概念教學中培養高中生數學抽象素養的策略

張偉

摘 要：在高中階段，概念教學與數學抽象素養有著緊密相依的關系，教師在平時教學中要積極探索和總結如何在概念教學中有效培養學生的數學抽象素養。本文簡要探討了四點概念教學中培養高中生數學抽象素養的策略，分別是基于情境生成概念，體會從具體到抽象;利用典例鞏固概念，鞏固和加深抽象認知;多角度地詮釋概念，鍛煉抽象思維能力;聯系實際遷移概念，感悟抽象素養價值。

關鍵詞：概念教學;高中數學;數學抽象;教學心得

數學抽象是高中階段六大核心素養之首，課標中明確指出，它是“形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征”。而作為數學學習的基礎——數學概念，則是對數學命題的高度抽象化，數學抽象的主要表現之一即為“獲得數學概念和規劃”。由課標所闡述的這些基本觀念而言，數學概念的學習與數學抽象素養的培養是不可分割的，如果說前者為基本的載體和過程，后者則為一種升華。因此，在概念教學的同時有意識地培養學生的數學抽象素養就成為重要的教學任務和教學命題。以下結合筆者在這方面的實踐與探索對此做較為系統的探討，希望對相關教學工作者有所啟示。

一、基于情境生成概念，體會從具體到抽象

在高中階段，概念教學的首要要求即為使學生切實地理解概念，由于其本質上是抽象的，所以通常都需要基于具體的情境來生成概念，這樣不但有助于學生理解，同時也使學生體會從具體到抽象的過程，這是鍛煉其數學抽象的必要基礎，同時也是有利條件。例如極坐標系的教學，無論教師再怎樣創新，基本的思路通常都是通過問路指路的情境引入和建立極坐標的概念，接著師生探究極坐標的特點和優劣性，突出建系（建模）的思想，利用不同的參照物去描述表達這個世界。當然也有很多教師除了教材上問路指路的情境，也常會引入盲人摸象和狙擊手射擊目標（旁人口述給阻擊手）的情境以及日常生活中的指路情境，也都是可以的。只要有利于方向角的理解和建系（直角坐標系、極坐標系等）以及引導學生的思維即可。實踐證明，只要具體情境用得好概念課就活了，在此基礎上由具體到抽象，概念的生成也就水到渠成。

二、利用典例鞏固概念，鞏固和加深抽象認知

在生成概念之后，應趁熱打鐵對概念的基本要素和特點進行簡要總結，并輔之以典型例題的探究使學生鞏固概念并學會初步運用，這是鞏固學生抽象認知的必要步驟。仍以極坐標系的教學為例，在此階段要使學生切實明了兩點，即平面上的點如何用極坐標表示和極坐標所代替的點在何處。接著，再通過典型例題促進學生切實掌握極坐標和平面的點的對應關系。例如：①在極坐標系中，求點Q（2，π/6）關于極點對稱的點P坐標;②在極坐標系中，求點Q（2，π/6）關于極軸對稱的點P坐標。設置這兩道例題的主要目的，一是鞏固學生對極坐標概念的理解;二是為探索平面上的點和極坐標的對應關系（即一對多）做出鋪墊，從而深化概念理解，鞏固抽象認知。筆者在教學實踐中發現，有些學生面對題目不知怎樣下手，原因是極坐標系他們還不熟悉，還沒有建構知識體系，而不會做的同學大部分是沒有建系、沒有結合圖形去分析問題，所以導致思維受阻，這也就是其抽象認知尚不成熟的直接表現。這時就需要教師點撥一下建系和數形結合，這樣學生就會恍然大悟，順利解決問題并加深抽象認知。在概念教學中，這也是培養學生數學抽象素養十分關鍵的一步。

三、多角度詮釋概念，鍛煉抽象思維能力

在高中階段，有一些相對復雜的概念可以有多個詮釋角度，這與初中階段那種簡單的、一目了然的概念大不相同，而通過對概念進行多角度詮釋可以鍛煉學生的抽象思維能力，就是培養其數學抽象素養的有效途徑。這方面最典型的例子莫過于橢圓等圓錐曲線的概念，不但有第一定義、第二定義，還有第三定義，而第三定義甚至還有不同的典型表達形式。其實從本質上來說，這些表達形式都是相通的，只是從不同的角度詮釋基本的概念而已，在教學中教師要使學生切實理解和熟練掌握各種表達形式，并能夠使學生做到相互熟練地轉化運用。比如橢圓的第三定義，其常見表達形式為：

在橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0） 中，A、B是關于原點對稱的兩點，M為橢圓上異于A、B的一點，如果存 在kAM×kBM，那么有kAM×kBM=e2-1=-b2/a2。這一結論可通過構造△MAB的MA邊所對的中位線PO，利用kMA=kPO，由點差法來證明。

而除此之外，還有一種變式表達也需要學生掌握。①已知A（-a，0），B（a，0）， 如 果kAM×kBM=-b2/ a2（a>b>0），那么點M的軌跡方程為x2/a2+y2/b2=1;②已知A（0，-a），B（0，a），如果kAM×kBM=-b2/a2（a> b>0），那么點M的軌跡方程為y2/a2+x2/b2=1。值得指出的是，如果kAM×kBM=-1（即a=b），那么點M的軌跡方程即為x2+y2=a2，是一個圓。

另外，還有一個由圓錐曲線第三定義推出來的一個性質也比較重要，即所謂中心弦性質：當|AB|為曲線的任意一條中心弦時，結論仍然成立。很多題目利用該性質解答通常會變得很簡單，學生應當有所了解并加以掌握。中心弦的基本數學表達如下。

①如果M是橢圓x2/a2+y2/b2=1上任意一點，|AB|是橢圓的任意一條中心弦，那么kAM×kBM=-b2/a2;②如果M為橢圓y2/a2+x2/b2=1上任意一點，|AB|是橢圓的任意一條中心弦，那么kAM×kBM=-b2/a2。

以上這些不同的表達形式都應使學生掌握并知道推導過程，從而從不同的角度來理解橢圓的概念，雙曲線也是一樣。這樣，在推導和體會的過程中，學生更深刻地理解概念，同時也鍛煉抽象思維能力，在一定程度上促進了數學抽象素養的發展。

四、聯系實際遷移概念，感悟抽象素養價值

“數學來源于生活又用于生活”，數學知識是源自且歸于生活的。在數學課堂中聯系生活實際，即是要適當引入一些生活實際問題，讓學生利用書本上的理論知識去加以分析和解決。采取這種教學方式，會使學生深切感受到數學知識的實用價值，同時對數學概念的理解和運用會達到一種更為深入的新境界，而如果是基于數學概念解決生活中的一些相關的典型問題，則還會產生使學生體會和感悟抽象素養價值的功效。正所謂“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，又所謂“實踐出真知”，聯系實際而遷移概念，所應用的不但是具體的知識，還是抽象的素養，知識是解決問題的基礎，而素養則是解決問題的關鍵。就好比所謂“軍事素養”，指揮官只有具備較高的軍事素養才能打勝仗，而打勝仗的過程其實也是從實際鍛煉中體會、感悟，乃至提升自身素養的過程。

以上的觀點說來似乎很微妙，其實并不難理解，無非就是把“素養”看成解決問題的“工具”，在實際運用和鍛煉中不斷提升。當然，就數學領域而言，聯系生活實際問題難度上要適中，使學生感受到成功的樂趣，否則是不利于學生產生內在感悟的，甚至會適得其反，使學生產生困惑。

綜上所述，鑒于概念教學與數學抽象素養的相依關系，教師在平時教學中要積極探索和總結如何在概念教學中有效培養學生的數學抽象素養。

參考文獻

[1]裴勤鋒.高中數學概念教學及提升實效的策略[J].中學數學，2018， 000（001）：26-27.

[2]周先華.高中數學核心素養之數學抽象能力的培養實踐初探[J]. 數理化解題研究（高中版），2017，000（007）：39-41.