導數在高中數學解題中的有效應用

張思瑾

摘 要：導數是高中教材新設內容，它的加入為高中數學注入了新的活力。特別是其應用的廣泛性，為解決各種高中數學問題提供了新方法和新思路，使其一躍成為高考試題命題熱點。基于此，本文從函數解析式求解、函數最值求解、切線方程求解以及實際問題求解等方面入手，詳細的論述了導數在高中數學解題中的有效應用。

關鍵詞：導數;高中數學;函數解析式

前言：作為高中生，在學習數學過程中，經常遇到難以求解的題型。同時數學題型的復雜度也是求解過程中一大障礙，深入研究數學題型的解答方法和技巧，使我們當下首要任務。導數是我們對數學解題方法研究的重要工具，它能夠使數學的各個章節緊密的聯系在一起，為我們提供了有章可循和統一的方法，對我們學習數學有很大的幫助，在數學中的地位是其他工具無法撼動的。

1、在函數解析式求解中的應用

通常情況下，我們將函數關系用解析式表達出來，這樣對函數性質的研究有很大的幫助。在日常學習過程中，函數解析式的求解比較繁瑣，而導數的引入可以使其化繁為簡，并使函數的基本性質更加直觀的呈現在我們面前。例如：函數y=ax3+bx2+cx+d的圖像和y軸相交，其交點為P，且在P點處，曲線的切線方程是12x-y-4=0，如果在x=2處函數極值為0，那么函數的表達式是什么。對于這類問題，如果利用常規方法計算，雖然可以算出，但是浪費時間的同時，還非常容易算錯，利用導數求解則非常容易。由于函數曲線和y軸相交于P點，因此，可得P點坐標是（0，d）。同時已知y=12x-4，可以求出d=-4，切線的斜率k是12，所以，x=0時，導數為。而求解到的函數一階導數為3ax2+2bx+c，與上述式子相結合，從而求出c=12。由已知條件在x=2處函數極值為0可以得到一個方程組：，由這個方程組可以得到a，b的值，其中a=2，而b=-9。因此，函數解析式的求解答案為y=2x3-9x2+12x-4。

2.在函數最值求解中的應用

在高中數學學習過程中，函數最值的求解是重難點內容，也是我國高考重點考察的內容。函數最值涉及到很多方面的函數知識，我們有時考慮的不夠全面。而在解題過程中，應用導數可以使數學題目變得非常簡單，并且步驟非常清晰，對我們有著非常大的幫助。一般情況下，函數最值點涉及到的知識主要包含函數在某個區間上的極值、函數在端點和極值點的函數值、函數在端點和極值點上的最大值和最小值等，導數的應用可以有效解決這些問題。例如：設函數f（x）=x3-3x，求其在區間[-3，]上的最小值和最大值。對于這類問題來說，首先要求出已知函數的一階導數，一階導數為，將其變換成為3（x-1）（x+1），當x屬于[-3，-1]或者是屬于[1，]時，導數大于零，所以函數在[1，]和[-3，-1]中為單調遞增;當x屬于（-1，1）時，導數小于零，因此函數（-1，1）中屬于單調遞減。同時x=-3時，函數值為-18;x=-1時，函數值為-2;x=1時，函數值為-2;x=時，函數值為，因此，函數最小值是-18，最大值是2。

3.在切線方程求解中的應用

求解切線方程過程中，導數的利用意義，主要是將二次曲線方程當做是y為x的函數，然后通過對復合函數進行求導的法則，可以以最快的速度將切線的斜率求解出來。以此類推可以推導出在拋物線、雙曲線、橢圓等曲線的相關切線方程。在數學學習中，尤其是在拋物線、雙曲線、橢圓的知識點學習中，涉及到的知識過于分散，基本上將所學知識全部覆蓋，因此，在求解過程中，常規方法非常麻煩，而將導數應用其中，可以有效的解決這些問題。例如：已知有一雙曲線，其方程表達式為2x2-y2=2。第一個問題：求雙曲線中點A（2，1）的弦所對應的直線方程;第二個問題：過（1，1）點，能否作一條直線M，使M與雙曲線能夠相交于Q、P兩點，同時（1，1）是QP的中點，如果存在直線，那么求出相應的方程。針對這道數學題，如果利用導數可以很快將答案求解出來。對雙曲線方程兩邊進行求導，得到=0。對于第一個問題來說，A為重點，其斜率k為，因此，可以求出其對應直線方程是y=2x-1。對于第二個問題來說，（1，1）點為中點，那么其斜率k為，方程式為y=2x-1，將其與雙曲線聯立，得到，其中△=-8，是小于零的，所以沒有實根。可以判斷M與雙曲線之間并沒有交點，不存在直線M。

4.在實際問題解答中的應用

在日常生活中，常常遇到效率最高、強度最大、用料最省以及利潤最大等相關問題，而在高中數學學習過程中，也常常遇到解決實際生活問題。這些問題的解決可以幫助人們以最有效的方法節約各種成本。而利用導數對這些問題進行優化，可以使其思路更加清晰。例如：有兩個工廠，甲廠是在河岸的A處，乙廠和甲廠都在河岸的一側，且離河岸40km的B處，D（B與河岸的垂足）與A的距離為50km，廠家向建設一個供水站，水管費用分別是3a/km和5a/km，供水站建設在什么位置最省水管。這個問題首先要設角BCD為θ，那么BC長度為，而CD的長度為40。其次，設水管總費用為f（θ），則f（θ）=。求出f（θ）的導數，并令其等于0，得出，因此，可以確定在AD之間與甲廠相距20cm出建立供水站，水管費用最低。

結論：綜上所述，導數在高中數學教學解題中的應用，可以幫助我們化繁為簡，快速將數學題解答出來。經過上文分析可得，在數學學習過程中，利用導數求解函數解析式、函數最值、切線方程是最為方便的，同時還可以將其應用實際生活問題中，為我們節省了大量的解題時間。

參考文獻

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