八年級數學函數交點問題求解思路

萬群

摘要：在八年級數學學習的過程中，函數學習是學生的學習重點，是學生學習的重要部分。但是在學習過程中，可能由于學生學習理解的差異性，造成對函數學習存在一系列的困難。本文以浙教版數學教材為主要的探究原型，探究函數交點問題求解的主要思路，通過具體的教學方法來促進學生對函數學習能力的提升。

關鍵詞：八年級;函數教學;交點求解;學習方法

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2019）20-030-1

一、分析題意，正確解讀題目

一次函數應用題，因其綜合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等內容，能實現數與形有機地結合，能體現分類討論、對應、極端值等數學思想與方法，并且容易與現實生活中的重大事件聯系起來以體現數學的應用價值，近年來一直是中考命題的熱點。此外，由于中考考查二次函數內容時，大多是以二次函數與幾何相結合的壓軸題形式出現，而反比例函數應用題命題的范圍又相對狹窄，因此一次函數應用題就一直是中考試題中最頻繁出現的考點。在學生解答相關的題目時，首先需要對題目進行分析，通過具體的分析，了解基本的變量和變量之間存在的關系，在梳理題目后再進行相關的解答。學生在分析清楚題目的情況下，再根據具體的好函數形式進行解答，能夠加強學生的解答速度和學習效果。

二、掌握正確的解答方法

1.利用解方程求交點

在對函數方程的交點求角問題上，最常用到的就是聯立函數解析式來進行求解。因為交點就是兩個函數的公共解，通過解方程來求出交點坐標。注意使用方程聯立解答時，直線與拋物線交點的個數也有三種情況，把方程組用代入消元法轉化為一元二次方程后，根據一元二次方程根的判別式△的值的情況可判定交點個數狀況。

比如說函數y=kx+b，y=ax+c圖有一個交點，說明這兩個函數存在相同的x，y的值則這個相同的x，y的值即為函數y=kx+b，y=ax+c的交點坐標。因為這個相同的x，y的值即為函數y=kx+b，y=ax+c圖像的交點坐標所以可通過解方程來解決。

即：kx+b=ax+c

解得x的值，再代入可求得y的值

即為交點坐標

在例如直線y=-2x+m與直線y=2x-1的交點在第四象限，則m的取值范圍的求解。在關于這個交點問題中，就可以通過聯立兩直線解析式求出交點坐標，再根據交點在第四象限列出不等式組求解即可。通過聯立方程組的方式進行解答，促進時題目簡單明了，而且從學生的角度出發，更加能夠讓學生掌握解題步驟和方法。

2.利用圖像法求交點

利用圖像來進行函數交點問題的解答，首先要了解的是圖像在交點處的幾何意義：直角坐標系中表示兩個一次函數的兩條直線的交點。在實際解答問題中就可以通過圖像來進行具體問題的具體分析，能夠讓學生簡單直觀的將問題轉化為便于理解的方式。在針對圖像的分析時，分別作出函數的圖象，就可以通過圖像找出交點坐標.但是在實際中要注意這種方法僅適用于特殊的交點.

例如兩函數圖象相交的交點求法：兩個一次函數 y1=k1x+b1（k1≠0）;y2=k2x+b2（k2≠0），聯立成方程組，求得x、y值，就是兩函數圖象交點坐標。如圖，已知函數y1=3x+1和y2=x-3的圖象交于點P，求P坐標。

再比如函數y=kx+b圖象與函數y=6/x的圖象有且只有一個交點（2，3），求一次函數解析式。在解決這個問題中，既然一次函數y=kx+b圖象與函數y=6/x的圖象有且只有一個交點（2，3），那么，這個交點（2，3）就在這條直線上，帶入，得到：3=2k+b這就得到了第一個方程。接下來要根據交點的唯一性，聯立2者的函數方程y=kx+b，y=6/x

消去y，得到關于x的一元二次方程算出Δ=0這就是第二個方程。這個時候，由兩個方程就可以得到k和b的值。可以進一步得出相應的解析式。

還可以通過兩函數圖象與坐標軸圍成圖形的面積進行交點的求解。比如所求圖形有一邊與坐標軸重合，可直接用圖象與坐標軸交點作為底和高求得，如果圖形為不規則圖形，則可以使用面積的和或差進行求解，解決問題的關鍵是找到圖象與坐標軸的交點坐標，圖象相交時交點的坐標。

3.利用全等三角形和解方程的方法求坐標

利用全等三角形求得坐標系內某點的坐標也是函數交點問題求解的重要方式。通過求解交點后，可以進行相關點的函數解析式的求解，能夠加強學生的學習能力和學習應用能力。通過解方程的思想解決計算類問題，求方程組的解是解交點坐標的關鍵。

三，進行特殊類型的總結

1.一次函數與反比例函數的求解

所謂兩個函數圖像的交點就是兩個函數的公共點，這點的坐標適合兩個函數的解析式，所以在解決實際問題中常用交點的坐標代入兩個函數的解析式組成聯立方程組來解決.

2.求函數圖象與坐標軸的交點

求函數圖象與坐標軸交點的坐標，其意義在于所求的點即在函數圖象上，又在坐標軸上。函數圖象上點的橫、縱坐標對應函數中的兩個變量x、y，坐標軸上的點其中一個坐標值為0（橫軸上的點縱坐標為0，縱軸上的點橫坐標為0）。因此，若求圖象與橫軸交點的坐標，就確定縱坐標為0，并用0代替函數中的變量y，求得對應x的值即是點的橫坐標，兩個坐標值組成交點坐標。同理就可求得函數圖象與縱軸交點的坐標。比如說習題直線y=-2x+5與x軸交點交點坐標和與y軸交點坐標的解答。

四、結語

在學生函數學習的過程中，通過掌握具體的求解思路和求解方法，并且在學習的過程中，通過不斷的練習與促進初中學生教學實施過程中的學習能力與學習方法的提升，對提高學生學習的自信心，促進長期的學習有著重要的意義。相信通過不斷的練習和積極的與他人進行交流溝通，學生對于函數交點求解問題的掌握會有一個質的飛躍。

[參考文獻]

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[3]蒙國峰.關于曲線y=a2與y=logax交點問題的探討[J].數學教學研究，2006.

（作者單位：浙江省余姚市三七市鎮初級中學，浙江 余姚315412）