淺談高中數學概念教學及提升實效的策略

胡敬衡

【摘要】數學知識有著自身的獨特性，其概念的種類較多，都屬于最基礎的內容，學生們必須透徹地掌握才能在實踐中進行更深入的探索，運用所學的知識去解決生活中的一些問題.高中數學課堂中，概念的教學是目前教師授課的重點部分，教師需投入較多的精力設計出多樣化的授課方案，營造出愉悅的課堂氣氛，使學生更好地參與進來，打開思維空間吃透所學的概念，在面對問題時能找準切入點并順利地解決問題，并在腦中形成更為系統的知識框架.學生經教師的點撥能夠獲得自身的進步，提升數學素養.

【關鍵詞】高中數學;概念教學;提升實效;策略

數學的概念與學生的成績及解題的能力等有著較為直接的關系，是學生在腦中構建理論體系的前提，故被教師視為授課的重點，也是優化教學的方向.數學概念是學生在面對眾多問題時能夠輕松完成解題的工具，能夠使其帶著自信去探究更多的知識，提升其主動性.新時期下的高中數學課堂中，教師憑借先進的理念，結合學生的實際情況，對授課的方案和點撥的手段等進行調整，重視數學概念的掌握，將知識以多種形式傳遞給學生，然后在學生具備扎實的基礎上從多角度引導、強化其思維，避免概念的混淆，使新舊知識得到融合，形成愈發完善的知識體系，進而構建高效課堂.

一、輕松引入概念，燃起學習熱情

高中生對概念所體現的表面含義能夠較為輕松地解讀，但不能掌握其所蘊含的深意，教師就會占用課上時間進行講解，進而沒有多余時間讓學生對重難點問題進行獨立思考，導致授課效率停滯不前.面對這種情況，教師應重視課前的預習，布置相應的導學任務，讓學生利用課下的時間來完成對新知識的預習.學生可以帶著預習時產生的疑問，有針對性地去搜集有用的信息，滿足自身的求知欲.課前預習也是教師能夠輕松引入概念的先決條件，教師能夠借助預習在全新的授課模式下燃起熱情，提升探索新知識的技能，體現授課的實效性.

例如，在講解函數的單調性前，教師可以給出相應的預習內容，讓學生用自身喜愛的方式去完成.

1.當看到f（x）=x2這樣的函數時，我們假設這個x值會逐漸增加，而此時的f（x）所對應的值將發生什么樣的變化？

2.假設x1

3.根據以上2個問題的解讀，你能夠得出一些什么結論或者新的發現，嘗試以數學語言的方式來表達.

該導學方案所出示的三個問題間有著一定的引導效用，學生在預習時應有針對性地在教材中尋找與單調函數相關的概念，接著思考前2個問題，同時產生新的疑問“如果x1f（x2）？”這些質疑為后續課堂中的探究和有目的性的聽講埋下伏筆，也將學生的好奇心轉換為迫切的求知欲，使之更認真地聽課，繼而加深對增函數定義的記憶.教師可在后續作業中布置相關題目對所學知識加以鞏固，提升授課的實效性.

二、尊重個體差異，強化數學思維

高中生因家庭環境、性格和接受能力等方面的不同，而在課堂上呈現出不同的個性化，有著獨立的思維并付諸行動.大多高中生在面對眾多數學問題時并沒有完整的思路，解題遇到困難時極易放棄而使知識的系統性有所缺失，這正是概念不清所導致的.對于此，教師應對學生的個體差異表示出一定的尊重，并根據其課堂的表現和失誤進行有方向性的點撥，使之正視自身的優缺點，在對比和嘗試中尋找到適合自己的方式，掌握概念，并將其視為解題的工具，使自身的短板得到相應的彌補，拉近與同學間的差距，突顯授課的實效性.

例如，在解讀雙曲線概念時，學生都能夠輕松地理解字面的意思，為此，教師將該概念從另一個角度進行講解，提出“平面內與已知的兩個定點F1和F2的距離的差的絕對值是常數（<│F1F2│）的點的軌跡應該是什么？”學生轉換思考的角度，結合雙曲線的概念繼而回答出“雙曲線”.為了加深對該概念的認識，教師提出另一個問題與之進行對比“若上述F1和F2兩點的距離的和等于常數（>│F1F2│）的點的軌跡又是什么？”學生迅速與雙曲線的概念進行對比，回答出“橢圓”.在這種變式的概念訓練下，每名學生都能盡快地掌握橢圓和雙曲線概念間的區別和聯系，加深了對兩個概念的理解和記憶，構建課堂的實效性.

三、展現概念本質，形成清晰認識

數學的概念多有著精煉的表達方式，用準確的語言來總結，蘊含著一定的內涵，學生在解讀時會感到吃力.這就需要教師向學生透徹地講解概念表達中每一個詞所包含的意思，并設計多樣化的授課方式將概念以不同的形式傳遞給學生，使之看到其中的本質，形成清晰的認識而不易混淆.

例如，講解等差數列的概念時，教師應注意其中的“一個數列需從第二項起，而不是第一項”，同時講解每一項與其前一項的關系，讓學生了解什么是等差數列并掌握相應的通項公式.隨之，教師可設計較為典型的例題“當首項是23，公差是整數的前提下，該等差數列從第7項的位置出現負數，那么其公差d應為（? ）.”將學生分為幾個小組對該問題進行相應的討論.互動中，組員間相互分享自己的看法，尋找概念間的聯系并熟練、靈活地運用概念，找準切入點解決問題.在這一過程中，學生的思維得以打開，數學素養得以提升.

四、重視概念理解及正確應用

教師應在訓練中將概念變成真正的解題工具，貫穿于數學問題的始終，突顯其效用.

例1 函數f（x）=x3-sin x+2，若f（a）=1，求f（-a）的值.

解 令f（x）-2=x3-sin x為奇函數，

∵f（a）=1，

∴f（a）-2=a3-sin a，a3-sin a=-1，

∴f（-a）-2=（-a）3-sin（-a）=-（a3-sin a）=1，

∴f（-a）=3.

這一題目考查的重點是函數的奇偶性.主要是了解學生對這一問題的理解程度.

例2 已知點P在拋物線y2=4x上，那么點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取最小值時，點P的坐標為.

解 ∵y2=4x，

∴p=2，焦點坐標為（1，0）.

依題意可知當P，Q和焦點三點共線且點P在中間時，距離之和最小，如圖所示.

故點P的縱坐標為-1，代入拋物線方程求得x=1[]4，故答案為1[]4，-1.

點評 點P到焦點的距離可利用拋物線的定義，轉化為點P到準線之間的距離，體現數學上的轉化與化歸的思想，在數學問題中，經常考查這種數學思想.

例3 已知：a>0，b>0，a+b=1，求a+1[]a2+b+1[]b2的最小值.

錯誤解法? a+1a2+b+1b2=a2+b2+1a2+1b2+4≥2ab+2ab+4≥4ab·1ab+4=8，

∴a+1a2+b+1b2的最小值是8.

分析 解答中兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號成立的條件是a=b=12，第二次等號成立的條件是ab=1ab，顯然，這兩個條件是不能同時成立的.因此，8不是最小值.

正確解法

a2+b2+1a2+1b2+4[ZK（]=（a2+b2）+（1a2+1b2）+4=[（a+b）2-2ab]+1a+1b2- 2ab+4

=（1-2ab）1+1a2b2+4，[ZK）]

由ab≤a+b22=14，得

1-2ab≥1-12=12，且1a2b2≥16，1+1a2b2≥17，

∴原式≥12×17+4=252 （當且僅當a=b=12時，等號成立），∴（a + 1a）2 + （b + 1b）2的最小值是25[]2.

五、提升解題策略

數學是一門很高深的學科，其解題思路多樣化.因此，在解答數學題的時候，要避免慣性思維與固化思維.根據題目的內容，變化思維方式靈活解答，才是正確的解題之道.

（1）學會仔細認真地進行觀察

觀察是人類知覺的一種比較高級的狀態.這種狀態更是一種有目的并且是十分持久的知覺.因此，我們在面對問題的時候，首先要學會仔細認真地觀察，才能為后續解決問題打下良好的基礎.

不管是簡單的數學題還是復雜的數學題，已知條件間都會存在著某種聯系.因此，如果想要解答出這類問題，還需要根據題目自身的具體情況進行深入的觀察和分析，通過分析來看透題目背后的本質，從而找到合理的解題思路.

舉例說明：

例4 求和11×2+12×3+13×4+…+1n（n+1）.

這道題看似十分復雜，若能觀察到第n項的特征1n（n+1）=1n-1n+1，將原式化為1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1的形式，問題很快就解決了.

例5 當3x2+2y2=6x，那么x2+y2的最大值是什么？

解 由3x2+2y2=6x，可知，

y2=-32x2+3x.

∵y2≥0，∴-32x2+3x≥0，∴0≤x≤2.

∴當x等于2時，x2+y2存在最大值，最大值為-12（2-3）2+92=4.

運用固式思維進行解題的同學，其步驟大多如下：

知道 3x2+2y2=6x可以變換為 y2=-32x2+3x，

∴x2+y2=x2-32x2+3x=-12（x-3）2+92，

∴當x為3時，x2+y2有最大值是92.

這種計算方式其實忽略了題目中給出的一些條件，因此導致最終的結果出現偏差.我們在解題之前，要注意題目中可能存在的一些“陷阱”以及一些隱藏起來的條件.上述可見，審題是十分重要的，故解題前要認真審題，注意題目中所給出的所有條件，再進行解題.

（2）善于思考題目之間的關系

在解答數學問題的過程中，學會聯想也是一種不錯的方式.有些問題看起來十分復雜和困難，但是通過抽絲剝繭的聯想后，會發現它可能僅僅是許多基礎題混雜在一起而已，解答起來并不困難.所以，在解題的時候，可以通過聯想的方式進行解答.

例6 求解下列方程組x+y=2xy=-3.

分析 題干中已知條件為：兩數的和以及兩數的積.因此通過韋達定理我們可以知道，x，y是一元二次方程 t2-2t-3=0的兩個根，

得知x=-1，y=3或x=3y=-1.此題通過合理的聯想能夠把復雜的問題簡單化.

例7 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，

證明2y=x+z.

分析 此題一般是通過因式分解來證.但是，如果注意觀察已知條件，不難發現它與一元二次方程的判別式相似.于是，我們聯想到借助一元二次方程的知識來證明.

證明 當x-y≠0時，等式 （z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，可看成關于t的一元二次方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0有等根的條件，再進一步觀察這個方程，它的兩個相等實根是1，根據韋達定理有y-zx-y=1，即 2y=x+z.

（3）學會將問題進行轉變

曾經有一個十分知名的數學家表達過這樣一個觀點：數學的解題實際上就是數學命題不斷轉換的一個過程.我們通過這種轉化，可以更好地進行數學解答.

例8 已知a+b+c=1a+1b+1c=1，求證a，b，c中至少有一個等于1.

分析 結論沒有用數學式子表示，我們應先將結論轉化成我們熟悉的形式.a，b，c中至少有一個為1，也就是說a-1，b-1，c-1中至少有一個為零，這樣，問題就容易解決了.

證明 ∵1a+1b+1c=1，

∴bc+ac+ab=abc.

∴（a-1）（b-1）（c-1）=abc-（ab+ac+bc）-1+（a+b+c）=0.∴a-1，b-1，c-1中至少有一個為零，即a，b，c中至少有一個為1.

六、結 語

概念教學在新時期背景下成為高中數學課堂的關鍵環節，也是貫穿數學知識的紐帶，學生在概念的積累下形成扎實的基礎，為后續的探究和多種實踐活動帶來動力，其自身的潛能也得到了激發，技能也得到了提升，情感上也收獲了歡樂.在新課標指引下，教師應充分尊重高中生的個性特點，從其角度出發設計多樣化的授課方案并給予高中生更多的關注，使其在愉悅的氣氛下對概念有全新的認識，有意識地做到重點記憶，整體提升其掌握程度，進而在有限的時間內提升授課的效率.

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