基于數學史的勾股定理教學設計

盧明一 李碧榮

【摘要】本文以勾股定理為例，論述在初中數學教學中基于數學史進行教學設計的途徑，提出在探討勾股定理的發現和證明過程中，通過再現歷史事件、介紹數學史等方法在教學中融入數學史的教學建議，以期使學生站在古人的角度去發現問題和解決問題，提高學生的學習興趣。

【關鍵詞】初中數學 勾股定理 數學史 教學設計

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）08A-0074-03

數學史展現了歷史人物遇到問題和解決問題的過程，教師可以從中汲取思想養料，少走彎路，獲取最佳的教學方法。在課堂中融入數學史越來越受到數學教師的重視。數學教學要培養學生的數學計算、數學論證乃至數學決策等能力，勾股定理教學充分體現了上述思想。本文筆者以勾股定理教學設計為例，論述在教學設計中融入數學史，幫助學生理解數學和數學活動本質的途徑，激發學生的學習興趣。

一、教學內容分析

勾股定理是人教版數學八年級下冊第十八章第一課時的內容，在初中數學幾何知識中有著重要地位，與解決直角三角形三邊問題，甚至是其他多邊形的問題有直接聯系，為后面幾何的學習鋪墊。

二、學情分析

學生在學習勾股定理之前已經學習了三角形，對幾何知識和代數知識有了一定的基礎認識，初步掌握了探索圖形性質的基本方法，但是學生探索意識比較弱，邏輯推理能力比較差，會出現盲目操作等問題，所以本節課以“勾股定理的證明”為教學難點，重在引導學生自主證明，提高學生的推理能力和分析能力。

三、教學目標

知識與技能：通過觀察方格圖，說出直角三角形的三邊關系，說出勾股定理的定義;會用拼圖法和面積法證明勾股定理，能解決一些簡單的直角三角形三邊的問題。

過程與方法：通過觀察、探討、猜想、驗證勾股定理，體會從特殊到一般的數學思想。在探索過程中，學會與人合作，培養觀察圖形和分析問題的能力。

情感態度價值觀：通過自主探究的拼圖活動，增強學習興趣，培養學生發現問題、獨立解決問題的能力。同時在學習的過程中，體會數學文化的價值。

四、教學重點和難點

教學重點：勾股定理的發現及證明。

教學難點：勾股定理的證明。

五、教學過程

（一）創設情境導入

我國著名數學家華羅庚在多年前曾提出這樣的設想：向太空發射一種圖形，因為這種圖形在幾千年前就已經被人類所認識，如果他們是“文明人”，也必定認識這種圖形。這是怎樣的圖形？我們一起來看看。

設計意圖：由高科技引出數學，體現數學的奧妙，一方面提高學生的學習興趣，另一方面激起學生的好奇心——是什么樣的圖形幾千年前就被人類所認識呢，為后面的探索鋪墊。

（二）新課講解

1.發現規律，提出猜想

（1）活動一：等腰直角三角形三邊的關系

故事導入：“兩千多年前，數學家畢達哥拉斯在朋友家做客時，發現朋友家用磚鋪成的地面反映了三個正方形面積之間的數量關系，進而發現直角三角形三邊的某種數量關系。畢達哥拉斯是怎樣由三個正方形面積之間的關系推出直角三角形三邊的關系呢？我們穿越歷史和數學家畢達哥拉斯一起探討。”接著，教師用幻燈片展示“畢達哥拉斯朋友家的地面”（如圖1）。

問題1：“同學們，請你們觀察圖1的地板，每塊磚都是由什么三角形組成的呢？這三個正方形A、B、C的面積有什么關系呢？”

教師提出問題，讓學生身臨其境，引導學生觀察圖1，讓學生通過自己的思考，發現每塊磚都是由相同的等腰直角三角形拼成的，進而得出結論：正方形A、B的面積之和等于正方形C的面積，即SA+SB=SC。

問題2：“如果A、B、C三個正方形的邊長用a、b、c表示（如圖2），那它們的面積關系又是怎樣的呢？”

數學知識的運用要先把數學問題轉為數學符號，教師提出用a、b、c字母表示三個正方形的邊長，實際上是為把勾股定理化成數學語言鋪墊，引導學生通過正方形面積公式，將正方形A、B、C的面積關系表示為：a2+b2=c2。

問題3：“正方形A、B、C的邊長與等腰直角三角形DEF的三邊（圖2）有什么關系呢？”

教師進一步追問，回應了故事中“三個正方形和直角三角形有什么聯系”的問題，引導學生發現原來三個正方形的邊長正好是等腰直角三角形DEF的三邊，a、b為等腰直角三角形的兩條直角邊，c為斜邊，讓學生類比問題2的結論，求出等腰直角三角形三邊關系為：a2+b2=c2，引導學生用自己的語言表述結果，再由教師歸納結論：等腰直角三角形的三邊關系——兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：a2+b2=c2。

設計意圖：通過再現畢達哥拉斯發現勾股定理的過程，設置問題串，由淺入深，層層遞進，引人入勝，讓學生穿越時空回到那個時代，感受畢達哥拉斯發現勾股定理的過程。在HPM視角（融入數學史的教學設計）下，不僅提高學生的學習樂趣，而且提高了學生學習的主動性和探索性。

（2）活動二：一般直角三角形三邊的關系

問題1：“通過活動1的結論，我們知道特殊的等腰直角三角形三邊的關系為a2+b2=c2，那對于一般的直角三角形是否也存在這樣的關系呢？”“網格中三角形RQS是一般的直角三角形（如圖3），那等式SA+SB=SC還成立嗎？圖中每個小方格是1個單位面積。”

教師組織學生分組討論，引導學生分別求出正方形A、B、C的面積并尋求它們之間的關系。C的面積求法是難點，教師先讓學生思考總結，再和學生一起歸納方法——割補法，最后求出正方形C的面積為25，學生發現正方形A、B、C的關系為：SA+SB=SC。

問題2：“直角三角形RQS三邊與三個正方形A、B、C又有什么關系呢？”

教師引導學生根據活動1的經驗，由正方形的面積等于邊長的平方遷移出：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

追問：“從特殊的直角三角形到一般的直角三角形的兩次探討，我們發現直角三角形三邊有什么規律呢？”

教師拋出問題，讓學生根據兩次活動的結論發現規律，并用自己的語言陳述猜想：如果直角三角形兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2。

設計意圖：兩個活動的設計，由特殊直角三角形到一般直角三角形，根據歷史相似性，再現割補法產生的思路，引導學生猜測出勾股定理的內容，發揮教師的主導作用、學生的主體作用，體現了一般到特殊的數學思想，在猜測的過程中也體現了數學的嚴謹性。

2.驗證勾股定理的實驗

（1）活動三：學生拼圖法證明

①你能用四個相等的直角三角形（設直角三角形兩直角邊為a、b，斜邊為c）拼出一個正方形嗎？

②你能求出拼出的正方形的面積嗎？

③你能否用你拼出的圖形說明a2+b2=c2？

小組討論時間限制在5分鐘以內，教師引導學生根據活動的要求拼圖，預設學生有兩種拼法和證明。

教師通過展示學生兩種不同的拼法和證法，引導學生觀察，進而發現這兩個圖形都是通過面積法求出a、b、c之間的關系，最后證明猜想是正確的。接著，教師提出第一種圖形很像我國的“趙爽弦圖”，但是“趙爽弦圖”和學生的證法不一樣，為下一步介紹“趙爽弦圖”的證法鋪墊。

設計意圖：通過動手操作自主探索，用拼圖法和面積法發現勾股定理，培養學生的學習主動性，讓他們發現數學定理就在生活中，從而勇于發現探索。

（2）活動四：“趙爽弦圖”的證法

“趙爽弦圖”用到了剪拼證明法，以直角三角形的兩條直角邊a、b為邊作兩個正方形，把兩個正方形拼排連在一起，通過剪、拼把它拼成下圖6。教師可以用幻燈片展示剪拼的動態過程，讓學生直觀地看到“趙爽弦圖”證法的整個過程。

設計意圖：教師通過介紹“趙爽弦圖”證明過程，一方面讓學生理解剪拼法的不同，加深對定理的理解，另一方面體現我國古人的智慧，激發學生的愛國熱情。

（3）活動五：利用幾何畫版證實勾股定理

教師運用幾何畫板任意變換直角三角形ABC的三邊邊長，讓學生觀察、確認幾何畫板中展示的直角三角形三邊的關系，從而證實猜想是正確的（如圖7）。

設計意圖：幾何畫板展示的直角三角形更具有隨機性，也具有動態性，更具有說服力，可以讓學生更直觀地觀察到直角三角形三邊之間的數量關系，快速反饋任意直角三角形三邊邊長的關系。

3.驗證結論

勾股定理內容：如果直角三角形兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

4.勾股定理命名的歷史背景

在我國古代，古人把較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”，因此稱此定理為勾股定理。

設計意圖：印證開頭情境引入部分，讓學生毛塞頓開，幾千年前人類就已經探討了勾股定理，讓學生深深為古人的探索精神所折服，體會到古人的聰明才智。

（三）課堂練習

1.求出下列直角三角形中未知邊的長。

2.求圖中字母所代表的正方形的面積。

設計意圖：通過適當的練習，鞏固學生對勾股定理的理解，并結合勾股定理的發現巧妙地設計題目，鞏固定理并運用定理解決問題。

（四）課堂小結

1.本節課我們學習了什么內容？

2.本節課證明勾股定理運用了什么方法？

設計意圖：歸納性的課堂小結，培養學生歸納總結的能力，鞏固本節課的內容，抓住本節課的重點。

（五）課后作業

1.課后練習1、2題。

2.勾股定理的證法有五百多種，請同學們課后上網詳細了解。

設計意圖：通過練習加深學生對勾股定理的理解與運用，同時提高學生自主學習能力，養成獨立思考的習慣，豐富數學史知識。

（六）小結

教學設計中三次滲透數學史：教師首先在教學開始時介紹畢達哥拉斯的故事，然后讓學生觀察畢達哥拉斯朋友家的地板，導入學習的內容，引起學生的注意，激起學生探索的興趣;其次，在探討證明勾股定理這一新知識時，介紹我國“趙爽弦圖”的證明過程，使教學變得生動且富有探索意義，調動學生的積極性;最后，向學生解釋古人怎樣定義“勾股定理”的名稱，使學生體會到古人的聰明才智，在布置作業時要求學生利用課后時間閱讀一些勾股定理相關的數學史知識。整節課在設計過程中注重數學史的融入。另外在課堂練習環節中結合勾股定理的發現巧妙設計了題目，使學生理解勾股定理的同時能夠掌握和運用定理。

數學史的滲透，不僅啟發學生思考，調動學生的主觀能動性，而且讓學生對數學定理有更加深刻的理解，加深對數學本質的認識，在教學中能達到事半功倍的效果。同時讓學生愛學、樂學，使枯燥的數學課堂變得生動且有趣。

【參考文獻】

[1]劉頓.讓我們一起來認識“勾股定理”[J].初中生世界，2006（29）

[2]潘瑞.基于數學命題教學下的勾股定理教學設計研究[D].成都：四川師范大學，2014

注：本課題系廣西教育科學“十三五”規劃課題（編號：2016ZJY002）和廣西研究生教育創新計劃項目（編號：JGY2017086）的階段性成果。

作者簡介：盧明一（1989— ），女，壯族，廣西大化人，南寧師范大學在讀碩士研究生，研究方向：數學學科教學。

李碧榮（1964— ），女，廣西南寧人，副教授，研究方向：教師教育及數學教學研究。

（責編 劉小瑗）