寓數于形 以形解數

黃春媚 周日新

【摘要】本文論述數形結合思想在小學數學教學中的滲透，通過羅列一些數形結合的課例，證實數形結合思想能夠為學生構建出一個具體、直觀、形象的學習情境，讓學生更好地掌握數學概念、建立數學模型、學習數學計算，為學生綜合素質的提高打下堅實基礎。

【關鍵詞】小學數學 數形結合 數學思想

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）08A-0135-03

數學是一門研究空間形式和數量關系的學科，數形結合思想能夠將數量關系與空間圖形相對應，借助直觀生動的“形”來闡述數量之間的關系，或者利用“數”所具有的嚴謹性和精確性闡明“形”的屬性，將抽象問題具體化，將復雜問題簡單化。由于小學階段的學生理解抽象知識的能力有限，利用數形結合的方式，能夠幫助學生更好地理解小學數學知識點，并有效提高學生解決數學問題的能力。因此，教師應有意識地將數形結合思想滲透在日常教學之中，幫助學生形成數學思維，提高個人綜合素質。

一、以形解數，利用圖形學習數學概念

數學概念是小學數學的主要內容之一，是有效學習數學定理和數學公式的基礎知識，在教學中占據著極為重要的位置。然而數學概念對于小學生而言較為抽象，為了幫助學生更好地理解數學概念，教師應該充分利用數形結合思想，將抽象的數學概念具象化、趣味化。

例如，筆者在教學倍數這一數學概念時，利用數形結合思想，采取直觀圖例的方式，幫助學生初步建立倍的概念。

教學目標：在完成對數的認知后，理解一個數是另一個數幾倍的含義，初步建立倍的概念，并使學生初步體會數學概念與日常生活之間的聯系，培養學生的觀察能力、表達能力和實踐操作能力。

教學過程：

師：請同學們用數學的眼光來觀察一下，每種花都有幾朵呢？（向學生展示課件：無規律擺放紅、黃、藍三種花朵圖片）

師：如果我們把這三種顏色的花各自歸類排起來，是不是就比較容易數了呢？（再次展示課件：將紅黃藍三種花以顏色排列的圖片）

學生報告每種顏色花朵的數量。

師：非常好！大家剛才都是一朵一朵地數，請問還可以用什么方法數？（向學生展示新的課件，如圖1）

生：紅花有2朵，黃花有6朵。

師：回答正確！假如我們說紅花有1個2朵，那么黃花有幾個2朵？

生：黃花有3個2朵。

師：非常正確！此時如果我們把2朵紅花看成1份，那么黃花就有3份2朵，所以我們說，黃花的朵數是紅花的3倍。

師：我們接著來看下一幅圖。（展示新課件，如圖2）

師：繼續把2朵紅花看成1份，請問黃花有幾份2朵？黃花的朵數是紅花的幾倍？

生：黃花有5份2朵，黃花的朵數是紅花的5倍。

筆者肯定了學生的答案后，再次展示新課件。（如圖3）

師：如果紅花的數量變成了3朵，現在黃花的朵數是9朵，請問黃花的朵數是紅花的幾倍？

經過之前兩次練習，學生已經初步理解了倍數的概念，很快作出了正確的回答。

生：黃花的朵數是紅花的3倍！

師：非常正確！請大家思考一下，為什么紅花、黃花的朵數與圖1不同，但黃花都是紅花的3倍呢？

生：雖然紅花的朵數不一樣，但如果將3朵紅花看作1份，那么黃花的份數就是3份，所以還是3倍。

點評：在理解了倍數的概念之后，通過相似的題目進行比較練習，并利用圖形輔助學生觀察思考，幫助學生鞏固概念，加深理解，能夠達到舉一反三的作用，而非機械記憶。

完成上述練習后，筆者給學生布置了一道思考題目。（如圖4）

師：請同學們設想紅花的朵數，然后回答黃花的朵數是紅花的幾倍，并且告訴老師，為什么黃花朵數是12朵，但和紅花對應的倍數卻不一樣呢？

學生掌握了倍數概念，非常順利地回答了這個問題。

師（小結）：雖然黃花都是12朵，但由于紅花的朵數不同，所以倍數就各有不同。

課堂總結：利用數形結合思想，使用色彩鮮明、形象直觀的圖片來表現抽象概念，激發學生的興趣，引導學生親自動手數數，明確數量這一概念，再通過取某個數量為1個單位的形式構建模型，幫助學生理解一個數是另一個數幾倍的含義，建立起倍的概念，并初步培養模型思想。

二、寓數于形，利用直觀圖形建立數學模型

利用寓數于形的方式，能夠充分發揮直觀圖形在構建數學模型的支持作用，幫助學生通過具體化的圖形、親身體驗將具體的數學問題抽象構建成通用的數學模型的過程，為理解掌握數學知識打下堅實的基礎。因此，在小學數學教學中，教師應該充分利用學生已經具備的日常生活經驗，為學生創造一個熟悉的學習情境，幫助學生迅速代入其中。

例如，筆者教學“四舍五入”這一內容時，利用一幅“數字拜訪”圖（如圖5），以具體的情境幫助學生理解這一數學知識點。

筆者指著圖5向學生詢問：11到19這九個數字，要去10或者20這兩個數字的家，如果選擇最近的路，它們會去誰家呢？

學生表示，11一定會去10的家，因為它們兩個數字之間距離最近。以此類推，12、13、14都距離10更近，應該會去10的家;而16、17、18、19則距離20更近，因此它們會去20的家。

筆者肯定了學生的看法，并總結：去誰的家，就表示近似于誰，我們可以說11的近似值是10，寫作“11≈10”，同樣12、13、14都可以記為約等于10。

學生此時提出：15距離10和20兩家的距離是一樣的，應該兩個家都能去。

筆者對此表示贊許，并告訴學生：為了避免這種兩難的局面，我們硬性規定15應該去20的家，記為“15≈20”。

隨后，筆者為學生總結其中的規律：凡尾數是1、2、3、4的數字，都會舍掉，而結尾是5～9的數字，則向前進1，這種方法叫做“四舍五入”，用來求一個數的近似值。

有了前面的圖示，學生順利理解了這一概念。為了鞏固學生對四舍五入學習內容的印象，筆者再次展示一個圖例。（如圖6）

筆者指著圖中的728向學生提問：這個數字更接近哪個整數？

學生有了之前四舍五入的知識基礎，推測出兩個答案：1.由于728的個位數是8，大于5，因此距離730更近，應該向前進1，所以728≈730;2.由于728的十位數是2，距離700更近，應當舍去，所以728≈700。

筆者再次詢問：這道題我們獲得了兩個答案，二者之間是不是有矛盾呢？

學生經過思考后認為，二者并不矛盾，因為728≈730是四舍五入到十位，而728≈700是四舍五入到百位。

在這一課例中，筆者利用“最近的路”這種具體圖形，營造了一個形象的教學情境，自然而然地生成“四舍五入”的使用原理，幫助學生構建起一個觸類旁通的數學模式，使其能通過對一個數的判斷推理出不同精確度的近似值。可見，寓數于形，可以解決某些教學難點。

三、數形結合，利用解題思路學習數學計算

數學計算始終貫穿于數學教學的各個章節，學生需要反復進行數學題目的解答練習，從中領悟數學思想，掌握數學方法，因此，提高學生的數學計算能力是重要的教學目標之一。利用數形結合思想能夠將抽象的算式具象化，使解題思考過程具有可視性，幫助學生尋找解題思路，靈活選擇計算原理，從而更好地完成數學計算。

（一）利用直觀圖形尋找解題思路

利用圖形直觀性這一特點，能夠幫助學生有效地尋找解題的切入點，激發解題思路。例如，筆者曾經給出一道計算題目：3點15分時，分針和時針之間呈多少度角？

在這道題目中，先運用以形解數的方式，展示一個時鐘示意圖（如圖7），將題目與其特征對應起來。通過觀察鐘表可知，表盤作為一個正圓，它的一周為360°，而分針60分鐘走完一圈，因此分針1分鐘轉動6°。3點15分時，分針的角度與12點的角度是15×6°=90°，正好指向表盤3的位置。再通過觀察發現，此時的時針位于3和4之間，因此，只需要計算出時針此時相對于3的位置發生了多大角度的轉動即可，至此，解題思路已經明確：計算從時針指向3，即3點整到3點15分，時針轉過了多少角度。我們知道，表盤被劃分為12個小時，所以時針每小時走30°，因此每分鐘時針轉動30°/60=0.5°，那么從3點整至3點15分鐘時這15分鐘里，時針轉動了0.5°×15=7.5°，完整的算式就是：

15×30°/60=7.5°

最終答案是：當3點15分時，分針和時針之間呈7.5度角。

在上述課例中，通過引入時鐘這一直觀形象，有效地化解了原本題目抽象這一難點。同時，時鐘是學生在日常生活中常見的物品，因此在這樣的教學情境中，學生能夠非常輕松地獲得直觀體驗和進行模型識別，在明確解題思路之后進行數學計算，便能迅速算出準確答案。

（二）通過圖形分析數據

對于一些比較抽象的題目，小學生在解題時往往連解題所必須的數據都無從獲取，因此很難找到解題突破點。數形結合思想利用圖形的直觀性，將抽象數據轉化為具體形象呈現給學生，幫助學生快速從中提取解題所需的數據信息。

例如，一條全長100cm的線段，從左向右每6cm標記一個點，同時從右向左每隔5cm標記一個點，然后從標記點處截取線段，請問能夠獲得多少段4cm的線段？

在這一題目中，如果采用代數方法解決，因為較為抽象，學生往往無從下手，此時利用圖形的形式，將[5，6]=30最小公倍數的線段圖形繪制出來，題目便能一目了然，問題也被簡化了。（如圖8）

學生通過觀察這一圖形發現，從左向右和從右向左截取的點在30cm的位置發生了重合，其中包含了2個4cm的線段，100cm的線段中包含3個30cm，剩余的10cm中只可能截取1個4cm。通過這些數據，學生可以非常順利地得出答案：共計7段。完整算式如下：

2×[（100-10）÷30]+1=7

在小學數學教學中滲透寓數于形、以形解數的數形結合思想，能夠為學生構建一個具體、直觀、形象的學習情境，有效地激發學生的學習積極性，發揮學生學習主體的作用，幫助學生更好地掌握數學知識，提高自身綜合素養。

作者簡介：

黃春媚（1978— ），女，壯族，廣西南寧人，一級教師，大學本科學歷，研究方向：數學教育教學。

周日新（1978— ），男，壯族，廣西南寧人，一級教師，大學本科學歷，研究方向：數學教育教學。

（責編 黃健清）