淺談線性代數課堂中Matlab的引入

【摘 要】線性代數是大學理工科專業和經管類專業學生必修的一門基礎課，其重要內容主要包括：行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型。其中特征值和特征向量理論已經廣泛應用于科學技術的各個領域，不僅可以直接解決數學中諸如非線性規劃、常微分方程以及其他各類數學計算問題，而且在結構力學、工程設計、計算物理和量子力學中都發揮著重要的作用。在工程計算中，求解方陣特征值是最普遍的問題之一，如動力系統和結構系統中的振動問題、電力系統的靜態穩定性分析、工程設計中的某臨界值的確定等，都可以歸結為求解方陣特征值的問題。本文通過借助數學軟件Matlab介紹如何計算特征值和特征向量。

【關鍵詞】線性代數;Matlab;數學課堂;特征值;特征向量

【中圖分類號】G642? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）28-0008-02

Matlab的產生與數學計算有著密切的關系。70年代中期，美國的穆勒教授及其同事在美國國家基金會的資助下，開發了線性代數的Fortran子程序庫[1]。不久，他在給學生講線性代數課時，為了讓學生能使用子程序庫又不至于在編程上花費過多的時間，便為學生編寫了使用子程序的接口程序。他將這個接口程序取名為Mat1ab，意為“矩陣實驗室”。

1? ?概述

矩陣計算是科學和工程計算的核心，特征值與特征向量計算是矩陣計算的基本問題之一。在教學特征值與特征向量這一章時，要先構建特征方程，通過計算化簡行列式求出特征值[2]。一個n階方陣有n個特征值，包括單特征值、重特征值和復特征值，其中復特征值是成對出現的[3]。求出特征值后，通過解特征值所對應的齊次線性方程組，求出每個特征值所對應的齊次線性方程組的基礎解系，而特征向量就是基礎解系的非零線性組合[4-6]。利用Matlab計算特征值和特征向量的實例如下。

2? ?利用Matlab求三階方陣A的特征值及特征向量

解：命令窗口運行如下。

>> A=[8 1 6;3 5 7;4 9 2]? ? %生成一個3階方陣

A =

8? ? ?1? ? ?6

3? ? ?5? ? ?7

4? ? ?9? ? ?2

>> eig（A）%求3階方陣A的特征值

輸出結果為：

ans =

15.0000

4.8990

-4.8990? ? ? ? ? ? %3階方陣A的特征值分別為：15.0000，4.899， -4.8990

命令窗口運行如下。

>> [X，D]=eig（A）? ? ? ? ? %產生一個對角矩陣D，對角線為矩陣A的特征值;產生一個矩陣X，每一列為矩陣A對應的特征向量

輸出結果為：

X =

-0.5774? ?-0.8131? ?-0.3416

-0.5774? ? 0.4714? ?-0.4714

-0.5774? ? 0.3416? ? 0.8131

D =

15.0000? ? ?0? ? ? ? ?0

0? ? ? ? 4.8990? ? ? ?0

0? ? ? ? ? 0? ? ? -4.8990

通過運行Matlab程序，可知矩陣A有三個不同的特征值，分別為15.0000，4.8990，-4.8990。對應特征值15.0000的全部特征向量是矩陣X的第一列構成的列向量乘以非零常數K1;對應特征值4.8990的全部特征向量是矩陣X的第二列構成的列向量乘以非零常數K2;對應特征值-4.8990的全部特征向量是矩陣X的第三列構成的列向量乘以非零常數K3。

3? ?利用Matlab求三階方陣B的特征值及特征向量

解：命令窗口運行如下。

>> B=[-1，1，0;-4，3，0;1，0，2]? %生成一個3階方陣

輸出結果為：

B =

-1? ? ?1? ? ?0

-4? ? ?3? ? ?0

1? ? ?0? ? ?2

命令窗口運行如下。

>> eig（B）

輸出結果為：

ans =

2

1

1

命令窗口運行如下。

>> [X，D]=eig（B）

輸出結果為：

X =

0? ? ? ?0.4082? ? ? 0.4082

0? ? ? ?0.8165? ? ? 0.8165

1.0000? ? -0.4082? ? ?-0.4082

D =

2? ? ? ? ?0? ? ? ? ? ?0

0? ? ? ? ?1? ? ? ? ? ?0

0? ? ? ? ?0? ? ? ? ? ?1

通過運行Matlab程序可知，矩陣A有一個單特征值2，一個二重特征值1，1。對應于特征值2的全部特征向量是矩陣X的第一列構成的列向量乘以非零任意常數K1;對應于特征值1的全部特征向量是不全為零的任意常數K2與K3分別乘以矩陣X的第二、三列構成的列向量的和

向量。

4? ?利用Matlab求三階方陣C的特征值和特征向量

解：命令窗口運行如下。

>>? C= [0，-1，0;1，0，0;0，0，1]

輸出結果為：

C =

0? ? ? ? -1? ? ? ? ? ?0

1? ? ? ? ?0? ? ? ? ? ?0

0? ? ? ? ?0? ? ? ? ? ?1

命令窗口運行如下：

>> eig（C）

輸出結果為：

ans =

0 + 1.0000i

0 - 1.0000i

1.0000

命令窗口運行如下。

>> [X，D]=eig（C）

輸出結果為：

X =

0.7071? ? ? ? ? 0.7071? ? ? ? ? ? 0

0 - 0.7071i? ? ?0 + 0.7071i? ? ? ? 0

0? ? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? 1.0000

D =

0 + 1.0000i? ? 0? ? ? ? ? ? ? ? 0

0? ? ? ? ? ? ? 0 - 1.0000i? ? ? 0

0? ? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? 1.0000

通過運行Matlab程序可知，矩陣C有一對共軛復特征值i，-i，和一個單特征值1。對應于特征值i的全部特征向量是矩陣X的第一列構成的列向量乘以非零任意常數K1;對應于特征值-i的全部特征向量是矩陣X的第二列構成的列向量乘以非零常數K2;對應于特征值1的全部特征向量是矩陣X的第三列構成的列向量乘以非零常

數K3。

5? ?總結

本文介紹了利用Matlab求三階實方陣特征值和特征向量的具體命令和方法。利用Matlab不僅可以求解教材常見的二、三階方陣，還可以求解三階以上的實方陣的特征值和特征向量，操作方式和例題完全類似。步驟較為簡單，為學生提供了一種新的計算方法。

【參考文獻】

[1]張明.《線性代數》中“特征值與特征向量”的教學創新探析[J].創新創業理論研究與實踐，2019（21）.

[2]同濟大學數學系.工程數學[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4]孫培青.中國教育史[M].上海：華東師范大學出版社，2008.

[5]居余馬等編著.線性代數[M].清華大學出版社，2002.

[6]戴維.C.雷.線性代數及其應用[M].機械工業出版社，2017.

【作者簡介】

宮曉?。?993～），女，漢族，山西朔州人，碩士，助教。研究方向：動力系統。