)生理解概念、掌握知識(shí)、鞏固所學(xué)內(nèi)容都有很大幫助。為此，老師要善于運(yùn)用這些資源，發(fā)揮例題的教育功能。筆者在平時(shí)的教學(xué)中特別注意課本例題的引領(lǐng)作用，注重引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路，并進(jìn)行板書示范。當(dāng)然，課本例題也不是完美無缺的，老師要根據(jù)具體情況創(chuàng)造性地使用。

比如，在人教A版高中數(shù)學(xué)必修4第35頁例2中，第（2）（3）問書上的解答學(xué)生可能感到突然，不易理解。第（2）問書上的解答如下：sin2（x+π）=sin（2x+2π）=sin2x。學(xué)生很難想通為什么括號(hào)里要加π，筆者在教學(xué)中是這樣做的：設(shè)y=f（x）=sin2x的周期為T，則由周期函數(shù)的定義得f（x+T）=f（x），即sin2（x+T）=sin2x，也就是sin（2x+2T）=sin2x，將2x看成一個(gè)數(shù)，由正弦函數(shù)的周期性知2T=2π，從而T=π。第（3）問也可以類似處理，進(jìn)而筆者又引導(dǎo)學(xué)生用類似方法推導(dǎo)出了y=Asin（ωx+φ）的周期公式。這樣處理既鞏固了剛學(xué)的周期函數(shù)的定義和正弦函數(shù)的周期性，又推導(dǎo)出了一般的y=Asin（ωx+φ）的周期公式，而且思路自然，學(xué)生易于理解。

二、研究習(xí)題變式，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

新修訂的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六項(xiàng)。解題教學(xué)中的變式教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生抽象素養(yǎng)的形成。變式教學(xué)包括變條件、變結(jié)論等，通過對(duì)問題的變式探究，可以從不同角度、不同層次完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法體系，有利于發(fā)展學(xué)生的抽象思維。

案例1：畫出函數(shù)y=x的圖象。（人教A版高中數(shù)學(xué)必修1第20頁例5）

講解本例時(shí)，筆者先讓學(xué)生回憶了初中所學(xué)的絕對(duì)值的意義，然后分段畫出圖象，講完本例時(shí)，又讓學(xué)生畫了函數(shù)y=|x-1|，y=|x+1|，y=|x-1|，y=|x+1|的圖象，并讓學(xué)生指出它們與y=|x|的圖象的關(guān)系，然后引出一般的f（x）與f（x+a）、f（x）與f（x）+a的圖象關(guān)系，以及y=|x-a|的圖象特征。總結(jié)完畢，筆者進(jìn)行了變式教學(xué)：

變式1：作y=|x-1|，y=|x-2x-3|的圖象，并結(jié)合作圖過程說明f（x）的圖象的作圖方法，探究直線y=a與|f（x）|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題。

變式2：作y=|x|+|x-1|的圖象。

探討含兩個(gè)絕對(duì)值時(shí)如何化成分段函數(shù)，進(jìn)而畫出圖象，從而引出2016年高考數(shù)學(xué)全國卷第24題：

已知函數(shù)fx=|x+1|-|2x-3|。

（Ⅰ）畫出y=f（x）的圖象;

（Ⅱ）求不等式|f（x）|>1的解集。

以上幾題雖然形式不同，但本質(zhì)上都是含有絕對(duì)值的函數(shù)問題，解決這類問題的基本思路都是通過分類討論去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化成常規(guī)函數(shù)問題。學(xué)生掌握了這種思想方法，就能夠以不變應(yīng)萬變。

三、研究課本習(xí)題的推廣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

在平常的教學(xué)中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生重視對(duì)問題本質(zhì)的探究，善于從小問題中提煉出大道理，抽象概括出隱含在問題中的一般結(jié)論。教學(xué)實(shí)踐表明，研究課本習(xí)題的推廣是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維和創(chuàng)新能力的有效途徑。

案例2：（人教A版高中數(shù)學(xué)必修5第44頁例3）

已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，S=n+1/2n，求{a}的通項(xiàng)公式，并判斷它是否是等差數(shù)列。

課本上是利用an=S1，n=1Sn-Sn-1，n>1進(jìn)行求解的，這是通法，適合所有數(shù)列“知和求項(xiàng)”問題。接著筆者進(jìn)行了變式：將條件改為“S=n+2n+1”，結(jié)論如何？并思考：若S=pn+qn+r，當(dāng)p、q、r滿足什么條件時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列？這樣引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)角度認(rèn)識(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的理解。

在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在計(jì)算時(shí)常出現(xiàn)問題，主要表現(xiàn)在三個(gè)方面：一是不求a;二是求了a及a后不加驗(yàn)證，不去總結(jié);三是計(jì)算a時(shí)常常出錯(cuò)。為了解決學(xué)生“會(huì)而不對(duì)”的問題，筆者又讓學(xué)生觀察分析等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，總結(jié)并推導(dǎo)出一般結(jié)論：若數(shù)列a的前n項(xiàng)和S=pn+qn（p，q為常數(shù)），則a=2pn+q-p。這樣學(xué)生在做小題時(shí)，就可以快速準(zhǔn)確地得出答案，做大題時(shí)也可以有效減少計(jì)算錯(cuò)誤，從而提高學(xué)生的運(yùn)算能力。

總之，面對(duì)新的高考形勢(shì)，重視對(duì)課本習(xí)題進(jìn)行研究，發(fā)揮課本習(xí)題的功能，引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，扎實(shí)搞好習(xí)題教學(xué)，就能有效避免“題海戰(zhàn)”，培養(yǎng)學(xué)生各方面的能力。

參考文獻(xiàn)：

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