如何巧妙還原三視圖的立體圖

蘭長僑

摘要： 三視圖是高中數學“立體幾何”知識點的重要基礎之一，此文將三視圖的原理驗證方法進行解析。

關鍵詞：三視圖;立體圖;高中數學

三視圖是人教A版高二必修二第一章第二節《1.2.2空間幾何體的三視圖》的內容，三視圖還原立體圖一直是學生甚至是老師的一個難題。我們知道，三視圖是幾何體在一束平行光線照射下形成的投影，光線從幾何體的前面向后面正投影得到正視圖，光線從幾何體的左向右面正投影得到側視圖，光線從幾何體的正上方向下面正投影得到俯視圖。根據三視圖的定義，俯視圖與正視圖長相等，俯視圖與側視圖寬相等，正視圖與側視圖高相等，因此，在具體的三視圖中總是有這樣的對應關系：正視圖和俯視圖的長度相等，側視圖的長等于俯視圖的高，正視圖和側視圖的高相等（如圖1）。

一、課題的引入

某天一位同學來問了我這樣一道三視圖的題：

某四面體三視圖（如圖2），正方形網格邊長為1，則此四面體體積為（ ? ）

【分析】本題實質是考察三視圖還原立體圖的能力，很多同學就是因為不能還原立體圖而不能做出正確的答案。

我根據三視圖的原理給同學講解了三視圖還原成立體圖的過程，算出了答案，但是同學卻聽得模模糊糊，尤其是不能想象出三視圖還原立體圖的過程。在無意中看到修高樓打的立柱在太陽下投影到對面墻的影子，那么我為什么不用簡單的點線投影的觀點還原立體圖呢？

二、例題講解

我們知道，一條線或點的不同放置時它們的三視圖，從而得到（1）有垂直于水平線的 （2）有與水平線斜向上的 （3）有懸空的點 這三種位置。

【例題1】：一個幾何體的三視圖（如圖3所示），請還原立體圖。

解答步驟（如圖4）：

第一步，把俯視圖放入長方體底部，標出關鍵點。

第二步：從俯視圖正下方做豎直的平行線（正俯長相同原則），先觀察在第1條豎直線上只有一個關鍵點A（以后我們簡稱單點）對應的正視圖相應有一條與水平線段DG垂直的線段DE，因為只有單個的關鍵點A，所以只有在長方體點A立柱線段AE（簡稱單點有垂立柱）;再看B點，也是在第二條豎直線上的單點，對應正視圖上沒有與水平線垂直或斜向上的線段，只有一個懸空的F點，所以關鍵點B在長方體中是懸空的點（簡稱單點無垂無斜懸空點）;再看C點，是在第三條豎直線上的單點，對應正視圖上只有與水平線段DG斜向上的線段EG、FG，所以關鍵點C在長方體中只能在底部的一個點（簡稱單點有斜定點）。

第三步，確定所有點后，連接相對應的點，即可確定立體圖。

我再給出了一個復雜一點的例題：

【例題2】一個幾何體的三視圖（如圖5所示），則它的體積為（ ）

正確答案是 B.

【分析】本題實質是考察三視圖還原立體圖的能力。

解答步驟：（如圖6）

第一步：把俯視圖放入長方體底部，標出關鍵點。

第二步：從俯視圖正下方做豎直的平行線（正俯長相同原則），先觀察第一條豎直的線，上面有兩個關鍵點A、B，對應的正視圖相應有一條與水平線垂直的線段DE和斜向上的線段DG，所以我們暫時不能確定具體情況;再看第二條豎直的線只有一個關鍵點C，對應正視圖有一條與水平線垂直的線段FG，因為在長方體中只有一個關鍵點C，所以可以確定在C點一定有一根立柱的線段（單點有垂立柱）。

第三步：從俯視圖左方做水平平行線在轉到豎直平行線（側俯寬相等原則），先觀察最下方的水平線只有A點，對應側視圖有相應的點N，并且有一條與水平線斜向上的線段MN，所以可以確定A點一定只能是在長方體底部的一個點（單點有斜定點）;我們再來看第二條水平線有B、C兩個關鍵點，對應側視圖相應的又有一條與水平線垂直的線段HM并且有4個單位長度，而C點在第二步已經確定有一根立柱的線但是只有1個單位長度，所以只有在B點承擔立一根4個單位長度柱的任務，當然也是因為正視圖沒有EF這樣的斜線，才綜合確定了B點。（多點，有垂綜合正側是關鍵）

第四步，確定所有點后，連接相對應的點，即可確定立體圖。（如圖7）

總結

三、驗證方法

第一步：把俯視圖放入長方體底部，標出關鍵點。

第二步：從俯視圖正下方做豎直平行線（正俯長相同原則），先觀察A、D點對應的正視圖相應沒有一條從水平線垂直的線段或斜向上的線段，說明在長方體中A、D點一定沒有在底部，可是不能確定具體位置（多點暫時不確定）;再看B點，對應上去有一條與水平線斜向上的線段FG或GE，但是這里只有B一個點 ，所以可以確定B點一定只能是在底部的一個點（單點有斜定點）;再看C點，對應上去有一條與水平線斜向上的線段HF或HE，但是這里只有C一個點 ，所以可以確定C點一定只能是在長方體底部的一個點（單點有斜定點）。

第三步：從俯視圖左方做水平平行線在轉到豎直平行線（側俯寬相等原則），先觀察D點，對應側視圖沒有一條與水平線垂直的線段或斜向上的線段，而空中又有一個相對應的點M，但是這里只有D一個點 ，所以可以確定D點一定是懸在半空中的點（單點無垂無斜懸空點）;我們再來看在同一水平線上的A、B、C點，對應側視圖相應有一條從水平線垂直的線或斜向上的線，但是 B、C點在第二步已經確定只能是在底部的點 ，所以只有在A點承擔立一根柱或者有一條斜向上的線，但是在第二步可以確定A點不可以在底部，并且從正視圖來看有一個點一定要在D點的正上方1個單位的地方，所以A點只能懸空在頂部，并且和點B、C連線形成斜向上的線（多點，有垂綜合正側是關鍵）。

此方法更適用于解決棱錐的問題，畫出立體圖后需要驗證一下是否符合。

參考文獻

[1]劉玲. 巧用三視圖 立體變平面[J]. 中學物理教學參考， 2016（19）：38-40.

[2]陳洙穎. 以三視圖還原幾何體困難的原因及對策[J]. 中學生數理化（學習研究）， 2017（5）：60-60.