三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的解題應(yīng)用

摘 要：在高中數(shù)學(xué)的知識體系中，三角函數(shù)扮演著重要的角色，幾乎貫穿了我們整個高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而且在各類題型中都有應(yīng)用之處。但三角函數(shù)部分的知識點比較瑣碎，需要記憶的公式也較多，這就給我們的學(xué)習(xí)造成了不小的障礙。本文就三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的解題應(yīng)用進行了初步的探討，希望對同學(xué)們有所幫助。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);高中數(shù)學(xué);解題方法

有許多同學(xué)對三角函數(shù)“談之色變”，因為這部分知識點多，公式多，題型多，而且沒用什么可以循規(guī)蹈矩的方法，所以學(xué)起來很吃力。要弄懂三角函數(shù)，還是要從其基本概念入手，理清知識脈絡(luò)，做好分類，探索出自己的解題套路，而那些紛繁復(fù)雜的公式只是我們解題的工具而已，這樣一來相信三角函數(shù)也將不再是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點了。

一、三角函數(shù)的知識脈絡(luò)

學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們首先需要對角有一個新的認(rèn)識，高中階段我們所接觸的角已經(jīng)不再是0～360°的范圍了，而應(yīng)為任意角，即（）范圍內(nèi)的所有角，同時引入弧度制的概念，這就要求我們要有一個周期角的思想。在學(xué)習(xí)角度概念的時候，我們要借助兩個好幫手，即象限角與單位圓，三角函數(shù)的定義也由此而來。三角函數(shù)也是基本初等函數(shù)，是以角度（弧度）為自變量，角度對應(yīng)任意角終邊與單位圓交點坐標(biāo)或其比值為因變量的函數(shù)。高中數(shù)學(xué)里我們需要掌握的三角函數(shù)為正弦（sin），余弦（cos）和正切（tan），其各自的定義分別對應(yīng)于單位圓上相應(yīng)線段的比值，而函數(shù)名之前的符號則遵從“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”的規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，還要熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系，同時要將誘導(dǎo)公式的規(guī)則熟稔于心，牢記口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中奇、偶指的是的奇數(shù)倍或偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化。

在掌握了三角函數(shù)的基本概念之后，我們就要開始“變換”了。三角函數(shù)之所以成為高中學(xué)習(xí)的重點，同時成為很多同學(xué)學(xué)習(xí)的難點，很關(guān)鍵的一點就是在于其變換形式的多樣性，且各類三角函數(shù)之間都可進行變換，這就需要我們先理清它們的關(guān)系，并做好分類，建立連接三角函數(shù)與解題應(yīng)用之間的橋梁，如圖1所示。

二、三角函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)圖象

三角函數(shù)雖然在形式上存在一定的特殊性，但究其本質(zhì)還是一種函數(shù)，所以我們完全可以用學(xué)習(xí)函數(shù)的思想來學(xué)習(xí)三角函數(shù)。既然是函數(shù)，那么它就必然有單調(diào)性、奇偶性、周期性等函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)然也可以做出函數(shù)的圖像。

三角函數(shù)既然也是一類函數(shù)，那么對其性質(zhì)的研究也應(yīng)按照普通初等函數(shù)的學(xué)習(xí)方法來進行，除了掌握三類基本的三角函數(shù)的性之外，還需掌握，及的相關(guān)性質(zhì)。

對于三角函數(shù)的圖象，最基本的應(yīng)掌握三類三角函數(shù)的原始圖象并能用“五點法”作圖，其次是掌握三角函數(shù)的平移變換的方法，建立數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)會運用函數(shù)圖象結(jié)合單位圓解題。

三、三角函數(shù)的解題應(yīng)用

有了以上的知識體系，我們就需要融會貫通的將這些知識點運用到解題中去。這里我總結(jié)了三類題型的解題策略供讀者參考。

1.三角函數(shù)式的化簡與求值

在面對三角函數(shù)式的化簡與求值問題時，我們需要運用同角三角函數(shù)的關(guān)系式，即和，同時合理使用誘導(dǎo)公式。

化簡與求值的題目，題干往往比較長，有的同學(xué)看到密密麻麻的三角函數(shù)名就無從下手，這時候就需要一定的化簡策略，當(dāng)我們看到題目中同時存在“弦”和“切”時，就應(yīng)考慮兩個方向，要么化弦，要么化切，因為只有當(dāng)函數(shù)名為同類時，才方便我們進行使用積化和差、和差化積、倍角公式等手段進行進一步的化簡與求解。

2.三角函數(shù)的性質(zhì)

正如之前所述，三角函數(shù)是一類初等函數(shù)，在作為考題考察其性質(zhì)的時候，題目的類型與普通初等函數(shù)的類型相類似，不同點則在于對三角函數(shù)周期性和奇偶性的考察，而在我看來，所有死記硬背式的記憶方式都不如畫一個圖像來的直接、有效，通過數(shù)形結(jié)合我們可以很直觀的得到三角函數(shù)的諸多函數(shù)性質(zhì)，不論是定性的討論函數(shù)的周期性、奇偶性，還是定量的求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，我們需要掌握的其實只有最基本的正弦、余弦和正切的圖像，然后拿題目所給的變形后的圖像與之作對比，即可得到我們想要的結(jié)果。

3.三角函數(shù)的圖象

我們可以通過待定系數(shù)法解決由三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式的問題，通過數(shù)形結(jié)合的方法，圖象中的最大值或最小值對應(yīng)A，圖象的周期對應(yīng)，再由圖象中的具體點來確定的值，但要注意，的值并不唯一，要通過限制其取值范圍來確定的確切值。

四、總結(jié)

高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)部分歷來都是考試的重點，其知識點多，題型豐富，給同學(xué)們在學(xué)習(xí)的過程中造成了一定的困難。但只要掌握了三角函數(shù)的知識脈絡(luò)，合理運用公式與圖形圖象，總結(jié)出每一類題型的解題方法，相信三角函數(shù)將不再是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點。

參考文獻

[1]魏大錚.淺析高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解析技巧[J].科技風(fēng)，2017（03）：241.

[2]朱作煒.關(guān)于高中數(shù)學(xué)三角模塊的教學(xué)研究[D].湖南師范大學(xué)，2016，57（3）：45-46.

作者簡介：李想（2000.08——），性別：男，民族：漢族，籍貫：陜西省榆林市府谷縣府谷鎮(zhèn)，西安市西鐵國際中學(xué)高2019屆M2-3班學(xué)生。