數形結合思想在高中數學解題中的應用分析

陳耀陽

【摘要】數形結合思想充分運用了數與形之間的對應關系，將抽象的數學語言、知識關系借助形象直觀的圖形、位置進行轉化，實現解題難度的降低、復雜問題的簡化.本文從高中生視角出發，分析了數形結合的解題方法與解題思路，從集合問題、函數問題、幾何問題等三個層面入手，探討了數形結合思想在高中數學解題中的具體應用，以供參考.

【關鍵詞】高中數學;數形結合;解題思路;因數變形;以形轉數

在高中階段的數學學習要求我們掌握數學方法與數學規律，樹立數學思維模式，而數形結合便是將數學問題的條件與結論進行相互連接，在探討題目中涵蓋的代數意義的同時，也試圖揭示其幾何意義，從而將數量關系的代數數據與圖像形象緊密結合，促使復雜的問題簡單化，進一步幫助我們把握解題的脈絡與方法，尋求不同知識之間的對應關系.

一、數形結合的解題方法與解題思路分析

（一）因數變形法

因數變形法又稱由數變形法，當某些具有一定抽象難度的數量關系難以運用代數方法直接解決時，便可以嘗試從數與形之間的對應關系入手進行把握，將數量問題以圖形的方式進行轉化，實現問題的具象化、簡明化轉變，通常可以運用平面幾何、立體幾何以及解析幾何的知識進行推理與分析.其解題思路主要包含以下三點：其一，應當確保將題目進行充分解讀，明確題目中涵蓋的每一個要求，并判斷該題目所要求得的結果;其二，應當將題目中的已知條件或所給出的結論進行詳細分析，判斷能否運用基本公式或表達式針對其進行類別的劃分;其三，應嘗試構造與所給條件相符的圖形，并明確圖形的性質，結合已知條件、所給要求進行目標的求解.

（二）以形轉數法

以形轉數法又稱以形變數法，主要對復雜圖形問題或定量圖形問題進行解決，通過仔細觀察把握圖形特點，在分析已知條件的基礎上深度查找隱含條件，將其轉化為代數問題進行求解.其解題思路主要包含以下四點：其一，應當針對題目所給要求進行詳細分析，明確所需求得的目標，再探尋題目的特點與性質;其二，進一步分析所給條件與解題目的，解析其中滲透出的幾何意義;其三，嘗試用代數式表示題目中所給的圖形;其四，調動腦海中的知識儲備，運用所學公式、定理進行結果計算.

（三）數形互換法

數形互換法將因數變形法和以形轉數法進行了有機結合、相互轉化，以實現復雜數學題目的解決.需要注意的是，我們在解題的過程中應當著重把握因數變形法的直觀特性，也要把握以形轉數法的嚴謹性，在解答題目時詳細判斷數與形之間的內在聯系，深度探尋其中蘊含的隱性條件，從而進一步養成見形思數、見數變形的良好解題習慣與能力[1].

二、數形結合思想在高中數學解題中的具體應用

（一）應用于集合問題

集合問題在高中數學中屬于基礎問題，在此知識點中滲透數形結合思想，可以幫助我們在入門階段便在腦海中形成一定的數學思維模式，以此來解決實際問題.以下題為例：已知某班級共有40人，其中15人報考A競賽，30人報考B競賽，求有多少人同時報考A，B兩個競賽.我們可以嘗試運用數形結合思想解答此問題，先針對題目中所給的條件進行分析，提煉出“報考A競賽的學生”并設置為A，設B={報考B競賽的學生}，設同時報考A，B競賽的學生人數為x人，進行繪制出該集合問題的文氏圖，得出card（A∩B）=5，由此可判斷同時報考A，B競賽的學生人數為5人.

（二）應用于函數問題

通常我們會在函數取值問題中存在一定的困惑，由于函數自身存在變量問題，且范圍往往難以確定，對解答者的空間思維能力有著較為嚴格的要求，因此，我們可以運用數形結合思想將復雜問題轉變為熟悉問題，調動知識儲備進行問題的順利解答.以下題為例，設方程lg（-x2+3x-a）=lg（3-x）在x∈（0，3）內存在唯一解，求實數a的取值范圍.在解答此題時，我們可以嘗試將該函數方程向一元二次方程轉化，將此題轉變為二次函數求解問題，即3-x>0，-x2+3x-a=3-x， 進而得出3-x>0，（x-2）2=1-a. 接下來運用數形結合思想，設曲線z1=（x-2）2且x∈（0，3），直線z2=1-a，并畫出該二次函數的圖像.經觀察圖像可以發現，應分兩種情況進行討論：① 當1-a=0時存在唯一解，a=1;② 當1≤1-a<4時存在唯一解，即-3

（三）應用于幾何問題

數形結合思想同樣適用于幾何問題的解答，能夠實現幾何問題的數量化轉變，借助數值的計算實現幾何問題的簡化.以下題為例，過橢圓的左焦點有一傾斜角為60°的直線與橢圓交于M，N兩點，且|FM|=2|FN|，求該橢圓的離心率.我們應當先仔細觀察橢圓的圖像，進而建立方程組x2a2+y2b2=1，y=3（x+c）， 依據題目條件|FM|=2|FN|可以得出FP=NN′+13（MM′-BB′）=13（MM′+2NN′）=13MFe+2NFe.接下來，在Rt△NL′F中，依據題目已知條件∠NFL′=60°，可得出NF=2FL′，由此可得出FP=FL′+L′P=NFe+NF2，結合題目所給條件|FM|=2|FN|，最終求得e=23，即該橢圓的離心率為23.

三、結 論

總而言之，高中階段學生的思維認知正由成長階段向成熟階段過渡，數形結合思想建立在高中生一定的學習與思考模式的基礎上，力圖將抽象的數學語言與具象的圖形進行有機結合，推動幾何問題與代數問題之間的相互轉化，從而幫助我們更好地把握數學的規律、鍛煉思維建構能力，促使解題效率得到顯著提高.

【參考文獻】

[1]陸一冰.試論數形結合思想在高中數學解題中的應用[J].中國培訓，2016（22）：204.

[2]張藝璇.關于高中數學幾何解題技巧之“數”“形”結合策略[J].亞太教育，2015（34）：73.