反思數學解題過程，培養數學核心素養

黃小娟 王琳

摘要：隨著新課改的不斷深入，培養學生的數學核心素養成為教學的首要任務。在高中數學教學中，解題教學占有重要地位，如何在反思解題過程中培養學生的核心素養是每位數學教師都要考慮的問題。

關鍵詞：核心素養?解題過程?反思

在中學數學教學過程中，經常會遇到這樣的現象：有些學生雖然做了大量的練習題，但是數學成績卻難以提升。對此，學生和家長都很苦惱。許多學生認為學好數學的關鍵就是要多做題，但在注重做題的數量時卻忽視了解題的質量。如何才能提高解題質量呢？數學家波利亞在其著作《怎樣解題》中指出，數學解題過程分以下四個步驟：審題→探索→表達→反思。很多學生解題只完成了前三步，即理解題意、找到解題方法、寫出解答，就認為已經完成了練習任務，并快速進入到下一道練習題中，如此往復，很少再回過頭來對自己的解題過程進行深刻反思。事實上，反思是數學解題過程中一個必不可少的重要環節，從某種程度上說，它比前三階段更為重要。反思既是對解題過程的深入思考，也是進一步深化、整理和提高的思維過程，更是培養數學核心素養的重要手段。

數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的思維品質與關鍵能力，是數學課程目標的集中體現。數學思維是數學核心素養最重要的部分，也是發展學生數學素養的根基所在。在數學教學過程中，筆者發現一些學生沒有正確認識解題的真正目的，把解題單純看作是為了得到答案而進行的認知活動，缺乏對解題過程的反思能力，沒有深入理解數學問題的本質，沒有掌握正確的數學思維方法。作為一名數學教師，我們必須讓學生認識到反思在解題過程中的重要性，讓他們學會主動、積極反思。下面結合幾道高中數學題從三個方面來具體闡述如何進行反思。

一、反思解題思路的靈活性與創造性

拿到一個數學題目，首先很自然地需要對題目給出的條件進行全面分析，挖掘潛在信息，這樣才能找到問題解決的思路。

例1?已知函數f（x）（x∈R）可導，且f（x）<f′（x）及f（x）>0對任意的x∈R恒成立，試比較f（2010）與e2010f（0）的大小。

從題目條件來看，這應該是考查導數應用的一個題目，但是如果局限于題目中的函數f（x），往往很難與要比較大小的兩個式子聯系起來。再觀察已知條件，會發現“f（x）<f′（x）及f（x）>0”可以變形為f′（x）f（x）-1>0，其中f′（x）f（x）-1是函數F（x）=lnf（x）-x的導數，由此可以得出函數F（x）在R上是單調遞增的，那么F（2010）>F（0）。有了這個結論之后，離問題的解決也就不遠了。做完此題，我們再來反思這道題的解題過程，可以發現構造函數F（x）是一個極其重要的突破口，是解題的關鍵。也許學生會說“這題解法太巧了，太難想到了”，但是在處理一些看似棘手的數學問題時， 經常需要通過適當的變形與構造，借助于“輔助函數”的方法來解決。

例2?若a、b、c成等差數列，求直線ax+by+c=0被橢圓x22+y28=1截得的線段中點的軌跡方程。

學生第一印象是這道題要用代數法韋達定理來做，可是在做的過程中會發現參數很多，化簡相當復雜，于是有的同學很快就做不下去了。其實我們可以仔細觀察已知條件，由等差數列易知a-2b+c=0，即直線ax+by+c=0恒過定點（1，-2），而點（1，-2）恰好也在橢圓上，這樣一來問題就簡單化了。從上面可以看到反思題設的條件是找到正確解題方法的關鍵。

二、反思解題過程的條理性與規范性

在平時的教學過程中經常會發現：有的學生在解題過程的書寫能力上非常欠缺，導致“懂而不會、會而不對、對而不全”;面對問題時感覺都似曾相識，但要自己獨立表達的時候卻不知道怎么下筆;寫出來的過程往往沒有條理，分析法和綜合法并用，條件和結論倒置等，有的甚至邏輯都是錯誤的。數學大師華羅庚曾教育中學生在數學表達上要做到“想得清楚、說得明白、寫得干凈”。因此，我們應在平時解題時就注意解題的條理性。

例3?某項選拔共有三輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考試，否則即被淘汰，已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為45、35、25，且各輪問題能否正確回答互不影響.求該選手被淘汰的概率.

這道題是一道高考概率題，屬于較易題，但是很多考生在做題的時候都只是給出幾個概率，就直接得到答案，結果得分很低，主要原因就是書寫沒有條理，答題不夠規范。

那么，如何有條理地表達解題的過程呢？首先，要從語言方面打基礎。部分同學認為數學問題的解決只要用數學符號表達就可以了，因此整個題目寫下來一個文字也沒有。實際上，數學問題的完整表述常常離不開符號語言、圖形語言、文字語言。表達是否規范、有條理，能準確地反映出學生對該知識點的理解是否正確、程度是否深入。尤其是隨著學習的深入，很多數學問題都是綜合性問題，往往考查多個知識點和多種數學思想方法，如果沒有規范和有條理的解題過程，容易中途出錯，從而無法解決問題。因此，規范、有條理的書寫，有利于培養學生的數學歸納能力和邏輯推理能力。

其次，在解題過程中要注意規范解題，這不僅僅是就考試而言，在平時作業中更要重視。由于各方面的壓力，學生往往會被要求做很多的訓練題，教師則忙于批改大量的作業，往往只看學生答案正確與否，忽略了學生的解題過程是否規范和有條理。在這樣的惡性循環下，學生和教師都苦不堪言，而且收獲也很少。實際上，教師在批改作業的過程中可以捕捉到學生的思維痕跡，了解學生在解答作業中思維的水平與質量，發現其中的問題。有的作業答案是對的，但是解題過程在推導、分析等方面有一定的不足，如果是考試，這種解題過程往往是要扣分的，這時如果教師直接判“對”就不合理了，而且容易誤導學生，讓他們覺得自己的解題過程是沒有問題的。所以，教師在處理學生的作業要更加合理、科學。我們可以開展作業、試卷規范解題和不規范解題的展示活動，樹立榜樣、形成反差，還可以讓學生評講作業、板書解題過程，在比較中讓學生學會如何規范、有條理地表達數學解題過程。這樣，學生在平時的學習過程中就會注意培養解題過程的條理性，解題能力自然也會越來越強。

三、反思解題過程的完整性與簡潔性

例5?在△OAB中，點A（2，1），B（3，0），O為原點點E在射線OB上自O開始向右移動，設OE=x，過E作OB的垂線l，記△OAB在直線l左邊部分的面積為S，試寫出直線l左邊部分的面積S與x的函數關系式。

一位學生的解題過程是這樣的：

這是高一第一單元測試的一道試題，主要考查分段函數的解析式的求法，同時也是一道應用題，考查對實際問題的分析能力。從某種程度上來說，這位同學是直接給出了正確答案，但是作為一道解答題，光知道答案是不夠的，關鍵是要表達解題過程，通俗一點說就是把你的所想所知用數學的語言表述出來。首先這個表述應該是完整的，也就是每一步的推導過程能夠從你的解題過程中看到;其次這個表述必須簡潔，因為試卷的版面是有限的。作為高一的學生，他們往往欠缺這樣的能力。那么，如何讓答題表述完整而又簡潔呢？可以參照解題過程：

解：由題意知△OAB在直線l左邊部分的圖形因點E位置的不同而不同，因此面積S與x的關系式要分類討論。

將該名學生的解答過程與規范解答過程進行比較可以發現，學生的解答過程很明顯欠缺完整性。完整的解題過程是解題思維的語言表達，讀者通過解題過程可以清楚地了解這道題的解題思路是什么、用了什么解題方法、做了哪些數學計算。解決了解題過程的完整性問題外，我們還要注意解題過程的簡潔性，即解題過程的每一步都是必要的，沒有重復的說明，沒有啰唆的語言表述，只有這樣才符合數學嚴謹而簡潔的特點。

眾所周知，“問題是數學的心臟”，數學學習永遠離不開解題。解題訓練可以加深學生對知識要點的理解，提高他們分析、解決問題的能力。但這并不意味著解題越多，數學能力就越強。很多成績優秀的學生都有這樣的共識：做題不在多而在精。“精”是透徹、明白，真正透徹理解和掌握問題的結構和本質;“精”是掌握解題的規律，能夠將問題提升到“一題多解”和“多題一解”的認識高度。“學而不思則罔”，只有通過反思，才能真正挖掘和體現解題的價值，才能做到“精”而“不罔”，才能使數學思維的水平上升到一個新的高度，才能形成良好的思維品質和科學的思維方式，才能真正地培養數學的核心素養，使學生終身受益。

參考文獻：

[1]黃天光.高中數學反思解題教學的設計與實踐[J].亞太教育， 2016（23）：147.

[2]胡海杰. 反思結果，剖析過程，探求本質——高中數學解題反思三部曲[J]. 中學數學， 2018（5）：7274.

責任編輯：黃大燦