基于實證的初中數學建模水平研究

洪曉妹

[摘 ?要] 數學建模是重要的教學內容，也是數學學科核心素養的重要組成部分. 在數學建模中關注學生的建模水平，并通過實證的方法去開展性質研究，對于準確把握學生的建模水平，以更好地設計建模教學來說，是有益的.

[關鍵詞] 初中數學;實證;數學建模;數學建模水平

所謂實證研究，是指從大量的經驗事實中通過科學歸納，總結出具有普遍意義的結論或規律，然后通過科學的邏輯演繹方法推導出某些結論或規律，再將這些結論或規律拿回現實進行檢驗的方法論思想. 在初中數學教學中，實證研究相對較少，更多的是教師基于自身的教學經驗及對經驗的總結、概括而進行的認識方面的提升. 這種基于經驗的研究，優點在于容易感知，指導性較強，而缺點在于過于感性，容易出現認識模糊、指導偏移等情形. 相比較而言，在日常教學中進行一定的實證研究，筆者以為是恰當的. 本文以初中數學教學中的建模水平為研究對象，略談筆者的研究過程.

基于實證的數學建模水平研究思路

既然要研究初中生在數學學習中的建模水平，那就要搞清楚學生的數學建模能力受哪些因素的影響. 研究表明，影響學生數學建模能力的4個因素是動機態度、知識經驗、認知過程、元認知. 根據這一判斷，研究者進一步提出，培養中學生數學建模能力的策略為：拓展“最近發展區”，強化“問題意識”，建構“思維模式”，調用“監控系統”.

顯然，從實證研究的角度來看，研究的對象很明確，那就是學生的四個因素水平，當然，還要結合學生的具體數學學習過程. 在“二元一次方程”的教學中，建模過程主要體現在以二元一次方程為形式，以及在實際問題的解決過程中以二元一次方程組為工具進行運用的過程. 即，二元一次方程不僅是一個方程，還是一個解決問題的工具，是以模型的形式存在的. 在實證研究的思路下，筆者以為具體的研究過程可以分為這樣四個步驟：第一步，研究動機的激發水平. 這個水平通常取決于兩個因素，一是教師所創設的情境，二是學生解決問題的愿望. 而從有效建模的角度來看，教師的主要任務就是創設情境以激活學生的愿望，然后在此過程中判斷學生的動機水平. 第二步，研究原有的知識經驗水平. 從建構主義的角度來看，學生構建二元一次方程的知識基礎在于對方程以及一元一次方程的理解，能力基礎在于將已知知識在新情境中進行遷移. 第三步，研究二元一次方程建立過程中學生的認知水平. 有研究者指出，學生要學會用數學方法去理解與現實相關的情境，從而提出解決方案，并認清和判斷現實中的數學問題. 基于這樣的理解去判斷學生的認知水平是可以的. 第四步，判斷學生的元認知水平. 元認知是關于認知的認知，是學生關注自身學習行為并對影響學習過程的行為進行矯正的能力水平. 其相對宏觀，且對數學建模影響明顯，通常情況下，只有在建模過程中注意力高度集中、思維對象完全明確的學生，才能順利地建立數學模型.

在數學建模的過程中開展實證研究

顯然，真正的實證所需的材料來源于具體的數學建模過程，下面筆者就從教學現場中尋找相關細節，來談談具體的實證研究開展.

1. 細節一：創設情境，觀察學生在情境中的探究動機

筆者曾經作過對比. 一次，筆者給了學生一個問題情境：小華去看望爺爺，他花68元買了2斤蘋果與5斤香蕉，如果蘋果和香蕉每斤的價格分別是x元與y元，那可以列出什么式子？另一個情境是：我們班上現有45個同學，如果分兩個大組，其中一個大組分若干個小組，但必須每個小組3人;另一個大組也分為若干個小組，但每個小組必須2人. 這樣的分配方案能確保班上每個同學都能分配到小組嗎？

實踐證明，這兩個問題所激發出的學生的研究動機是不一樣的，前者容易出結果，但學生的動機較弱;后者的判斷過程較為復雜，但學生有較強的研究動機. 且從后來的結果來看，雖然此處過程復雜、費時較多，但對建構二元一次方程的作用較大，學生形成的印象也較為深刻.

2. 細節二：浸入情境，觀察學生在情境中的建構過程

這個過程中學生的反應與情境密切相關，以上面的第二種情境為例，學生要理解“每個同學都能分配到小組”，他們本來的觀點還是比較模糊的，因為此處學生是有意識設未知數的（這是原有知識在發揮作用），盡管部分學生因為感覺問題中可能存在兩個未知數而不敢下手，但等到分別設出兩個大組中小組的個數時，他們會發現原來問題的解決過程也不過如此. 而等到二元一次方程建立之后，學生忽然發現，其實每個學生分配到小組就意味著方程的解必須是整數，這是判斷原問題能與否的關鍵. 這樣，學生的思維實際上貫穿了二元一次方程與求解兩個教學關鍵，客觀上也促進了兩個教學內容的統一.

3. 細節三：數學探究，判斷學生在探究過程中的認知水平

學生的認知水平反映在面對問題時的分析水平與解決水平上. 對于上述第二個情境，學生的思維常常是倒著的，即從問題開始研究：從每個學生能夠分配到小組，到大腦中對兩個小組形成的想象表象——假設這邊一大組有多少個小組，那邊一大組有多少個小組，然后去配總人數，實際上，這一步就已經完成了二元一次方程模型的建構;再到設未知數，使二元一次方程模型成型，此時學生所表現出來的認知水平，應當說與預設是比較一致的.

4. 細節四：教學反思，判斷學生的元認知水平

在教學反思中，筆者結合學生解決問題的過程，發現初中生在二元一次方程模型建立的過程中還是存在較強的自控、自糾能力的，不少小組內的討論都發生了偏移，而組長都能及時進行糾正. 即使是圍繞問題解決，他們也能下意識地圍繞問題進行討論. 實際上，不少小組的學生都意識到了上述第二個情境中的分組結果并非唯一，這其實就是思維高度聚焦的結果，體現了較好的元認知水平.

基于實證的數學建模水平研究思考

數學建模是數學教學的重要內容，也是數學學科核心素養的重要組成部分. 學生的數學建模水平究竟如何，除了基于經驗進行判斷之外，還需要結合數學建模的具體過程，通過證據的收集去進行實證研究. 從多個案例的研究中，筆者有下面兩點收獲.

其一，數學建模中的實證研究，通常需要從定性研究入手. 這是因為實證研究對于大多數教師來說，都是一個新生事物，完全脫離經驗而進行量化研究是不可行的. 而教學經驗原本就是一個好東西，基于經驗但不囿于經驗，是實證研究的重要基礎.

其二，數學建模中的實證研究，要努力走向量化研究. 根據筆者所涉獵的相關理論研究，其實其中有些東西是可以做一些量化處理的，比如可以根據學生在建模過程中的認知水平，結合數學建模的要求去編制一個認知水平表，然后結合學生的建模過程判斷其所處的水平，這有助于后面與數學建模相關的教學中更準確地判斷學生的可能水平. 但這個工作往往細致且工作量較大，不大可能成為日常研究的行為，所以只可擇一而行之.

總之，初中數學建模中開展實證研究是有意義的，能提升教師對學情的把握水平，數學教師應當努力讓自己走在實證的道路上.