分類討論思想在高中數學解題中的應用

蘭鵬林

摘要：在高中數學解題過程中，往往會遇到很多較為復雜且無法采用統一方法求解的問題，對于這些特殊情況，應采用相應的分析方法并通過多種標準進行解題，這就是我們常說的分類討論思想，這種方式能夠將多種復雜的問題變得簡單化，使多種問題得到合理解決。這就要求高中數學教師能夠對學生的分類討論思想進行有效培養，使其能夠有效應用到高中數學解題過程中，從而推動高中數學教學活動的全面開展。

關鍵詞：分類討論思想；高中數學；解題教學

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）08-0044

一、分類討論思想的概要

所謂的分類討論思想，就是要求學生能夠精準地找到多種數學問題之中的相同點，并將其作為研究對象，進行不同分類的研究，這就是分類討論思想的核心內容。事實上，分類討論的內容往往會因為標準不一導致不同結果的產生。在實際教學過程中，教師必須要為學生不斷創造分類討論思想的應用條件，使學生能夠具備應用分類討論思想的能力，從而使學生掌握多種解題思路，推動高中數學教學有效性的不斷提升。

二、分類討論思想的應用原則

在分類討論思想應用過程中，要根據實際情況或者性質進行明確的分類，同時解題過程也應該滿足層次分明、不重不漏的原則，如果在討論過程中存在著越級問題，那么這個分類討論過程與實際要求會嚴重不符。

再如，在“橢圓”這一課的教學時，學生往往會對橢圓的焦點和數值變化產生的影響較為敏感，因此教師可以通過對橢圓取值范圍進行討論，并將多種情況加以分解，從而使橢圓的計算問題迎刃而解。

三、分類討論思想在解題中的應用

1.概率中的分類討論思想

在概率中應用分類討論思想時，教師可以首先為學生出示以下例題：在集合I={0，2，4，6，8}中，其兩個非空子集為A與B，如果B中最小的數要大于A中最大的數，那么存在著多少種不同的選擇方法？

在這道題目的解答過程中，教師可以引導學生先將已知的條件列出，了解到A與B是I的兩個非真空子集，而B中最小的數要大于A中最大的數，想要使這兩個條件得到實現，應該采取分類討論的方法進行探討。假設B之中最小的數為2，那么A只有1種選法，而如果A={0}，那么B就有8種選法，也就是說，其他數字元素都可以在B中存在。而如果B中最小的數是4，那么A就有了3種選擇方法，而對應來看，B就有4種選擇辦法，那么6與8這兩個元素可以不存在于B之中。而B中最小的數如果為6，那么A就有了7種選擇方法，也就是說，A是{0，2，4}的非空子集，在這種情況下B有兩種選法，那么8這個數字元素則有可能不存在于B之中。如果B最小的數是8，那么A就存在著15種選擇辦法，也就是說，A應該是{0，2，4，6}的非空子集，而B往往只存在著一種對應的選擇辦法，也就是{8}。最后只要將這幾種情況相加，就能夠得到最終的選擇方法數量。

2.不等式中的分類思想

在不等式中，教師可以為學生出示以下例題：在K∈N的情況之下，試求不等式|m|+|n|

在這個例題的計算中，學生往往無法通過直觀的計算方法獲得答案，而我們可以對學生進行引導，使學生以分類討論思想進行解題。可以將K作為參數，并將與K相關的參數作為整數解的組數，將其設為g（k）并從特殊情況入手，探究其中存在的計算規律，然后做出猜想并對結論加以證明。可以設當k等于1、3、4時不等式的對應解，然后得出相應的分類猜想，最終推導出數式。

3.函數中的分類思想

學生往往會在實際解題過程中，因為自身分組討論思想較為薄弱，導致無法明確哪些問題需要運用分組討論思想，有些學生即使知道哪些問題需要采用分組討論思想，然而在具體的解題過程中也無法滿足科學使用分類討論思想的具體要求。因此，教師應該充分發揮自身的引導作用，使學生能夠對多種數學問題的本質產生深入分析，使分組討論思想的主要內容能夠得到清晰且直觀的展現，從而使學生能夠在解題過程中不斷強化自身分類意識。

比如，在對數函數y=logax中，不同的底數往往會導致函數圖像出現一定的不同，因此教師應在教學過程中，引導學生以分類討論的形式獲取更加直觀和清晰的思維。教師要根據底數的數量關系進行分類討論，進而得到不同對數函數的性質，學生在了解到不同分類對函數性質造成的影響后，能夠將這些知識更好的應用到教學過程中，進而推動整個教學活動的順利開展。

四、分類討論思想應用時應注意的問題

在分類討論思想的應用中，學生首先要明白為什么要對一些問題進行分類討論，教師要為學生解題提供有效的思路，在這種前提下學生才能夠對分類的標準加以明確的定義，使其不會出現重復和遺漏的情況。在數學學科中，很多概念和公式都具有相應的系統性，而這些問題在解決時，往往也需要運用到分類討論的思想。在學生問題的解決過程中，也要注意對分類標準加以統一，從而獲取更加科學和準確的分類，從而確保解題過程中不會出現重復和遺漏的情況。教師要教會學生分組討論的技巧，使學生能夠采取更具有層次性的分類討論方法，同時每一個層次都應該有著對應的分類標準。

綜上所述，從目前情況來看，很多高考試題都需要采用分類討論的思想去解決，因此教師應該對全國各地的高考問題進行深入的分析和整理，使其能夠有效應用到實際教學活動之中，使學生能夠明確分類討論思想在高中數學解題中的應用思路，使學生的數學知識應用能力得到全面提升，最終推動我國高中數學教學事業的全面開展。

參考文獻：

[1]王桂麗.分類討論思想在高中數學教學中的應用分析[J].科學中國人，2017（5Z）.

[2]樸希蘭，樸勇杰.分類討論思想在高中數學解題中的應用[J].教育教學論壇，2015（7）：169-170.

（作者單位：福建省泉州市晉江市永和中學362235）