高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)的對(duì)稱性教學(xué)研究

石偉偉

摘要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)部分是整個(gè)知識(shí)體系的重點(diǎn)，而函數(shù)中最為重要的當(dāng)屬函數(shù)的奇偶性、周期性和圖像對(duì)稱性。基于對(duì)當(dāng)前很多學(xué)生學(xué)習(xí)上存在問題的了解和分析，本文總結(jié)了一套針對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法，從而讓學(xué)生能夠加強(qiáng)對(duì)這些知識(shí)的理解程度，在應(yīng)試過程中對(duì)這些知識(shí)進(jìn)行合理運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)奇偶性；函數(shù)周期性；函數(shù)圖像對(duì)稱性

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2020）11-0160

函數(shù)的奇偶性、周期性和圖像對(duì)稱性本身難度較為一般，但是要對(duì)這些知識(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用則難度大幅上升。另外，在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，函數(shù)可以分為兩個(gè)部分，其一為普通函數(shù)，其二為三角函數(shù)。經(jīng)過對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)的了解，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的掌握情況要低于普通函數(shù)。所以，學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中需要加強(qiáng)對(duì)這些知識(shí)的學(xué)習(xí)。

一、建成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要加強(qiáng)對(duì)函數(shù)奇偶性、周期性和圖像對(duì)稱性方面知識(shí)的了解程度，對(duì)于奇偶性判定需要加深對(duì)判定公式的研究深度，同時(shí)融入數(shù)形結(jié)合思想。對(duì)于周期性，可以運(yùn)用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)與建設(shè)數(shù)學(xué)模式的方式強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的了解程度。對(duì)于函數(shù)對(duì)稱性，基本內(nèi)容為運(yùn)用奇偶性知識(shí)探究函數(shù)圖像是否對(duì)稱。在函數(shù)學(xué)習(xí)中，圖像的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)將發(fā)揮重要作用，對(duì)于學(xué)生來說，在深入學(xué)習(xí)中需要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)加深對(duì)知識(shí)的理解。周期函數(shù)最直觀的體現(xiàn)為各類三角函數(shù)，所以在學(xué)習(xí)中可以以三角函數(shù)為周期函數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，探究函數(shù)的周期性。例如下面這道高考題“已知點(diǎn)p（sinx-cosx，tanx）在第一象限，則在[0，2π]內(nèi)x的取值范圍是多少？”由題可知：p（sinx-cosx，tanx）在第一象限，則有tanx大于0，那么x的取值范圍可知。

二、探究函數(shù)奇偶性的判定公式

函數(shù)奇偶性的判定本身不存在難點(diǎn)，并且對(duì)這些公式的記憶也很簡(jiǎn)單，難點(diǎn)在于對(duì)這些知識(shí)的應(yīng)用。要提升對(duì)這些公式的應(yīng)用效率，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中需要對(duì)這些判定公式深入分析。本文將從下述角度進(jìn)行分析。普通函數(shù)通常對(duì)這些公式的應(yīng)用較為簡(jiǎn)單，即f（x）=f（-x）為偶函數(shù)，f（x）=-f（-x）為奇函數(shù)，但是在當(dāng)前的出題中，這類知識(shí)通常會(huì)與積分和微分知識(shí)進(jìn)行融合，所以需要研究的為奇偶性函數(shù)求導(dǎo)以及求積分后函數(shù)的奇偶性變化情況。尤其是在求定積分時(shí)，運(yùn)用函數(shù)的奇偶性變化能夠大幅降低計(jì)算量。例如下面這道例題“函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，如果f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，那么下列說法正確的是（）。1. f（x）是偶函數(shù)；2. f（x）是奇函數(shù)，3. f（x）= f（x+2），4. f（x+3）是奇函數(shù)”，利用化歸數(shù)學(xué)思想通過分析題意可以得知f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，所以f（x）關(guān)于點(diǎn)（-1，0）和點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，那么函數(shù)f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函數(shù)，所以f（-x+3）=-f（x+3），因此f（x+3）是奇函數(shù)，由此可知第四個(gè)選項(xiàng)是正確的。

三、融入數(shù)形結(jié)合思想

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，最重要的思想之一為數(shù)形結(jié)合思想，所以在學(xué)習(xí)過程中需要了解各類基本函數(shù)的形狀。例如對(duì)于函數(shù)等，學(xué)生需要對(duì)這些函數(shù)的圖像有深入記憶，以探究這些函數(shù)的奇偶性。需要注意的是，在記憶了函數(shù)的圖像后，需要了解函數(shù)奇偶性在圖像上的對(duì)應(yīng)關(guān)系，奇函數(shù)的圖像為以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，偶函數(shù)為以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形。另外，對(duì)圖形的記憶也能夠更好地了解函數(shù)求導(dǎo)或微分后的奇偶性。數(shù)學(xué)模型在高中函數(shù)學(xué)習(xí)中有很高的應(yīng)用廣度，實(shí)際上運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)可以看作是一種數(shù)學(xué)模型，但是對(duì)于函數(shù)周期性來說，通常會(huì)與函數(shù)對(duì)稱性、奇偶性等內(nèi)容進(jìn)行融合出題。運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)在求解題目時(shí)能夠發(fā)揮的作用較為一般，所以需要進(jìn)一步建設(shè)數(shù)學(xué)模型。比如對(duì)于函數(shù)，該類函數(shù)是否為周期函數(shù)？我們?cè)趯W(xué)習(xí)中已經(jīng)在大腦中建設(shè)了函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，那么首要工作為將題干中的函數(shù)簡(jiǎn)化成形式。在高中數(shù)學(xué)中，我們會(huì)接觸“函數(shù)加工廠”理念，在解題過程中可以運(yùn)用這一理念對(duì)題干中函數(shù)的周期性進(jìn)行探究。

四、夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)

高中函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中的重難點(diǎn)，一直影響高中生的整體數(shù)學(xué)成績(jī)。由于函數(shù)知識(shí)具有較強(qiáng)的邏輯性和抽象性，客觀反映不同事物之間的變化規(guī)律，再加之高中生認(rèn)識(shí)事物的方法比較直觀且感性，實(shí)際運(yùn)用理論知識(shí)的能力尚且不足，所以在遇到函數(shù)數(shù)學(xué)題時(shí)無法立即找到正確的解題思路，對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、提高數(shù)學(xué)成績(jī)極為不利。

高中階段的函數(shù)知識(shí)雖然復(fù)雜，但同樣具有一定的規(guī)律性。高中生只要在具體學(xué)習(xí)中掌握函數(shù)理論基礎(chǔ)，并根據(jù)自身特點(diǎn)進(jìn)行分析、比較、歸納和總結(jié)，就能捕捉到一定的學(xué)習(xí)技巧，進(jìn)而對(duì)高中函數(shù)知識(shí)有全面的理解。因此，高中生在學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)時(shí)，應(yīng)當(dāng)將教材上的函數(shù)奇偶性、周期性以及圖像對(duì)稱性等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合，結(jié)合數(shù)學(xué)教師在課堂上講解的重難點(diǎn)構(gòu)建知識(shí)理論框架并進(jìn)行補(bǔ)充。如果還有時(shí)間，就對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行回顧，努力夯實(shí)自身數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，時(shí)刻為實(shí)際做題準(zhǔn)備。有些高中生由于在初中時(shí)就沒有學(xué)好函數(shù)知識(shí)，基礎(chǔ)知識(shí)不牢靠，就會(huì)使得高中生無法將初中函數(shù)知識(shí)與高中函數(shù)知識(shí)有效銜接，從而影響高中函數(shù)的學(xué)習(xí)，對(duì)此高中生應(yīng)當(dāng)時(shí)常回顧初中函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，找到初中函數(shù)知識(shí)與高中函數(shù)知識(shí)之間的銜接點(diǎn)，進(jìn)而構(gòu)建更加完整且具體的知識(shí)理論體系。

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要加強(qiáng)對(duì)函數(shù)奇偶性、周期性和圖像對(duì)稱性方面知識(shí)的了解程度，對(duì)于奇偶性判定需要加深對(duì)判定公式的研究深度，同時(shí)融入數(shù)形結(jié)合思想。對(duì)于周期性，可以運(yùn)用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)與建設(shè)數(shù)學(xué)模式的方式強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的了解程度。對(duì)于函數(shù)對(duì)稱性，基本內(nèi)容為運(yùn)用奇偶性知識(shí)探究函數(shù)圖像是否對(duì)稱。

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（作者單位：安徽省淮南市壽縣第二中學(xué)232200）