例談高中數學的一般解題思路與方法

葛澤明

摘 要：數學問題變化萬千，我們在學習數學過程中，如果總用一套解題方案是不可取的，必須要發散自己的思維，根據相關題設，提出富有靈活性的設想，進而制定合理的解決思路，正確解題。基于此，本文從配方法、換元法、待定系數法、數學歸納法等方面入手，詳細的論述了高中數學的一般解題思路與方法，為像我一樣的廣大高中生提供一些參考建議。

關鍵詞：高中數學;解題思路;配方法

前言：對于任何一道高中數學題來說，都蘊含著特定的數學關系和條件。我們在解答各類題型過程中，首先，需要根據給出的已知條件特征，對數學題進行透徹的、細致的觀察，認真思考，從里向外，看清楚題目本質。其次，要善于聯想，數學中的聯想是轉化問題的橋梁，比較難解的題型與數學基礎知識之間的聯系，是不明顯的，因此，需要學生富有想象力，這樣才能尋找到正確的解題方法。

1、配方法

配方法主要是指將數學公式進行定性變形，通過配方尋找數學題目中的已知條件和未知條件之間的聯系，將題目化繁為簡。解題過程中，何時應用配方法，需要我們對題目進行適當的預測，同時合理的應用湊與配、添項與列項的相關技巧，來完成配方。常用的配方形式主要將數學式子恒等變形，完全配方，適用于對二次代數式、二次函數、二次方程以及二次不等式進行求解，或者是應用于含有二次曲線（含xy項）的平移變換。例如：在解答數學題：已知一個長方體全面積是11，長方體的各棱長度之和是為24，求長方體對角線的長。在解答這個問題過程中，其思路是：首先，需要我們將已知條件轉換成相應的數學表達式，即設長為x、寬為y、高為z，則表達式為，對角線的長度表達式為（x2+y2+z2）1/2。根據對角線表達式，我們可以將其轉化成為（x2+y2+z2）1/2=，這樣就將兩個式子聯系在一起，從而計算出結果為5。在解答本題過程中，要注意兩個已知條件與得出的數學表達式之間的轉換，利用配方法聯系三個數學表達式，從而將題目解答出來。

2、換元法

在解答數學題過程中，將一個數學式子當做一個整體，設置一個變量取代這個式子，使繁雜的數學題目變得簡單，這種方法就是換元法。這種方法的實質是對式子進行轉化，其關鍵點在于設元和構造元，所用的理論依據為等量代換，主要目的是將研究對象轉換，使問題變成新的研究對象知識，以便簡化處理。換元法可以將超越式轉化為代數式、將無理式轉化為有理式、將分式轉化為整式、將高次轉化為低次。廣泛應用于三角、數列、函數、不等式以及方程等問題中。例如：在△ABC中，其三個內角滿足A+C=2B和1/cosC+1/cosA=-2/cosB，求cos值。在解答這個問題過程中，首先，我們從三個內角相加等于180°和A+C=2B等已知條件中得出B=60°，而A+C=120°。根據A+C=120°可以進行換元，設一個變量α，可以得到，將其帶入已知的等式中，得到1/cosA+1/cosC=1/cos（60°+α）+1/cos（60°-α）。由此公式進行計算可以得到cosα=1，也就是cos=1。這個問題用到的是均值換元，同時還要求我們必須熟練運用三角公式。

3、待定系數法

要對各個變量之間具有的函數關系進行確定，需要將某些未知系數設出，根據已知條件確定未知系數，這種方法即是待定系數法。待定系數法的理論依據為多項式的恒等關系。利用待定系數法解題過程中，最為關鍵的是根據題目中的已知條件，正確列出方程或者是等式。然后引入待定的系數，并將其轉化成為一個方程組，從而解決數學問題。待定系數法可用于幾何曲線方程的求解、復數求解、函數式求解、數列求和、拆分分式以及分解因式等。例如：已知，其最大值是7，而最小值是-1，函數表達式為什么？在解答這個問題過程中，首先要將已知函數式變形，其形式為（y-m）x2-4x+（y-n）=0，其中x屬于R。由此式可以得到，而7和-1是這個不等式等于0時的兩個根，將其帶入等式中可以得到兩個關于m和n的等式。即，由此得到兩組數據，其一是m=5，n=1;其二是m=1，n=5。將兩組數據帶入已知函數中，便可求解出兩組函數表達式。

4、數學歸納法

數學歸納法是利用特殊的事例將題目原理推導出來，分為不完全歸納和完全歸納量兩種。將數學歸納法應用到解答數學題中時，主要是將數學題與自然數的關系推理出來，廣泛應用于解答數學題的過程中。在應用時，我們必須具備目標意識，對解題思路進行分析，調控和確定解題方向，這樣才能縮小差異。數學歸納法主要應用于整除性、幾何、數列、恒等式以及三角和代數不等式中。例如：{an}前n項和是Sn，如果全部自然數n下，都具備Sn=n（a1+an）/2，對{an}為等差數列進行證明。在解答這個問題過程中，首先要考慮對題目進行證明即是對an=a1+（n-1）d進行證明，那么我們應該設a2-a1=d，對an=a1+（n-1）d進行猜測，當n=1時，a1=an，那么猜測正確;當n=2時，依然正確，以此類推，當n=k時，ak=a1+（k-1）d，猜測依然正確，由此我們可以證明無論是什么自然數，都存在an=a1+（n-1）d，那么也就是說{an}為等差數列。

結論：綜上所述，高中數學題目的解答方法多種多樣，我們在解題過程中，要合理的方法解答技巧，這樣才能快速解答問題。經過上文分析可得，本文主要通過一些案例講解了高中數學題的解答技巧，充分說明了數學歸納法、換元法、配方法以及待定系數法可以有效的解答數學題，并將數學題目化繁為簡。

參考文獻：

[1]秦萍.例談高中數學函數解題思路多元化的方法[J].中學數學教學參考，2018（21）：50-51.

[2]周少珍.例談高中數學函數解題思路多元化的方法[J].高考，2018（12）：180.