挖掘有效經驗 落實探究過程

宋春梅

摘?要：挖掘學生的有效經驗，落實知識的探究過程，是有效教學的關鍵。抓住誘導公式與兩角差的余弦公式的特殊與一般的關系，并精心設計思考問題，鼓勵學生積極探索，提煉規律、探究公式來源及推導方法，體驗公式的推導證明過程。

關鍵詞：兩角差的余弦公式;數學有效經驗;高中數學

一、 學習內容分析

《兩角差的余弦公式》是普通高中數學課程標準實驗教科書（人教A版）必修④第三章第一節的內容。兩角差的余弦公式是三角恒等變換的開篇公式，具有承上啟下的作用。既是任意角三角函數的概念、誘導公式和向量等知識的延伸，又是后繼推導兩角和的余弦公式、兩角差、和的正弦、正切公式、二倍角等公式的知識基礎。對于三角變換、三角恒等式的證明和三角函數式的化簡、求值等問題的解決有重要的支撐作用。

兩角差的余弦公式的推導是本節課的重點，也是難點，教材是這樣設計的：首先明確提出了探索課題：如何用任意角α、β的正弦來表示cos（α-β）呢？憑直覺得出cos（α-β）=cosα-cosβ是學生經常出現的錯誤，通過討論可以知道它不是對任意角α、β都成立的，從而進一步明確“恒等”的意義，統一對探索目標的認識。聯系已經學過的三角函數知識探索有關三角函數的問題是很自然的，但是學生對于獨立地運用單位圓上的三角函數線進行探索存在一定困難，教科書采用“夾敘夾議”的方式，把探索的過程寫進教材，意圖是先引導學生在感受教科書探索的過程中，對公式結構特征進行直觀感知，進而引起學生尋求適當方法推出公式的欲望，但是這個過程比較困難、復雜。從課堂教學過程和反饋來看，大部分學生在“直觀感知”這一塊就已經失去了興趣，后來運用公式只是死記硬背，對公式的理解不到位，以至于對于差角公式、倍角公式等公式也不能靈活應用。雖然上面的做法是從學生已有的經驗出發，但是學生對于“運用單位圓上的三角函數線”這個經驗不能靈活應用，因此教師在上課前要挖掘學生的已有經驗和基礎，更要剖析出對本節課學習有用的有效經驗和基礎，根據學生的思維特征和認知規律出發，引導學生親歷數學活動，探究數學知識。

本文對于“兩角差的余弦公式”這節課，從學生原有的認知水平和所需的知識特點入手，由誘導公式cos（π-β）與cos（π2-β）出發，從中找出共同點及其蘊含的規律，再采用兩組向量的數量積相等的方法證明兩角差的余弦公式，讓學生經歷猜想、證明兩角差的余弦公式的過程，體會特殊與一般的數學思想方法及向量的工具性作用。

二、 教學設計

（一） 創設問題情境，引出探究內容

某城市的電視發射塔建在市郊的一座小山上，如圖所示，在地面上有一點A，測得A、C兩點間的距離約為40米，從A測得塔頂D的仰角為45°，從A處測得電視發射塔的視角∠CAD為30°，求AB的長。

【設計意圖】：將求AB的長的問題轉化為求????，根據剛才的分析????????，這樣做的好處是將非特殊角的余弦值轉化為兩個特殊角的差的余弦，更一般地，對于任意角α、β，它們的余弦值cos（α-β）如何表示？與α、β的三角函數值是否有關？引出本節課要探究的內容——兩角差的余弦公式。

（二） 挖掘已有經驗，找到公式的切入點

問題1：請同學們回顧一下前面所學知識，什么知識從形式上與cos（α-β）相像？

【設計意圖】：誘導公式cos（π-β）和cos（π2-β）是兩角差的余弦公式的特例，也是學生已有的知識經驗，從形式上找到了切入點，給學生提出了一條探究的路線，使學生從中體會特殊到一般的數學思想，積累數學思想方法應用的經驗。

合作探究1：在單位圓中探究cos（π-β）。

問題2：下圖是我們當時研究誘導公式所用的圖形，請同學們回顧我們證明誘導公式的關鍵是什么？

【設計意圖】：引導學生回顧證明誘導公式的關鍵是利用單位圓的對稱性得到π-β終邊與β的終邊關于y軸對稱。

接下來圍繞以下幾點展開討論：

問題3：請同學們觀察上圖中有哪些相等關系？

問題4：由上述相等關系，你還能得到哪些相等關系？

問題5：我們用模與夾角推導出OP1·OP1=OP4·OP3，向量的數量積還有其他形式嗎？

問題6：求出P1點坐標，你能用任意角三角函數值表示P2，P3，P4三點的坐標？

【設計意圖】：切實引領學生經歷觀察、歸納的過程，引導學生用坐標表示OP1·OP1=OP4·OP3，從而推導出誘導公式，并獲得cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ這樣的結論。學生會覺得老師用向量的方法推導出了誘導公式是“多此一舉”，教師要說明就是這“多此一舉”，讓我們有了新的發現：

cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ

即：π與β的差的余弦值與π、β的正弦值、余弦值有關。

我們回過頭來梳理剛才的思路，看看有沒有新的發現？（幻燈片展示）

【設計意圖】：引導學生初步感知推導方法，歸納推導思路方法，為推導cos（π2-β）=cosπ2cosβ+sinπ2sinβ提供了類比的對象。

自主探究：

請同學們仿照剛才的方法來探究cos（π2-β）

【設計意圖】：學生在充分調動已有有效知識與經驗的狀態下，類比cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ的推導過程，推導出cos（π2-β）=cosπ2cosβ+sinπ2sinβ，在自主探究狀態下經歷、體驗公式的推導過程，提高主動獲取數學經驗的能力。

（三） 觀察獲得結論，提出正確猜想

問題7：請同學們觀察剛才獲得的兩個等式，有什么共同點？

cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ

cos（π2-β）=cosπ2cosβ+sinπ2sinβ

問題8：據此，請你猜想對于任意α、β，cos（α-β）如何表示？

【設計意圖】：引導學生經歷觀察、歸納、猜想的過程，得到下面的猜想：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。這個過程是特殊化與一般化思維經驗積累的重要機會。

（四） 證明猜想結論，發展數學思維

合作探究2：證明猜想cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

【設計意圖】：通過前面兩個例子，學生可以歸納出利用兩組向量的數量積相等推導出：cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ

cos（π2-β）=cosπ2cosβ+sinπ2sinβ

進而引導按照以下步驟分析：

設角α-β的終邊與單位圓的交點為B

要證明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

只要證明OA·OB=OC·OD

要證OA·OB=OC·OD，只要證：∠AOB=∠COD

要證∠AOB=∠COD，先要找到B，即先要確定角α-β的終邊。引導學生找到問題的關鍵是確定角α-β的終邊，同時總結理順了證明思路。

問題9：如何找到角α-β的終邊？

在這個過程中，通過下面兩個思考引導學生有序思考：

問題10：我們是通過什么方法將角的概念推廣到任意角的？

問題11：角α-β能否通過旋轉得到？

【設計意圖】：引導學生發現α-β可以通過旋轉得到，只要將角α旋轉-β得到。

幾何畫板演示：α-β的形成過程。

【設計意圖】：借助于幾何畫板直觀引領學生發現將α、β的終邊都旋轉-β，即將∠COD旋轉使得角β的終邊與x軸正半軸重合即可得到角α-β的終邊，并且無論怎么旋轉，∠AOB=∠COD，從而證明了猜想，推導出兩角差的余弦公式。

（五） 運用公式解決問題，拓展學習經驗

例1：解決引入問題，用兩角差的余弦公式求cos15°。

變式訓練：用兩角差的余弦公式求cos75°。

【設計意圖】：既是對公式的直接應用，也是對引入問題的解決。

例2：已知sinα=45，α∈（π2，π），cosβ=-513，β是第三象限角，求cos（α-β）。

【設計意圖】：兩角差的余弦公式的應用，要考慮到三角函數的象限符號，使學生知識的綜合能力應用經驗得意積累。

（六） 總結探究經歷，培養認知經驗

通過下列問題展開小結：

1. 本節課探究了什么內容？我們是如何探究的？

2. 兩角差的余弦公式可以解決什么問題？

三、 教學思考

（一） 根據有效數學經驗設計數學活動

“課程論”之父認為，經驗是課程編制的基本素材，教育的基本手段是提供學習經驗。而教師的職責是為每個學生提供對現學知識有效的經驗。有效的數學教學需要了解學生已掌握了什么和需要學習什么，并從中篩選出對所學知識有效的經驗，為他們提供必要的幫助和挑戰，引導學生親自或間接獎勵探究過程而獲得基本數學經驗，學生數學經驗的積累過程是學生主動探索的過程。教學設計從學生熟悉的誘導公式出發，重新觀察誘導公式，由特殊到一般，圍繞學生已有的認知水平與經驗展開探究活動，積累豐富的觀察、操作、思考、應用、探究、猜想等經驗，為學生深入地學習提供新的經驗基礎。本節課的整個教學過程不是將兩角差的余弦公式強塞給學生，而是讓學生在自己的基礎上探究出兩角差的余弦公式。

（二） 以生為本，開展數學探究，豐富數學經驗

數學課的課程基本理念和學科特點決定了我們在教學活動中要善于挖掘學生的已有有效經驗，設計自主探究和合作探究，給學生提供更多充分表達自己思想的空間，激發學生的探究意識，有利于學生養成善于思考的習慣，也有利于引發學生思維的碰撞?！秲山遣畹挠嘞夜健愤@節課，首先通過合作探究引領學生經歷觀察、歸納的過程，引導學生用坐標表示OP1·OP1=OP4·OP3，獲得cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ這樣的結論，為后面的兩個探究提供了思路，接下來通過自主探究和合作探究，盡可能地發揮學生的主動性，以實現探究的價值。

（三） 以課堂為主，注重教學過程，獲得數學經驗

教師作為數學課堂的實施者、組織者、引導者以及學生數學探究活動材料的提供者、活動情境的設計者，數學課程活動實施的調控者及評價者，直接影響和決定了學生基本數學經驗的獲得、積累和提升。因此教學設計要考慮‘引導學生提煉學習成果、總結規律，靈活運用定理、激發學生參與數學活動的興趣，親歷探究活動全過程等方面，并讓學生在層次不同、形式多樣的活動中，積極參與、主動探究，才能有效獲得豐富的數學經驗。另外數學經驗的獲得是一個堅持不懈的積累過程，不能指望一兩節課就能獲得，我們要堅持結合學生的有效學習經歷及數學經驗，聯系日常生活，合理創設情境，尋求思維的契合點，組織學生參與數學探究過程，注重思維建構，進行數學經驗積累，達到理想的數學教育效果。

參考文獻：

[1]劉曉蘇.突出內涵揭示?關注知識建構[J].中國數學教育.

[2]李杰平.讓課堂變得更高效[J].中學數學教學參考.