淺談數形結合在高中數學教學中的妙用

李莉

摘要：高中學習是學生學習生涯中最為重要的一個階段，教師開展教學活動時應適時運用相應的教學方法，最大限度的增強學生的學習能力。作為數學基本思想之一的“數形結合思想”，在高中數學及其他學科中均被廣泛運用，教師必須將數形結合教學方法與其他教學方法緊密聯系，融會貫通，培養學生積極學習的興趣，從而穩步提升學生的學習能力，確保學生數學學習質量得到提升，數學教學質量得到提高，加快我國教育行業的發展。

關鍵詞：高中數學;數形結合;方法運用

初中數學內容比較具體，以模仿練習為主，變式不多。學生在幾年的學習中，已經形成了一定的思維模式。但高中數學內容比較抽象，更加注重對于知識的理解與運用，變式很多。這對于剛升入高中的學生來說，具有很大的挑戰。針對這一問題，筆者通過多年的教學實踐和反思發現，教師可運用數形結合思想方法，幫助學生高效完成這一認知規律的過渡。實踐證明，這一方法在高中數學教學中具有很大的優勢。

一、數形結合的定義及其實質

數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質;或者是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以“數”作為手段，“形”作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。

數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。

二、利用數形結合，復雜問題簡單化：突破三角函數教學重點問題

學生的圖形意識在日常生活中對身邊的物品的形狀已經初步構建，因此學生在數學學習的過程中或者在實際開展教學工作的時候，教師應該充分運用學生這一生活直接經驗基礎，在數學教學中將其展現，進行數形結合的思想全面滲透，進一步深度挖掘教學素材。進行學習解析式的一些數量關系以及抽象概念的時候，可借助其幾何意義，學生理解時更容易，因為把抽象問題具體化、簡單化、直觀化，相互滲透以及轉換數與形之間信息，學生的解題思路必將得到更大拓寬、更深的拓展、更大的遷移和更廣的收斂，從而讓學生取得事半功倍的學習效果。

1.三角函數定義。在求正弦、余弦、正切值的時候，我們會發現學生解決問題的辦法有很多種，但基本上都是采用定義來求解。關于三角函數的問題，學生在初中階段就已經學習過了，所以高中生對此并不陌生。但是，三角函數在高中數學教學中仍為教學的重點，其定義的解讀就需要采用數形結合的方法。

2.同角三角函數關系。高中數學中關于同角三角函數關系的推導有兩種方法。一種是通過直接的代數運算，利用同角三角函數基本關系，根據已知條件，列方程組來推導。這種方法運算過程比較復雜，很容易在計算過程中出錯。另一種是通過條件，運用圖像和定義，學生就可以直觀地表示出來。毫無疑問，第二種方法遠遠比方法一更便捷、更有效。

3.三角函數性質。在求解三角函數角的集合和求解角中，我們也可以采用數形結合的辦法，其中比較常用的便是將單位圓、正余弦的圖像與代數式相結合的方法。同樣，在遇到比較大小問題時，我們也可以將所要比較的三角函數值通過圖像表示出來。

三、利用數形結合，抽象問題具體化：解決直線與圓錐曲線教學中難點問題

數學中的經典問題特別關注數學規律探究，其中重點所在是圖形規律。但是，我們在挖掘數學的知識點，并不能僅僅停留在剖析圖形的結構，或者圖形表面的美觀度上，而是應該傾注于圖形中的數量關系、數形結合思想方法的充分利用，這樣才能確保數學問題的順利、高效和快捷解答。

（一）簡化處理直線與圓的問題

1.刻畫直線的傾斜程度。關于這個問題，我們可以從數、形兩個角度來描述刻畫，這樣比較形象具體、一目了然，也方便學生理解。

2.平面內兩條直線位置關系的判定。我們主要通過畫圖或利用直線方程兩種方法來判定平面內兩條直線之間的位置關系。前者比較形象直觀，頗受學生青睞。但是，為了確保結果的準確性，我們還宜采用算式進行檢驗。

3.對稱問題。我們解決直線關于原點對稱問題的時候，通常采用三種方法——截距式法、對稱點法、點到直線距離的方法。相比較來說，前兩種方法更為簡單，學生可以在圖上找到對稱點，然后進行驗證即可，這不充分彰顯了數形結合方法的妙用嗎？

4.求圓的方程。解決這類問題，我們通常采用待定系數法、數形結合法，顯然前者需要解方程組，操作起來會比較麻煩，容易出錯，而后者通過圖像，直觀、簡潔、明了，事半功倍，數形結合功不可沒！

（二）直觀解決圓錐曲線問題（以圓錐曲線定義為例）

在教學過程中，我們通過數形結合方法對曲線進行定義，可以讓學生更為直觀地認識曲線，其中橢圓幾何特征還是比較明顯的。通過觀察圖形，學生可以很快地找到題目中隱藏的已知條件，將全部已知條件代入函數圖像中，便很容易解出問題的答案。再者，雙曲線與橢圓類似，圖形也可以為我們提供一些已知條件，方便我們進一步運算。

四、利用數形結合，幾何問題代數化：解決向量教學中重要問題

1.用向量解決平面幾何教學。幾何中關于直線平行、垂直的問題可以借助向量來解決。我們可以將已知條件在圖上以坐標的形式呈現出來，再將未知量在圖中想辦法表示出來，進而通過方程組來得出我們想要的結果。

2.用向量解決立體幾何教學。與平面幾何一樣，立體幾何中關于垂直、平行、夾角與距離等問題的解答也可以借助向量來完成。數形結合方法的運用，將向量中的分解法、坐標法等遷移到立體幾何中。我們可以在圖中標出已知各點，然后通過向量的方法求解即可。

五、利用數形結合，代數問題幾何化：解決函數值域和最值問題

1.解方程教學。方程問題的解答，我們可以引導學生構建函數，將已知的函數通過圖像的形式展現出來，然后再進行求解。值得注意的是，教師一定要提醒學生認真仔細，避免因為圖繪制錯誤而產生錯誤的結果。當然，我們也不能完全依賴數形結合的方法，在具體操作中也應該結合代數式，選用的基本原則便是方便、快捷、準確。

2.求函數值域或最值教學。最值問題運用數形結合的方法最為方便，我們繪制的圖像的最高點或者最低點便是我們要求的坐標。這種方法使我們一目了然地便可以知道我們要求得的坐標所在的位置，也可以作為我們驗證結果正確與否的參照之一。

六、結語

總之，在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義;第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化;第三是正確確定參數的取值范圍。數形結合對于高中數學三角函數、直線與圓錐曲線、向量、解方程、求函數值域或最值教學的作用已經得到了教師與學生的普遍認可，學生對抽象的教學內容可以進行幫助理解，對于課堂教學效率的提升是卓有成效的。

參考文獻：

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[2] 陳益周.數形結合方法應用于高中數學教學的實踐研究[J].蘭州教育學院學報，2015（4）.

[3] 徐捷.淺析數形結合方法在高中數學教學中的應用[J].亞太教育，2016（27）

（作者單位：曲靖市民族中學）